모듈(수학)

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대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 제품 링 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

수학에서 모듈이란 벡터 공간 개념을 일반화한 것으로, 스칼라 분야에서는 링으로 대체된다. 모듈의 개념은 아벨 그룹 중 하나를 일반화한 것이기도 하다. 왜냐하면 아벨 그룹들은 정확히 정수의 링 위에 있는 모듈이기 때문이다.

벡터 공간과 마찬가지로 모듈도 첨가 아벨리안 그룹이며, 스칼라 곱셈은 링이나 모듈의 요소들 사이의 덧셈의 작동에 대해 분배되며 링 곱셈과 호환된다.

모듈은 집단의 대표이론과 매우 밀접하게 관련되어 있다. 그것들은 또한 정류 대수학 및 호몰로지 대수학의 중심 개념 중 하나이며, 대수 기하학 및 대수 위상에 널리 사용된다.

도입 및 정의

동기

벡터 공간에서 스칼라 집합은 밭이며, 스칼라 곱셈에 의해 벡터에 작용하며, 분배 법칙과 같은 특정한 공리를 따른다. 모듈에서 스칼라는 링만 필요하므로 모듈 개념은 상당한 일반화를 나타낸다. 정류 대수학에서 이상 링과 인용 링은 모두 모듈이기 때문에 이상 링이나 인용 링에 대한 많은 주장이 모듈에 대한 단일 논쟁으로 결합될 수 있다. 비확정 대수학에서는 좌뇌 이상, 이상, 모듈의 구별이 더욱 뚜렷해지지만, 일부 고리-이론적 조건들은 좌뇌 이상이나 좌뇌 모듈에 대해 표현될 수 있다.

모듈 이론의 대부분은 벡터 공간의 바람직한 특성 중 많은 부분을 주요한 이상적인 영역과 같은 "잘 행동된" 링을 통해 모듈의 영역으로 확장하는 것으로 구성된다. 그러나 모듈들은 벡터 공간보다 꽤 복잡할 수 있다. 예를 들어, 모든 모듈이 기초가 되는 것은 아니며, 자유 모듈도 카디널리티가 항상 (무한한) 기준을 갖는 벡터 공간과는 달리, 기본 링이 불변 기준 번호 조건을 만족하지 못하면 고유한 순위를 가질 필요가 없다. 그 다음에. (이 마지막 두 가지 주장에는 일반적으로 선택의 공리가 필요하지만, 유한한 차원 공간이나, L^p 공간과 같은 특정한 행동형 무한 차원 공간에서는 그렇지 않다.)

형식 정의

R이 고리이고, 1이 그것의 승수 정체라고 가정해 보자. 왼쪽 R-모듈 M은 아벨 그룹(M, +)과 연산 ⋅ : R × M → M의 모든 r, s에 대해 y를 갖는 것으로 구성된다.

1. ${\displaystyle r\cdot(x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$
2. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$
3. ${\displaystyle(rs)\cdot x=r\cdot(s\cdot x)}$
4. $1\cdot x=x.}$

⋅ 수술은 스칼라 곱셈이라고 한다. 종종 기호 ⋅이 생략되기도 하지만, 이 글에서는 그것을 사용하고 R의 곱셈을 위해 대칭치를 예비한다. M이 왼쪽 R모듈임을 강조하기 위해 M을 쓸 수도 있다. 오른쪽 R-모듈 M은_R 운용 ⋅ : M × R → M으로 유사하게 정의된다.

링이 위 정의에서 조건 4를 생략할 필요가 없는 저자는 위에 정의된 구조를 "이탈 좌측 R-모듈"이라고 부른다. 이 글에서는 링 이론의 용어집과 일치하여 모든 링과 모듈은 단핵으로 가정한다.^[1]

An (R,S)-bimodule is an abelian group together with both a left scalar multiplication ⋅ by elements of R and a right scalar multiplication * by elements of S, making it simultaneously a left R-module and a right S-module, satisfying the additional condition ${\displaystyle (r\cdot x)\ast s=r\cdot (x\ast s)}$ for 모든 R in R, x in M 및 s in S.

만약 R이 역순이라면 왼쪽 R-모듈은 오른쪽 R-모듈과 같으며 단순히 R-모듈이라고 불린다.

