장에 걸친 대수

수학에서, 한 장에 걸친 대수(대수)는 쌍선형 곱을 갖춘 벡터 공간이다.따라서, 대수는 곱셈, 덧셈, 스칼라 곱셈 연산과 함께 "벡터 공간"과 "이진수"^[1]에 의해 내포된 공리를 만족시키는 집합으로 이루어진 대수 구조이다.

대수에서 곱셈 연산은 연관성이 있을 수도 있고 없을 수도 있으며, 연관성 대수와 비 연관성 대수의 개념으로 이어진다.정수 n이 주어졌을 때, 순서 n의 실수 제곱 행렬의 링은 행렬 덧셈과 행렬 곱셈 하에서의 실수 장에 걸친 연상 대수의 한 예이다.벡터 교차곱에 의해 주어진 곱셈을 갖는 3차원 유클리드 공간은 벡터 교차곱이 대신 야코비 항등식을 만족시키는 비연관 대수의 한 예이다.

대수는 곱셈에 관한 항등원소를 갖는 경우 단수 또는 단수이다.순서 n의 항등 행렬이 행렬 곱셈에 관한 항등 요소이기 때문에, 순서 n의 실제곱 행렬의 고리는 단수 대수를 형성한다.이것은 벡터 공간이기도 한 (단순) 고리인 단수 연관 대수의 예입니다.

많은 저자들은 대수학이라는 용어를 연관대수, 즉 단수연관대수를 의미하거나 대수기하학, 단수연관대수와 같은 일부 과목에서 사용한다.

스칼라 필드를 교환환으로 대체하면 링 위의 대수의 보다 일반적인 개념으로 이어집니다.대수는 내부 곱공간과 같은 이중선형 형태를 갖춘 벡터공간과 혼동해서는 안 된다. 이러한 공간에 대해 곱의 결과는 공간에 있는 것이 아니라 계수 영역에 있다.

정의와 동기 부여

동기 부여 사례


대수학	벡터 공간	쌍선형 연산자	연관성	교환성
복소수	$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$	복소수 곱 $\displaystyle \left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)}$	네.	네.
3D 벡터의 교차적	$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$	교차 곱 ${\displaystyle} {\vec {a}} \ times {\vec {\displaystyle}$	아니요.	아니요(대칭적)
4분의 1	$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}$	해밀턴 곱 $({displaystyle(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})})$	네.	아니요.
다항식	$\mathbb {R} [X]$	다항식 곱셈	네.	네.

정의.

K를 필드라고 $하고$ , A를 A × $A$ 에서 $A$ 까지의 2진수 연산을 갖는 K $위$ 의 벡터 공간이라고 $하자$ (여기서 $x$ 와 y가 $A$ 의 두 $원소$ 라면 $x$ 와 $y$ 의 곱이라고 하는 $A$ 의 원소이다). $A$ 의 $모든$ $요소$ x, $y,$ $z$ 와 K의 $모든$ 요소(흔히 스칼라라고 불린다) $a$ 와 b에 대해 다음 항등식이 유지되면 A는 K 위의 $대수$ 이다.

오른쪽 분포도: ( $x$ + $y)$ · $z$ $= x$ · $z$ + $y$ · $z$
왼쪽 $분포도$ : $z$ · ( $x$ + $y) = z$ · $x$ + $z$ · $y$
스칼라와의 호환성 : ( $ax)$ · ( $by)$ = ( $ab)$ ( $x$ · $y)$

이 세 가지 공리는 이항 연산이 쌍선형임을 나타내는 또 다른 방법입니다.K $위$ 의 대수는 때때로 K-대수로도 $불리며$ , K는 $A$ 의 기저장이라고 불린다. $A$ 에서는 이진 연산을 곱셈이라고 합니다.이 기사에서 채택된 규칙은 대수의 요소의 곱셈이 반드시 연관성이 있는 것은 아니라는 것이다. 그러나 일부 저자들은 연관성 대수를 언급하기 위해 대수라는 용어를 사용한다.

