균일 모듈

추상대수학에서, 0이 아닌 두 하위절의 교차점이 0이 아닌 경우 모듈을 균일한 모듈이라고 부른다.이는 M의 모든 0이 아닌 하위 모듈이 필수 모듈이라고 말하는 것과 맞먹는다.링은 그 자체로 오른쪽(왼쪽) 모듈로서 균일하다면 오른쪽(왼쪽) 균일 링이라고 할 수 있다.

알프레드 골디는 현재 모듈의 균일한 치수(또는 골디 치수)로 알려진 모듈의 치수 측정을 구성하기 위해 균일한 모듈의 개념을 사용했다.균일한 차원은 벡터 공간의 차원 개념의 일부 측면을 일반화하지만 전부는 아니다.유한 균일 치수는 세미 구현 링에서 어떤 링이 올바른 순서인지 특징짓는 골디의 정리를 포함하여 골디에 의해 몇 가지 이론에 대한 핵심 가정이었다.유한 균일 치수의 모듈은 아르티니아 모듈과 노메테리아 모듈 모두를 일반화한다.

문헌에서 획일적인 치수는 단순히 모듈의 치수 또는 모듈의 등급이라고도 한다.균일한 차원은 모듈의 등급 감소에 대한 골디 때문에 관련 개념과 혼동해서는 안 된다.

균일한 모듈의 특성 및 예

통일된 모듈이 되는 것은 보통 직접 제품이나 지수 모듈에 의해 보존되지 않는다.0이 아닌 두 모듈의 직접 합은 항상 교차로 0이 있는 두 개의 하위 모듈, 즉 두 개의 원래 합계 모듈을 포함한다.N과₁ N이₂ 균일한 모듈 M의 적절한 하위 모듈이고 어떤 하위 모듈도 다른 하위 모듈을 포함하지 않는 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ / ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$2 ) {\$displaystyle M/(N_{1$}\$cap$N_${2$}}}}}은(는) 다음과 같이 균일하지 않다$$.

${\displaystyle N_{1}/(N_{1}\cap N_{2})\cap N_{2}/(N_{1}\cap N_{2})=\{0\}.}$

단일 모듈들은 균일하며, 균일한 모듈들은 반드시 직접적으로 외설적일 수 있다.a와 b가 두 개의 이상에서 0이 아닌 원소라면 ab 제품은 이상 교차점에서 0이 아닌 원소이기 때문에 어떤 상호 작용 영역도 균일한 고리다.

모듈의 균일한 치수

다음과 같은 정리를 통해 모듈에서 균일한 하위모형을 사용하여 치수를 정의할 수 있다.벡터 공간 정리를 모듈화한 것이다.

정리:U와_i V가_j 모듈 M의 균일한 하위 모형의 유한 집합의 멤버인 경우,${\displaystyle {}_{such}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ n ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle {U\_}_{}^{}}$${i}}$ 및$$ $\oplus {\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ V ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$}{{V_{i}}$은(는) M의 필수 하위종이며, 그 다음 n = m이다.

${\displaystyle u_{}^{}}$.dim(M)으로 표시된 모듈 M의 균일한 치수는 $\oplus {\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ U ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 같은 균일한 하위 모듈 U의_i 유한 집합이 있는 경우 n으로 정의된다.$U_{i}}$는 M의 필수 서브모듈이다.앞의 정리는 이 n이 잘 정의되어 있음을 보장한다.만일 그러한 유한한 하위조항이 존재하지 않는다면, u.dim(M)은 )으로 정의된다.반지의 균일한 치수를 말할 때, udim(R_R) 또는 udim(_RR)이 측정되고 있는지 여부를 명시할 필요가 있다.반지의 반대편에는 두 개의 서로 다른 균일한 치수가 있을 수 있다.

N이 M의 서브모듈이라면, N이 M의 필수 서브모듈일 때 정확히 동일한 u.dim(N) u u.dim(M)이다.특히 M과 그 주입 선체 E(M)의 치수는 항상 동일하다.또한 udim(M) = e(M)이 n 강제 주입 모듈의 직접적인 합인 경우에만 n인 것도 사실이다.

U.dim(M) = M이 0이 아닌 하위절의 무한 직접 합을 포함하는 경우에만 ∞임을 알 수 있다.따라서 M이 노메테리아나 아르티니아인이라면 M은 유한한 균일 차원을 가지고 있다.M이 유한 성분 길이 k를 갖는 경우, M이 세미 구현 모듈일 때 정확히 동일한 u.dim(M) ≤ k. (Lam 1999)

표준 결과는 오른쪽의 노에테리아 도메인이 오른쪽의 오레 도메인이라는 것이다.사실, 우리는 골디에게 귀속된 또 다른 정리로부터 이 결과를 복구할 수 있는데, 골디에는 다음과 같은 세 가지 조건이 도메인 D와 동등하다고 기술하고 있다.