예

• K가 필드일 경우 K-벡터 공간(K 위의 벡터 공간)과 K-모듈이 동일하다.
• K가 필드이고 K[x]가 단변 다항식 링이라면 K[x]-모듈 M은 M에 대한 K의 작용에 따라 통용되는 X의 추가 작용이 있는 K-모듈이다. 즉, K[x]-모듈은 M에서 M까지의 선형 지도와 결합된 K-벡터 공간 M이다. 주요 이상영역 위에 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리를 이 예에 적용하면 합리적 형식과 요르단 표준 형식의 존재를 알 수 있다.
• Z-모듈의 개념은 아벨 그룹의 개념과 일치한다. 즉, 모든 아벨 그룹들은 독특한 방식으로 정수 Z의 링 위에 있는 모듈이다. n > 0의 경우, n x x = x + x + ...로 한다. + x (n 합계), 0 ⋅ x = 0, (-n) ⋅ x = -(n ⋅ x). 그러한 모듈에는 근거가 없다. 비틀림 요소를 포함하는 그룹은 그렇지 않다. (예를 들어, 정수 모듈로 3의 그룹에서는 3 또는 6과 같은 정수가 원소를 곱하면 결과는 0이기 때문에 선형 독립된 집합의 정의를 만족하는 하나의 요소도 찾을 수 없다. 단, 링으로 취해진 동일한 유한장에 걸쳐 유한장을 모듈로 간주하는 경우 벡터 공간이며 근거가 있다.)
• 소수점 분수(부수 분수 포함)는 정수 위에 모듈을 형성한다. 단골격만이 선형적으로 독립된 세트일 뿐 기본이 될 수 있는 싱글톤이 없어 모듈에는 기본이 없고 순위도 없다.
• 만약 R이 어떤 링이고 n의 자연수라면, 우리가 구성 요소별 연산을 사용한다면, 데카르트 제품ⁿ R은 R을 통한 좌우 R-모듈이다. 따라서 n = 1일 때 R은 R-모듈이며, 여기서 스칼라 곱셈은 링 곱셈일 뿐이다. 사례 n = 0은 ID 요소만으로 구성된 사소한 R-모듈 {0}을(를) 산출한다. 이러한 유형의 모듈을 free라고 하며, R에 불변 기본 번호(예: 모든 교환 링 또는 필드)가 있는 경우 n은 free 모듈의 순위다.
• 만약_n M(R)이 링 R 위에 있는 n × n 행렬의 링이고, M은 M_n(R)-모듈이고, e는_i (i, i)-엔트(그리고 다른 곳에 0)가 있는 n × n 행렬이라면, eM은_i 렘_i = erm_i ∈ eM이기_i 때문에 R-모듈이다. 그래서 M은 R-modules의 직접 합으로 분해된다, M = eM₁ ⊕ ... ⊕ eM_n. 반대로 R-모듈 M이₀ 주어지면 M은₀^⊕n M_n(R)모듈이다. 실제로 R-모듈의 범주와 M_n(R)-모듈의 범주는 동등하다. 특별한 경우는 모듈 M이 그 자체로 모듈로서 R일 뿐이고, 그 다음 R은ⁿ M_n(R) 모듈이다.
• S가 비어 있지 않은 집합인 경우, M은^S 왼쪽 R-모듈이고, M은^S 모든 함수 f : S → M의 집합이며, 추가^S 및 스칼라 곱셈은 (f + g) = f(s) + g(s) 및 (rf) = rf(s)에 의해 포인트로 정의된다. 오른쪽 R-모듈 케이스는 유사하다. 특히 R이 역교합적인 경우 R-모듈 동형성 h : M → N(아래 참조)의 집합은 R-모듈(그리고 사실상 N의^M 하위모듈)이다.
• X가 매끄러운 다지관일 경우, X에서 실제 숫자로 매끄러운 기능이 링 C^∞(X)를 형성한다. X에 정의된 모든 매끄러운 벡터 필드의 세트는^∞ C(X) 위에 모듈을 형성하며, 텐서 필드와 X의 미분형도 마찬가지다. 보다 일반적으로, 어떤 벡터 번들의 섹션은^∞ C(X) 위에 투영 모듈을 형성하며, 스완의 정리로는 모든 투영 모듈은 일부 번들의 섹션의 모듈에 이형화되어 있다; C^∞(X)-모듈의 범주 및 X에 대한 벡터 번들의 범주는 동등하다.
• R이 어떤 고리이고 내가 R에서 어떤 좌뇌 이상이라면 나는 좌뇌 R모듈이고, R에서 유추적으로 우뇌 이상은 우뇌 R모듈이다.
• R이 링이라면, 우리는 동일한 기본 세트와 동일한 추가 연산을 가지는 반대쪽 링 R을^op 정의할 수 있지만, 반대쪽 곱셈: 만약 ab = R, 그리고 ba = c를^op R. 좌측 R-모듈 M은 R을 통한 우측^op 모듈로 볼 수 있으며, 우측 R을 넘는 모듈은 좌측 모듈로^op 간주할 수 있다.
• 리 대수보다 모듈들은 보편적 포괄 대수보다 모듈이다.
• R과 S가 고리 동형성 φ : R → S가 있는 고리라면, 모든 S-module M은 rm = φ(r)m을 정의하여 R-모듈이다. 특히 S자체는 그런 R모듈이다.