벡터 공간상의 이항 연산이 가환연산인 경우 왼쪽 분포와 오른쪽 분포는 동등하며, 이 경우 하나의 분포만 증명을 필요로 합니다.일반적으로 비가환 연산의 경우 좌분포와 우분포는 동일하지 않으므로 별도의 증명이 필요합니다.

기본 개념

대수 동형사상

K-대수 A와 B가 주어졌을 때, K-대수 동형은 A의 모든 x, y에 대해 f(xy) = f(x) f(y)가 되도록 K-선형 지도 f: A → B이다.A와 B 사이의 모든 K-대수 동형사상의 공간은 종종 다음과 같이 쓰여진다.

\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).}

K-대게브라 동형사상은 비사사적 K-대게브라 동형사상이다.모든 실질적인 목적을 위해, 동형 대수는 표기법에 의해서만 다르다.

서브알제브라와 이상

필드 K 위의 대수의 하위 대수는 두 요소의 곱이 다시 부분 공간에 있다는 특성을 갖는 선형 부분 공간이다.다시 말해, 대수의 하위 대수는 덧셈, 곱셈 및 스칼라 곱셈에서 닫힌 요소의 비어 있지 않은 부분 집합입니다.기호에서, 우리는 K의 모든 x, y, y, x + y, cx가 모두 L이면, K 대수 A의 부분 집합 L을 부분 대수라고 한다.

실수에 대한 2차원 대수로 보는 복소수의 위의 예에서, 1차원 실선은 부분대수이다.

K-대수의 왼쪽 이상은 부분공간의 어떤 원소와 대수의 어떤 원소가 부분공간의 원소를 곱한 성질을 갖는 선형 부분공간이다.기호에서, 우리는 K-대수 A의 부분 집합 L이 왼쪽 이상이라고 말한다. 만약 L의 모든 x와 y, A의 z와 K의 c에 대해 다음과 같은 세 가지 문장이 있다.

x + y는 L(더하면 L이 닫힘),
cx는 L에 있습니다(L은 스칼라 곱셈에서는 닫힙니다.
z · x는 L 단위이다(L은 임의의 요소에 의해 왼쪽 곱셈 아래에서 닫힌다).

(3)이 x · z가 L에 있는 경우, 이것은 올바른 이상을 정의합니다.양면 아이디얼은 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼의 부분집합입니다.이상이라는 용어 자체는 보통 양면 이상을 의미하는 것으로 받아들여진다.물론 대수가 가환적일 때, 이상에 대한 이러한 모든 개념은 동등합니다.조건 (1)과 (2)는 모두 L이 A의 선형 부분 공간인 것과 같다.조건 (3)부터 모든 왼쪽 또는 오른쪽 이상은 하위 대칭이다.

여기서 조건(2)을 필요로 한다는 점에서 이 정의는 링의 이상에 대한 정의와 다르다는 점에 유의해야 합니다.물론 대수가 일이탈이면 조건 (3)은 조건 (2)을 내포한다.

스칼라의 확장

만약 우리가 K를 포함하는 더 큰 F의 필드 확장 F/K를 갖는다면, K 위의 모든 대수에서 F 위의 대수를 구성하는 자연스러운 방법이 있다.더 큰 장에 벡터 공간을 만들 때 사용하는 것과 같은 구조, 즉 $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ : $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $k$ K $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ : = $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ V \ $otimes _$ $A_{F}$ { $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ $K$ } $F$ $A_{F}$ 。따라서 A가 K에 대한 대수라면 A $A_{F}$ 는 F에 대한 $A_{F}$ 이다.

대수의 종류와 예시

밭의 대수는 여러 가지 종류가 있다.이러한 유형은 대수의 넓은 정의에서 필요하지 않은 정류성 또는 곱셈 연산의 연관성과 같은 몇 가지 추가 공리를 주장함으로써 지정된다.다른 종류의 대수에 대응하는 이론들은 종종 매우 다르다.

유니탈 대수

대수는 대수의 모든 x에 대해 Ix = x = xI인 단위 또는 단위 요소 I를 갖는 경우 단수 또는 단위이다.

