초등반

모델 이론에서 수학적 논리학의 한 분야인 초등 클래스(또는 공리학적 가능 클래스)는 고정된 1차 이론을 만족하는 모든 구조로 구성된 클래스다.null

정의

기호 σ의 구조 K 등급은 기호 σ의 1차 이론 T가 있으면 초등반이라 하며, K는 T의 모든 모델, 즉 T를 만족시키는 모든 σ구조로 구성된다. T를 1차 문장 하나로 구성된 이론으로 선택할 수 있다면 K 등급은 기초반이라고 한다.null

보다 일반적으로 K는 T모델의 extends으로 환원되는 모든 if구조로 구성되는 등 σ을 확장하는 서명의 1차 이론 T가 있다면 K는 사이비-초등계급이다.즉, σ구조물의 등급 K는 k'에 있는 구조물의 σ에 대한 환원제로 정밀하게 구성되는 등, 초등등급 K'가 있다면 유사초소형이다.null

분명한 이유 때문에 초등반은 1차 논리에서는 공리함수, 기초초등급을 1차 논리에서는 정밀하게 공리함수함수라고 부르기도 한다.이러한 정의는 명백한 방법으로 다른 로직으로 확장되지만, 1차 경우가 훨씬 중요하기 때문에 공리화할 수 있는 것은 다른 논리가 명시되지 않은 경우에 이 경우를 암묵적으로 언급하고 있다.null

상충되는 대체 용어

위의 용어들이 오늘날 "무한한" 모델 이론에서 표준 용어인 반면, 약간 다른 초기 정의들은 여전히 유한 모델 이론에서 사용되고 있는데, 여기서 초등 클래스를 Δ-초등 클래스라고 할 수 있고, 초등 클래스 및 1차 공리화 가능 클래스라는 용어는 기초 초등 클래스를 위한 것이다(Ebinghaus et al.1994년, 에빙하우스와 플럼 2005년).Hodges는 초등학교 수업을 공리화할 수 있는 클래스라고 부르고, 그는 기초적인 초등학교 클래스를 정의 가능한 클래스라고 부른다.그는 또한 각각의 동의어 EC ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\$ 클래스와 EC 클래스(Hodge, 1993)를 사용한다.null

이렇게 용어가 엇갈리는 데는 그럴듯한 이유가 있다.일반적인 모델 이론에서 고려되는 서명은 무한인 경우가 많은 반면, 1차 문장 한 개에는 아주 많은 기호만 포함되어 있다.따라서 무한 모델 이론에서는 기초 초등 수업은 비정형이다.반면에 유한 모델 이론은 거의 독점적으로 유한 서명을 다룬다.모든 유한서명 σ과 이소모르프주의에 의해 폐쇄된 σ구조물의 등급 K에 대해 K와 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과 같은 σ구조물의 $초등등급$ K ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 정확히 동일한 유한구조를 포함하고$$ 있음을 쉽게 알 수 있다.그러므로 초등 수업은 유한 모델 이론가들에게 그다지 흥미롭지 않다.null

개념들 사이의 쉬운 관계

분명히 모든 기본 초등반은 초등반이고, 모든 초등반은 사이비 초등반이다.더욱이, 콤팩트성 정리의 쉬운 결과로서, 만일 그것이 기초적이고 그것의 보완물 또한 기초적인 것이라면, 오직 σ구조물의 한 종류는 기초적인 기초가 된다.null

예

기초반

σ는 단항함수 기호 f로만 구성된 서명이 되도록 한다.f가 일대일인 σ구조물의 K등급은 기초초급반이다.이것은 단문만으로 구성된 T 이론에 의해 목격된다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle y}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$= y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle \f$ forall $x\f(f(x)=f(y)\to (x=y$

기초가 아닌 기초가성 초등반

σ은 임의의 서명이 되게 하라.모든 무한대의 구조물의 K등급은 초보적이다.이를 보려면 문장을 고려하십시오.

${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\$ $$${\displaystyle \mathrm{}}$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ $1$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$\ \ $x_{1}\not =x_{2}},$ ",$$

${\displaystyle \rho _{3}={}}$ "${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}\exists x_{3}((x_{1}\not =x_{2})\land (x_{1}\not =x_{3})\land (x_{2}\not =x_{3}))}$",

등등. (따라서 ${\displaystyle {sentencen}_{}}$ ${\$ 문장은 최소한$$ n개의 요소가 있다고 말한다.)무한대의 σ 구조는 정확히 이론의 모델이다.