하위절과 동형성

M이 왼쪽 R-모듈이고 N이 M의 부분군이라고 가정하자. N의 어떤 N과 R의 어떤 R에 대해 제품 r ⋅ n(또는 오른쪽 R-모듈의 경우 n ⋅ r)이 N에 있다면 N은 하위 모듈(또는 보다 명시적으로 R-submodule)이다.

If X is any subset of an R-module, then the submodule spanned by X is defined to be ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ where N runs over the submodules of M which contain X, or explicitly ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}$$r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in$ R$,x_{i}\in X\right$ tensor 제품의 정의에 중요하다.^[2]

주어진 모듈 M의 하위모듈 집합은 두 개의 이진 연산 +와 ∩과 함께 모듈 법칙을 만족하는 격자를 형성한다: N₁ such N과₂ 같은 M의 하위모듈 U, N₁, N₂, N, 그리고 다음 두 하위모듈이 같다: (N₁ + U) N₂ = N₁ + (U n₂ N).

M과 N이 R-모듈로 남아 있는 경우 지도 f : M → N은 R-모듈의 동형상이다. 만약 어떤 m, n in M, r, s in R,

${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot m}$+ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \cdot n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle m}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot$ n$)=r\cdot$ f$(m)+s\cdot$ f$(n$

이것은 수학적 객체의 동형식과 마찬가지로 객체의 구조를 보존하는 지도화일 뿐이다. R-모듈의 동형성의 또 다른 명칭은 R-선형 지도다.

생체모듈 동형성 f : M → N을 모듈 이형성이라고 하며, 두 모듈 M과 N을 이형성이라고 한다. 두 개의 이형성 모듈은 그 요소들에 대한 표기법에서만 다른, 모든 실제적인 목적을 위해 동일하다.

모듈 동형상 f : M → N의 커널은 f에 의해 0으로 전송되는 모든 원소로 구성된 M의 서브모듈이며, f의 이미지는 M의 모든 원소 m에 대해 f(m) 값으로 구성된 N의 서브모듈이다.^[3] 그룹과 벡터 공간에서 익숙한 이형성 이론은 R-모듈에도 유효하다.

링 R이 주어지면, 모든 좌측 R-모듈의 집합과 모듈 동형성들은 R-모드로 표시된 아벨리안 범주를 형성한다(모듈 범주 참조).

모듈 종류

미세생성

R-모듈 M은 미세하게 많은 원소 x₁, ..., x가_n M에 존재하여 모든 원소가 링 R의 계수를 갖는 그러한 원소의 선형 결합인 경우 정밀하게 생성된다.

주기적

한 요소에 의해 생성되는 모듈을 순환 모듈이라고 한다.

무료

자유 R-모듈은 R-링의 직접적인 복사합에 대해 이형적인 기본 또는 동등하게 기초가 있는 모듈이다. 이것들은 벡터 공간과 매우 비슷하게 동작하는 모듈이다.

투영적

투사형 모듈은 무료 모듈의 직접적인 합계로서 바람직한 특성 중 많은 부분을 공유한다.

주입식

주입 모듈은 투영 모듈에 대해 일 년에 한 번씩 정의된다.

플랫

어떤 R-모듈의 정확한 순서와 함께 그것의 텐서 제품을 복용하면 모듈이 평평하다고 불린다.

토션리스

모듈은 대수학적 이중에 내장되어 있으면 토션리스라고 불린다.

심플

단순 모듈 S는 {0}이(가) 아니며 하위 모듈만 {0}과(와) S인 모듈이다. 간단한 모듈들은 때때로 수정 불가능한 것으로 불린다.^[4]

세미스이플라이프

반이행 모듈은 간단한 모듈의 직접 합계(완료 여부)이다. 역사적으로 이 모듈들은 또한 완전히 축소 가능하다고 불린다.

외설적

외설 모듈이란 0이 아닌 모듈로서, 0이 아닌 두 개의 하위 종을 직접 합한 것으로 쓸 수 없는 모듈이다. 모든 간단한 모듈은 외설적이지만, 단순하지 않은 외설적인 모듈(예: 균일한 모듈)이 있다.

충실한

충실한 모듈 M은 M에 대한 R의 각 r 0 0의 작용이 비경쟁적인 경우(즉, M의 일부 x에 대한 r ≠ x ≠ 0). 동등하게, M의 전멸기는 제로 이상이다.

비틀림 없는

비틀림 없는 모듈은 0이 링의 정규 요소(비 0-divisor)에 의해 소멸되는 유일한 요소인 링 위의 모듈이며, 동등하게 ${\displaystyle r}$ $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle rm$$=0$$}$ 또는$$ $m{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ r$=$$0}$을 의미한다$.$

노메테리아누스

노메테리아 모듈은 하위조에서 상승 체인 조건을 만족시키는 모듈이다. 즉, 모든 증가되는 하위조항 체인이 미세하게 많은 단계를 거치면 정지한다. 동등하게, 모든 서브모듈은 미세하게 생성된다.