제로 대수

대수는 모든 u에 대해 ^[2]uv = 0이면 영 대수라고 불리며, 하나의 원소를 갖는 대수와 혼동하지 않는다.이는 본질적으로 비단일적이며(단 하나의 요소만 제외), 연관성 및 가환성이다.

필드(또는 보다 일반적으로 고리) K와 K 벡터 공간(또는 모듈) V의 모듈의 직접 합계를 취하여 V의 모든 요소 쌍의 곱을 0으로 정의함으로써 단수 제로 대수를 정의할 수 있다.즉, μ µ K 및 u이면 v µ V, (μ + u) = μ μ + (μv + μu)이다.e₁, ...e가_d V의 기초라면, 일이탈 제로 대수는 각 쌍(i, j)에 대해_i_j EE에 의해 생성된 이상에 의한 다항식 고리 K₁[E, ..., E_n]의 몫이다.

유니탈 제로 대수의 예로는 2차원의 실수 벡터 공간에서 만들어진 유니탈 제로 R 대수가 있습니다.

이러한 일탈 제로 대수는 대수의 모든 일반 속성을 벡터 공간이나 모듈의 속성으로 변환할 수 있기 때문에 더 일반적으로 유용할 수 있습니다.예를 들어, 브루노 부크버거는 어떤 장에 걸친 다항식 고리 R = K[x₁, ..., x_n]의 이상을 위해 그뢰브너 염기 이론을 도입했다.자유 R-모듈에 대한 일탈 제로 대수의 구성은 자유 모듈의 하위 모듈에 대한 그뢰브너 기초 이론으로 이 이론을 확장할 수 있게 한다.이 확장에 의해 서브모듈의 Gröbner 베이스를 계산하기 위해 어떠한 수정도 없이 Gröbner 베이스를 계산하기 위한 알고리즘과 소프트웨어를 사용할 수 있다.

연관 대수

연상 대수의 예는 다음과 같다.

필드(또는 가환환) K에 대한 모든 n-by-n 행렬의 대수.여기서 곱셈은 일반적인 행렬 곱셈이다.
군 대수는 그룹이 벡터 공간의 기초가 되고 대수 곱셈은 그룹 곱셈을 확장합니다.
K에 대한 모든 다항식의 교환 대수 K[x](다항식 고리 참조).
[0,1] 구간에 정의된 모든 실값 연속 함수의 R-대수 또는 복소 평면의 일부 고정 개방 집합에 정의된 모든 정형 함수의 C-대수와 같은 함수의 대수.이것들도 가환적입니다.
발생 대수는 특정 부분 순서 집합 위에 구축된다.
선형 연산자의 대수(예: 힐베르트 공간)입니다.여기서 대수 곱셈은 연산자의 구성에 의해 주어진다.이들 대수는 또한 위상을 가지고 있다; 그들 중 많은 수가 기초가 되는 바나흐 공간에서 정의되어 바나흐 대수로 바뀐다.또한 인볼루션을 지정하면 B*-algebras 및 C*-algebras를 얻을 수 있습니다.이것들은 기능 분석에서 연구된다.

비연관 대수

밭에 한non-associative algebra[3](또는 분배의 대수학)K는 K-vector 공간을 보는 K-bilinear 지도를 가진×장착된 →"non-associative"여기서 사용은 그 연대 추정되지 않는 것을 전달하지만 그게 금지되어 있는 것은 아니라는 것을 의미한다 A{A\times A\rightarrow A\displaystyle}. – 그것은, 그것을 의미하"반드시 asso지 않다.ciative" 라고 하는 메세지가 표시됩니다.

주요 기사에 자세히 나와 있는 예는 다음과 같습니다.

대수와 고리

단위와 연관된 K-대수의 정의도 종종 다른 방법으로 제시된다.이 경우, 필드 K 위의 대수는 고리 동형사상과 함께 고리 A이다.

(\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}

여기서 Z(A)는 A의 중심입니다.θ는 링 동형사상이기 때문에 A가 제로 링이거나 θ가 주입형이어야 한다.이 정의는 스칼라 곱셈을 사용하여 위의 정의와 동일합니다.