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$= {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle T_{\\infit }=\{\rho_{2},\rho_{3},\rho_{4},\dots$ $\backslash \}\}\}\}\}.$

그러나 K는 기본적인 초등 수업은 아니다.그렇지 않으면 무한의 σ 구조는 정확히 어떤 1차 문장 τ을 만족시키는 구조일 것이다.그러나 그 다음에는${\displaystyle }$세트 {${\displaystyle \mathrm{}}$τ ${\displaystyle \tau }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\rho \mathrm{}}_{}}$ 3,${\displaystyle {}_{}{\rho \mathrm{}}_{}}$ 4 ,$}$ {\$displaystyle \{\neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\dots$\}}}이 일관성이 없을 것이다$$.콤팩트함 정리로는, 자연수 n에 대해$,{\displaystyle }$ 세트 { ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \tau }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle {}_{}}$ $}$ {\$displaystyle$\{\$neg \tau ,\rho _{2},\rho _{3},\rho _{4},\rhots,\n}$가 일관성이 없을 것이다$$.그러나 이 이론은 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$개$$ 이상의 원소를 가진 어떤 σ구조에도 의해 충족되기 때문에 이것은 불합리하다.null

단, 서명 '' = σ $\cup {\displaystyle }$ {${$ {\$displaystyle$ \$cup$}{f}, 여기서 f는 단일 함수 기호로서 K'에 있는 σ'구조물의 σ에 대한 환원제로 정확히 구성된다.K' is axiomatised by the single sentence ${\displaystyle (\forall x\forall y(f(x)=f(y)\rightarrow x=y)\land \exists y\neg \exists x(y=f(x))),}$, which expresses that f is injective but not surjective.그러므로 K는 초급이고 기본적인 사이비-초급이라고 할 수 있는 것이지만, 기초초급은 아니다.null

비초등인 유사초등 클래스

마지막으로, 단일 관계 기호 P로 구성된 서명 σ을 고려한다.모든 σ 구조물은 두 개의 하위 세트로 분할된다.P가 가지고 있는 그 요소들과 나머지 요소들.K는 이 두 하위 집합이 동일한 카디널리티, 즉 그들 사이에 편향성이 있는 모든 σ 구조의 등급이 되도록 한다.P의 실현 집합과 그 보어 집합이 모두 계산적으로 무한인 σ 구조물은 한 집합이 계산적으로 무한하고 다른 집합은 계산할 수 없는 σ 구조와 정확히 동일한 1차 문장을 만족시키기 때문에 이 세분류는 초보적이지 않다.null

이제 단일 함수 기호 f와 함께 P로 구성된 서명 signature ${\$을$($를) 고려하십시오.$K{\displaystyle {}^{}}$bi ${\$을(를) 모든 $\$ {\$displaystyle \sigma '}$ 구조물의$$ 클래스가 되도록$$ 두십시오(f는 bijection이고 p는 f(x)를 고정하지 않는 구조인 경우).${\displaystyle K^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 분명히 초등반이고$$, 따라서 K는 초등반이 아닌 사이비초등반의 예다.null

비의학-초등교실

σ은 임의의 서명이 되게 하라.모든 유한한 구조물의 등급 K는 (위 그림처럼) 기초적인 것이 아니라 기초적인 것이 아니기 때문에 기초적인 것이 아니다.이는 σ을 연장하는 모든 서명에도 해당되기 때문에 K는 사이비 소급도 아니다.null

이 예는 훨씬 더 표현력 있는 2차 논리와는 반대로 1차 논리 고유의 표현력의 한계를 보여준다.그러나 2차 논리학은 1차 논리학의 많은 바람직한 성질을 유지하지 못하는데, 이를테면 완전성, 콤팩트성 이론이다.null

참조

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg (2005) [1995], Finite model theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 360, ISBN 978-3-540-28787-2
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994), Mathematical Logic (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94258-2
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
• Poizat, Bruno (2000), A Course in Model Theory: An Introduction to Contemporary Mathematical Logic, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5