• D is right Ore
• U.dim(D_D) = 1
• U.dim(D_D) < ∞

중공 모듈 및 동일 치수

The dual notion of a uniform module is that of a hollow module: a module M is said to be hollow if, when N₁ and N₂ are submodules of M such that ${\displaystyle N_{1}+N_{2}=M}$, then either N₁ = M or N₂ = M. Equivalently, one could also say that every proper submodule of M is a superfluous submodule.

이 모듈들은 또한 동일 균일 치수, 코랭크, 중공 치수 또는 이중 골디 치수라고 불리는 균일한 치수의 아날로그를 인정한다.Studies of hollow modules and co-uniform dimension were conducted in (Fleury 1974) harv error: no target: CITEREFFleury1974 (help), (Reiter 1981) harv error: no target: CITEREFReiter1981 (help), (Takeuchi 1976) harv error: no target: CITEREFTakeuchi1976 (help), (Varadarajan 1979) harv error: no target: CITEREFVaradarajan1979 (help) and (Miyashita 1966) harv error: no target: CITREFMiyasita1966 (도움말)독자들은 플뢰리가 골디 차원을 이원화하는 뚜렷한 방법을 탐구했다고 경고한다.바라다라얀, 타케우치 그리고 리페퍼레이션의 속이 빈 차원은 거의 틀림없이 더 자연스럽다.(Greszczuk & Puczylowski 1984) harv 오류: 대상 없음: CITREFGrzzzukPuczylowski1984 (도움말)는 모듈의 중공 치수가 하위절의 이중 격자의 균일한 치수라는 모듈형 격자의 정의를 내렸다.

정밀하게 열병합 발전된 모듈이 유한한 균일한 치수를 갖는 것은 항상 있는 일이다.이것은 의문을 제기한다: 미세하게 생성된 모듈이 유한한 중공 치수를 가지고 있는가?대답은 no로 판명된다: (Sarath & Varadarajan 1979년) harv error: no target: SATEREFSarathVaradarajan79 (도움말) 모듈 M이 유한한 중공 치수를 가지고 있다면 M/J(M)는 세미임플라이프, Artinian 모듈이다.R/J(R)가 아르티니아어 반을 구현하지 않는 단결성을 가진 고리가 많이 있으며, 그러한 R이 주어진 R자체는 미세하게 생성되지만 무한한 중공 치수를 가지고 있다.

사라스와 바라다라얀은 나중에, 아르티니안 반이행 M/J(M)이 M의 불필요한 하위모듈인 경우, M(M)이 유한한 중공 치수를 갖기에 충분하다는 것을 보여주었다.^[1]이것은 왼쪽 또는 오른쪽 R-모듈로서 유한한 중공 치수의 링 R이 정확히 반초점 고리임을 보여준다.

바라다라얀의 결과의 추가적인 관점은 R이_R 했을 때 정확히 R은 유한한 중공 치수를 가지고 있다는 것이다.이것은 한 쪽에는 유한 균일 치수가, 다른 쪽에는 무한 균일 치수를 가질 수 있다고 알려져 있기 때문에 유한 균일 치수 사례와 대비된다.

교과서

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294

일차 출처

• Fleury, Patrick (1974), "A note on dualizing Goldie dimension", Canadian Mathematical Bulletin, 17 (4): 511–517, doi:10.4153/cmb-1974-090-0

• Goldie, A. W. (1958), "The structure of prime rings under ascending chain conditions", Proc. London Math. Soc., Series 3, 8 (4): 589–608, doi:10.1112/plms/s3-8.4.589, ISSN 0024-6115, MR 0103206

• Goldie, A. W. (1960), "Semi-prime rings with maximum condition", Proc. London Math. Soc., Series 3, 10: 201–220, doi:10.1112/plms/s3-10.1.201, ISSN 0024-6115, MR 0111766

• Grezeszcuk, P; Puczylowski, E (1984), "On Goldie and dual Goldie dimension", Journal of Pure and Applied Algebra, 31 (1–3): 47–55, doi:10.1016/0022-4049(84)90075-6

• Hanna, A.; Shamsuddin, A. (1984), Duality in the category of modules: Applications, Reinhard Fischer, ISBN 978-3889270177

• Miyashita, Y. (1966), "Quasi-projective modules, perfect modules, and a theorem for modular lattices", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. I, 19: 86–110, MR 0213390

• Reiter, E. (1981), "A dual to the Goldie ascending chain condition on direct sums of submodules", Bull. Calcutta Math. Soc., 73: 55–63

• Sarath B.; Varadarajan, K. (1979), "Dual Goldie dimension II", Communications in Algebra, 7 (17): 1885–1899, doi:10.1080/00927877908822434

• Takeuchi, T. (1976), "On cofinite-dimensional modules.", Hokkaido Mathematical Journal, 5 (1): 1–43, doi:10.14492/hokmj/1381758746, ISSN 0385-4035, MR 0213390

• Varadarajan, K. (1979), "Dual Goldie dimension", Comm. Algebra, 7 (6): 565–610, doi:10.1080/00927877908822364, ISSN 0092-7872, MR 0524269