아티니아어

아티니아 모듈은 하위조에서 내림 체인 조건을 만족시키는 모듈이다. 즉, 감소하는 모든 하위조 계통 사슬이 미세하게 많은 스텝 후에 정지하게 된다.

등급이 매겨진

등급 모듈은 모든 x와 y에 대해 RM_xy ⊂ M이_x+y 되도록 등급화된 링 R = ⨁_x R에 대해 직접_x 합계 M = ⨁_x M으로 분해된_x 모듈이다.

유니폼

균일모듈은 0이 아닌 모든 쌍의 하위모듈이 0이 아닌 교차점을 갖는 모듈이다.

추가 개념

표현 이론과의 관계

필드 k에 대한 그룹 G의 표현은 그룹 링 k[G] 위에 있는 모듈이다.

M이 좌측 R-모듈인 경우, R에서 원소 r의 작용은 각 x를 rx(또는 오른쪽 모듈의 경우 xr)로 보내는 지도 M → M으로 정의되며, 반드시 아벨리아 그룹의 집단 내형성(M, +)이다. M의 모든 집단 내형성의 집합은 End_Z(M)로 표시되며 추가와 구성 하에서 링을 형성하며, R의 링 요소 r을 그 작용에 보내는 것은 실제로 R에서 End_Z(M)로 링 동형성을 정의한다.

그러한 고리 동형상 R → End_Z(M)를 아벨 그룹 M에 대한 R의 표현이라고 한다. 왼쪽 R-모듈을 정의하는 대안적이고 동등한 방법은 왼쪽 R-모듈이 그 위에 R의 표현과 함께 아벨 그룹 M이라고 하는 것이다. 그러한 표현 R → End_Z(M)는 M에 대한 R의 링 작용이라고도 할 수 있다.

표현은 지도 R → End_Z(M)가 주입된 경우에만 충실한 표현이라고 한다. 모듈의 관점에서, 이것은 만약 r이 모든 x의 M에 대해 rx = 0과 같은 R의 요소라면, r = 0을 의미한다. 모든 아벨리아 그룹은 정수나 어떤 모듈식 산술 Z/nZ에 걸쳐 충실한 모듈이다.

일반화

링 R은 단일 물체를 가진 사전 추가 범주 R에 해당한다. 이러한 이해와 함께 왼쪽 R-모듈은 R에서 아벨리아 그룹의 Ab 범주에 이르는 공변량 첨가 펑터일 뿐이고 오른쪽 R-모듈은 반대편 첨가 펑터일 뿐이다. 이는 C가 사전 가법 범주인 경우 C에서 Ab까지의 공변량 첨가 functor를 C보다 일반화된 왼쪽 모듈로 간주해야 함을 시사한다. 이들 functors는 모듈 카테고리 R-Mod의 자연 일반화인 functor 카테고리 C-Mod를 형성한다.

정류 링 위의 모듈은 다른 방향으로 일반화될 수 있다: 링이 있는 공간(X, O_X)을 취하고 O-모듈의_X 층을 고려한다(모듈의 층 참조). 이것들은 범주 O-Mod를_X 형성하며, 현대 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다. X가 단 하나의 점만 가지고 있다면, 이것은 구식의 모듈 범주로서, 정류 링 O_X(X)를 통한 것이다.

사람들은 또한 어떤 의미에 대한 모듈도 고려할 수 있다. 링 위의 모듈은 아벨 그룹이지만, 세미링 위의 모듈은 서로 교환되는 모노이드일 뿐이다. 대부분의 모듈 적용은 여전히 가능하다. 특히, 어떤 의미 S의 경우, S의 행렬은 S의 원소의 튜플이 모듈인 의미(이 일반화된 의미에서만)를 형성한다. 이를 통해 이론 컴퓨터 과학에서 나온 의미들을 통합한 벡터 공간 개념을 더욱 일반화할 수 있다.

Near-ring은 Nonabelian의 모듈 일반화인 Near-ring 모듈을 고려할 수 있다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 그룹 링
• 대수(링 이론)
• 모듈(모델 이론)
• 모듈 스펙트럼
• 전멸기

메모들

참조

• F.W. 앤더슨과 K.R. 풀러: 모듈의 반지와 범주, 수학에서의 대학원 텍스트, 13권, 2권, 스프링거-베를라크, 1992년 뉴욕, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
• 네이선 제이콥슨 링의 구조. 콜로키움 출판물, 제37권, 제2권, AMS서점, 1964년 ISBN 978-0-8218-1037-8

외부 링크

• "Module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 왜 반지의 모듈을 MathOverflow에서 연구하는 것이 좋은 생각인가?
• 모듈(nLab)