K\times A\to A

에 의해 주어지는

(\displaystyle (k,a)\mapto \eta (k)a)}

이러한 두 개의 관련 단수 K-대수 A와 B가 주어졌을 때, 단수 K-대수 동형 f: A → B는 다음과 같이 쓸 수 있는 θ에 의해 정의된 스칼라 곱셈과 일치하는 고리 동형이다.

f(ka)=kf(a)

모든 $k\in K$ comm $k\in K$ \ $display style$ k \ $in K$ $a\in A$ $display style$ A $.$ 즉, 다음 그림은 다음과 같습니다.

\ display style \ begin { matrix } & \ \ eta _ { A } \ swarrow & , \ eta _ { B } \ searrow & \ \A&{\begin{matrix}f\\longrightarrow\end{matrix}}&B&end{matrix}}

구조 계수

어떤 장에 걸친 대수의 경우 A × A에서 A까지의 쌍선형 곱셈은 A의 기저 원소의 곱셈에 의해 완전히 결정된다.반대로 일단 A에 대한 기초가 선택되면, 기초 원소의 곱은 임의로 설정될 수 있고, 그 후 A의 쌍선형 연산자로 고유하게 확장될 수 있다. 즉, 결과 곱셈이 대수 법칙을 만족한다.

따라서, 필드 K가 주어졌을 때, 임의의 유한 차원 대수는 그 차원(예를 들어 n)을 부여하고 n개의 구조 계수_i,j,k c를 지정함으로써³ 동형사상까지 지정할 수 있다.이러한 구조 계수는 다음 규칙을 통해 A의 곱셈을 결정합니다.

\displaystyle \mathbf {e} _{i} \mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

여기서₁ e,...e는_n A의 기저를 이룬다.

그러나 몇 가지 구조 계수의 다른 집합은 동형 대수를 발생시킬 수 있다.

수리물리학에서 구조계수는 일반적으로 좌표변환 하에서 변환특성을 구별하기 위해 상위지수와 하위지수를 사용하여 작성된다.특히, 낮은 지수는 공변 지수이며 풀백을 통해 변환되는 반면, 상위 지수는 역변수로 밀어넣기 아래에서 변환됩니다.따라서, 구조 계수는 종종 c로 쓰여지고_i,j^k, 그들의 정의 규칙은 아인슈타인 표기법을 사용하여 쓰여집니다.

ee_i_j_i,j^k_k = ce.

인덱스 표기법으로 작성된 벡터에 이것을 적용하면, 이것은

(xy)^k = cxy_i,j^kⁱ^j.

K가 필드가 아닌 교환 링일 경우 A가 K 위의 프리 모듈일 경우에도 같은 프로세스가 동작합니다.그렇지 않은 경우, 곱셈은 여전히 A에 걸친 집합의 작용에 의해 완전히 결정된다. 그러나 구조 상수는 이 경우 임의로 지정할 수 없으며 구조 상수만을 아는 것은 동형사상까지의 대수를 지정하지 않는다.

복소수에 대한 저차원 단일 결합 대수의 분류

복소수 영역에 걸친 2차원, 3차원 및 4차원 일차원 연관 대수는 Eduard ^[4]Study에 의해 완전히 동형사상으로 분류되었다.

그런 2차원 대수가 두 개 있다.각 대수는 2개의 기본 요소, 1(항등 요소)과 a의 선형 조합(복잡한 계수 포함)으로 구성됩니다.아이덴티티 요소의 정의에 따르면

\displaystyle 1\cdot 1=1,\cdot a=a,\display a\cdot 1=a,}

다음 사항을 명시해야 합니다.

\textstyle aa=1

\textstyle aa=1

(

번째 대수의 경우 \displaystyle

\textstyle

aa

=1

)

\textstyle aa=0

\textstyle aa=0

(

번째 대수의 경우

\displaystyle

\

textstyle

aa

=0

이런 3차원 대수가 5개 있다.각 대수는 3개의 기본 요소, 1(항등 요소), a 및 b의 선형 조합으로 구성됩니다.ID 요소의 정의를 고려하여 다음을 지정하면 됩니다.

