아티니아 모듈

추상대수학에서 아티니아 모듈이란 하위절의 포셋에서 하강 체인 조건을 만족시키는 모듈이다.그것들은 아르티니아 링이 반지를 위한 모듈용이고, 링은 그 자체로 아르티니아 모듈일 경우에만(왼쪽 또는 오른쪽 곱하기 포함) 아르티니아식이다).두 개념 모두 에밀 아르틴의 이름을 따서 명명되었다.

선택 공리가 있는 경우, 내림차인 조건은 최소 조건과 동등하게 되며, 따라서 대신 정의에 사용될 수 있다.

노메테리아 모듈처럼 아티니아 모듈도 다음과 같은 유전적 특성을 즐긴다.

• M이 Artinian R-module이라면, M의 모든 서브모듈과 모든 인지도도 마찬가지다.

그 반대의 경우도 다음과 같다.

• M이 R 모듈이고 N이 Artinian인 Artinian인 Artinian 하위 모듈이라면 M은 Artinian이다.

결과적으로, 아르티니아 반지를 넘어 정교하게 생성된 모듈은 아르티니아인이다.^[1]생각하기 때문에 아르틴 환도Noetherian 반지, 그리고Noetherian 반지를 모듈 finitely-generated 있Noetherian,[1]라는 것은 아르틴 환 R, 을 위한 finitely-generated R-module과 Artinian, 그리고 유한 길이의 것으로 알려져 있Noetherian, 즉 R또는 만약 M유한하게 생성하지 않은 경우Artinian지 않다 그러나 counterexa 것은 사실이다.융점레스

왼쪽 및 오른쪽 Artinian 링, 모듈 및 바이모듈

링 R은 오른쪽 모듈로 간주될 수 있으며, 여기서 동작은 오른쪽 링 곱셈에 의해 주어지는 자연스러운 것이다.R은 오른쪽 모듈 R이 Artinian 모듈일 때 오른쪽 Artinian이라고 불린다."왼쪽 아르티니아 고리"의 정의는 유사하게 이루어진다.반지가 한쪽에서만 아르티니안인 것이 가능하기 때문에 비협조적인 반지의 경우 이 구별이 필요하다.

모듈 M은 대개 초기에는 좌 또는 우 R 모듈로 제공되기 때문에 좌-우 형용사는 일반적으로 모듈에 필요하지 않다.그러나 M은 좌우 R 모듈 구조를 모두 가질 수 있으며, 그 다음에 M Artinian을 호출하는 것이 애매하여 어떤 모듈 구조가 Artinian인지 명확히 할 필요가 있게 된다.두 구조물의 성질을 분리하기 위해서는 용어를 남용할 수 있으며 엄밀히 말하면 왼쪽 R-모듈 구조를 가진 M이 Artinian이라고 하는 것이 정확할 때 M을 왼쪽 Artinian 또는 오른쪽 Artinian이라고 지칭할 수 있다.

좌우 구조를 가진 모듈의 발생은 드문 일이 아니다. 예를 들어 R 자체는 좌우 R 모듈 구조를 가지고 있다.사실 이것은 바이모듈의 예로서, 아벨 그룹 M이 다른 링 S에 대해 좌-R, 우-S 바이모듈로 만들어지는 것이 가능할 수도 있다.실제로, 어떤 우측 모듈 M의 경우, 정수 Z의 링 위에 자동으로 왼쪽 모듈이며, 더욱이 Z-R 바이모듈이다.예를 들어, 합리적인 숫자 Q를 Z-Q 바이모듈로 자연적으로 고려하십시오.그렇다면 Q는 왼쪽 Z 모듈로서 Artinian이 아니라 오른쪽 Q 모듈로서 Artinian이다.

Artinian 조건은 바이모듈 구조에서도 정의될 수 있다: Artinian bimodule은 하위 바이오모듈의 집합이 내림차인 조건을 만족하는 바이모듈이다.R-S 바이모듈 M의 서브바이모듈은 좌 R모듈이기 때문에 좌 R 모듈로 간주되는 M이 아르티니안이라면 M은 자동으로 아르티니아 바이모듈이다.그러나 다음 예에서 알 수 있듯이, 바이모듈이 그것의 왼쪽이나 오른쪽 구조가 Artinian이 아닌 Artinian인 경우가 발생할 수 있다.

예:단순한 반지가 올바른 아르티니안일 경우에만 아르티니안을 떠난다는 것은 잘 알려진 사실인데, 이 경우 반이행반지다.R은 올바른 아르티니아인이 아닌 단순한 반지가 되게 하라.그리고 나서 그것은 또한 Artinian으로 남겨지지 않는다.R을 자연적으로 R-R 바이모듈로 생각하면, 그 하위 생체모듈은 정확히 R의 이상이다.R은 단순하기 때문에 R과 제로 이상 두 가지밖에 없다.따라서 바이모듈 R은 바이모듈로서 Artinian이지만, 그 자체로 왼쪽이나 오른쪽 R-모듈로서 Artinian은 아니다.

노메테리아 조건과의 관계

반지의 경우와 달리 노메테리아 모듈이 아닌 아르티니아 모듈이 있다.For example, consider the p-primary component of ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$, that is ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$, which is isomorphic to the p-quasicyclic group ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$, regarded as ${\displaystyl$$e \mathb {Z} }$ -module$$.The chain ${\displaystyle \langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \subset \cdots }$ does not terminate, so ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ (and therefore ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$$\}\}$ )는 노메테리아인이 아니다.그러나 (일반성의 손실 없이) 적절한 하위조종의 모든 하강 사슬은 다음과 같이 종료된다.Each such chain has the form ${\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots }$ for some integers ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$, and the inclusion of ${\displaystyle }$${\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle }$ implies that ${\displaystyle n_{i+1}}$ must divide ${\displaystyle n_{i}}$. So ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots }$ is a decreasing sequence of positive정수따라서 시퀀스가 종료되어 $Z{\displaystyle \mathbb{}({}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })$ Artinian이$$ 된다.

교감반지를 넘어서는 모든 순환 아르티니아 모듈도 역시 노메테리아인이지만, 오버순환 아르티니아 모듈들은 하틀리의 글에서 보듯이 헤아릴 수 없는 길이를 가질 수 있고 하틀리의 기억에만 전념하는 폴 콘 기사에 잘 요약되어 있다.

또 다른 관련 결과는 아키즈키-- 홉킨스-아르티니아와 노메테리아 조건이 반반고리 이상의 모듈에 해당한다고 기술한 레비츠키 정리.

참고 항목

• 노메테리아 모듈
• 오름차순/내림차인 조건
• 컴포지션
• 크룰 치수

메모들

참조

• Atiyah, M.F.; Macdonald, I.G. (1969). "Chapter 6. Chain conditions; Chapter 8. Artin rings". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Cohn, P.M. (1997). "Cyclic Artinian Modules Without a Composition Series". J. London Math. Soc. Series 2. 55 (2): 231–235. doi:10.1112/S0024610797004912. MR 1438626.
• Hartley, B. (1977). "Uncountable Artinian modules and uncountable soluble groups satisfying Min-n". Proc. London Math. Soc. Series 3. 35 (1): 55–75. doi:10.1112/plms/s3-35.1.55. MR 0442091.
• Lam, T.Y. (2001). "Chapter 1. Wedderburn-Artin theory". A First Course in Noncommutative Rings. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0.