외설 모듈
Indecomposable module추상대수학에서 모듈은 0이 아닌 경우 외설적이며 0이 아닌 두 개의 하위절의 직접적인 합으로 쓸 수 없다.[1]
외설적 개념은 단순한 모듈보다 약한 개념이다(불가설적 모듈이라고도 함). 은 "적절한 하위 모듈" N < 을 의미하지만 외설적 " = 으로 표현할 수 없음"을 의미한다.
외설물들의 직접적인 합은 완전히 분해될 수 있는 것이라고 불린다;[citation needed] 이것은 단순한 모듈의 직접적인 합인 반이 구현되는 것보다 더 약하다.
모듈을 외설적인 모듈로 직접 분해하는 것을 외설적인 분해라고 한다.
동기
많은 상황에서, 모든 관심 모듈들은 완전히 분해될 수 있다; 그러면 외설적인 모듈들은 연구되어야 할 유일한 대상인 "기본적인 빌딩 블록"으로 생각할 수 있다.필드 또는 PID를 통한 모듈의 경우에 해당하며, Jordan의 정상적인 운영자 형태에 기초한다.
예
밭
필드 위의 모듈은 벡터 공간이다.벡터 공간은 치수가 1인 경우에만 외설적이다.그래서 모든 벡터 공간은 완전히 분해될 수 있고(사실, semisimize), 차원이 무한하다면 무한히 많은 합계들을 가지고 있다.[2]
주 이상영역
주요 이상영역보다 정밀하게 생성된 모듈(PID)은 주요 이상영역보다 정밀하게 생성된 모듈의 구조 정리에 의해 분류된다. 일차 분해는 외설적인 모듈로 분해되는 것이므로 PID를 통해 미세하게 생성된 모든 모듈은 완전 분해될 수 있다.
명시적으로, 주요 이상 p(p = 0, R 산출물)에 대한 / p 형식의 모듈은 외설적이다.모든 미세하게 생성된 R-모듈은 이것들의 직접적인 합이다.n = 1 (또는 p = 0)인 경우에만, 예를 들어, 순서 4의 순환 그룹 Z/4는 외설적이지만 단순하지 않은 경우 – 순서 2의 하위 그룹 2Z/4를 가지지만, 이 경우 보수가 없다.
정수 Z를 넘어 모듈들은 아벨 그룹이다.미세하게 생성된 아벨리안 그룹은 일부 소수 p와일부 의 n에 Z/p n Z {Z}/mathbf {Z} 형식의 요인 그룹 또는 Z/p/displaystyle의 이형인 경우에만 강제 합성할 수 있다.모든 미세하게 생성된 아벨 그룹들은 외설적인 아벨 그룹들의 직접적인 총합이다.
그러나 정밀하게 생성되지 않은 다른 외설적인 아벨리아 집단이 있다. 예를 들어 소수점 Q와 소수점 p에 대한 Prufer p-group Z(p∞)가 있다.
고정 양의 정수 n의 경우, 실제 숫자(또는 다른 필드 K)의 항목이 있는 n-by-n 행렬의 링 R을 고려한다.그 다음n K는 좌측 R-모듈(스칼라 곱셈은 행렬 곱셈이다.이것은 R에 대한 유일한 외설적 모듈인 이소모르피즘에 달려있다.모든 좌측 R-모듈은 이 모듈 K의n (완성 또는 무한대) 복사본의 직접적인 합이다.
사실들
모든 간단한 모듈들은 외설적이다.위의 두 번째 예에서 알 수 있듯이, 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.
모듈의 내형성 링을 보면 모듈이 외설적인지 알 수 있다: 내형성 링에 0과 1과 다른 내형성 요소가 포함되어 있지 않은 경우에만.[1] (f가 그러한 M의 내형성이라면 M은 ker(f)와 im(f)의 직접적인 합이다.
유한한 길이의 모듈은 그것의 내형성 링이 국부적인 경우에만 외설적이다.유한 길이 외설물의 내형성에 대한 더 많은 정보는 피팅 보조정리법에 의해 제공된다.
유한 길이 상황에서, 외설물로의 분해는 특히 유용하다. Krull-Schmidt 정리 때문에: 모든 유한 길이 모듈은 정밀하게 많은 외설적인 모듈의 직접적인 합으로 쓰여질 수 있으며, 이 분해는 본질적으로 독특하다(만약 당신이 외설물로 다른 분해물을 가지고 있다면, 그렇다면 그 다음에 외설적인 것으로 분해하는 것을 의미한다).첫 번째 분해의 총합은 두 번째 분해의 총합과 쌍을 이루어서 각 쌍의 구성원이 이형화되도록 할 수 있다.[3]
메모들
참조
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