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

= a

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

{\

displaystyle

\

textstyle

aa

=a,\display

bb

=b,\display

bb=ba

=0}

첫

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

번째 대수의 경우,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

= a

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

{\

displaystyle

\

textstyle

aa

=a,\syslog

bb

=0,\syslog

ab=ba

=0}

두

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

번째 대수의 경우,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

= a

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

{\

displaystyle \textstyle

aa

=b,\syslog

bb

=0,\syslog

ab=ba

=0}

세

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

번째 대수의 경우,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

-

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

\

displaystyle

\

textstyle

aa

=1,\

displaystyle bb=0,\display bb

=0,\

display ab=-

b}

는

\textstyle a a = 1 \, , \quad b b = 0 \, , \quad a b = - b a = b

네 번째 대수이다.

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

b =

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

0 , \

displaystyle

\

textstyle

aa =

0

, \

displayb

= 0 , \ displaystyle bb =

0

, \ displayba = 0 , \

displicate ab

= ba

= 0

.

이 대수들 중 네 번째 대수는 비가환이고 다른 대수는 가환이다.

일반화: 링 위의 대수

가환대수와 같은 수학의 일부 영역에서는 환에 걸친 대수의 보다 일반적인 개념을 고려하는 것이 일반적이며, 여기서 가환 단수 링 R은 필드 K를 대체한다.정의에서 유일하게 변경된 부분은 A가 (K 위의 벡터 공간이 아닌) R 모듈로 가정된다는 것입니다.

고리 위의 연상 대수

링 A는 항상 중심과 정수에 대한 연관 대수입니다.그 중심에 걸친 대수의 고전적인 예는 분할 비쿼터니언 대수로, 이는 두 사분위 대수의 직접곱인 $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ H × $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ \ $xisplaystyle \mathbb {H}$ \ $times \mathbb {H$ 와 동형이다.이 고리의 중심은 R $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ × $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ \ $times \mathbb {R$ 이므로 중심 위에 대수 구조를 가지며, 이는 필드가 아닙니다.분할 비쿼터니언 대수도 당연히 $\mathbb {R}$ R $(\$ -대수입니다 $\mathbb {R}$ .

가환대수학에서 A가 가환이면 단수환 $R\to A$ $R\to A$ A {\ $displaystyle$ R\to A $}$ 는 $R \to A$ A 위에 R-모듈 구조를 정의하며, ^[5]이를 R-대수 구조라고 한다.따라서 링은 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to A$ Z $\mathbb {Z} \to A$ $\mathbb {Z} \to A$ $（$ \ $displaystyle \mathbb$ { $Z$ $}$ \ $to$ $\mathbb {Z}$ A $\mathbb {Z} \to A$ ^[6]를 취할 수 있기 때문에 자연스러운 Z ${\$ {Z $}$ } -displic $\mathbb {Z}$ 구조를 가지고 있습니다.반면, 모든 링이 필드(예를 들어 정수)에 걸쳐 대수 구조를 부여할 수 있는 것은 아닙니다.각 링에 대해 필드 상에서 대수처럼 동작하는 구조를 부여하는 시도에 대한 설명은 요소가 1개인 필드를 참조하십시오.

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메모들

^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, 3페이지 Proposition 1.1.1 참조
^ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
^ Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.
^ Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
^ Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
^ Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

레퍼런스

Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.

[1] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, 3페이지 Proposition 1.1.1 참조

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.

[Schafer-3] Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.

[4] Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669

[5] Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.

[6] Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

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목차

정의와 동기 부여

동기 부여 사례

정의.

기본 개념

대수 동형사상

서브알제브라와 이상

스칼라의 확장

대수의 종류와 예시

유니탈 대수

제로 대수

연관 대수

비연관 대수

대수와 고리

구조 계수

복소수에 대한 저차원 단일 결합 대수의 분류

일반화: 링 위의 대수

고리 위의 연상 대수

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