베르소르

수학에서 버저는 규범 1의 쿼터니온(단위 쿼터니온)이다. 이 단어는 라틴 베르사레 = 접미사와 함께 "to turn"에서 유래하거나 동사로부터 명사를 형성한다(예: versor = "turner"). 그것은 윌리엄 로완 해밀턴에 의해 그의 질문 이론의 맥락에서 소개되었다.

각 베르사르는 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\mathbf {r} ^{2}=-1,\pi [0,\pi ],}$

여기서 r² = -1 조건은 r이 단위 길이 벡터 쿼터니온(또는 r의 첫 번째 성분이 0이고, r의 마지막 세 성분이 3차원의 단위 벡터임을 의미한다). 해당 3차원 회전은 축-각 표현에서 축 r에 대한 각도 2a를 가진다. a = π/2인 경우, versor를 우측 versor라고 부른다.

3-스페이스 및 2-스페이스에 대한 프레젠테이션

해밀턴은 기호 Uq로 쿼터니온 q의 베르소르를 가리켰다. 그 후 그는 일반 쿼터를 극좌표 형태로 표시할 수 있었다.

q = Tq Uq,

여기서 Tq는 q의 표준이다. 버저의 표준은 항상 1과 동일하다. 따라서 버저의 표준은 H의 3-sphere 단위를 점유한다. 버너의 예는 쿼터니온 그룹의 8개 요소를 포함한다. 특히 중요한 것은 각도가 π/2인 우측 버시버들이다. 이러한 버너에는 스칼라 부분이 0개 있으며, 길이 1의 벡터(단위 벡터)도 있다. 오른쪽 버시어는 쿼터니온 대수에서 -1의 제곱근의 구를 형성한다. 발전기 i, j 및 k는 오른쪽 버시어의 예시일 뿐 아니라 그 첨가물 invers이다. 다른 버너로는 24셀 폴리초론의 정점과 규범 1을 가진 24개의 허위츠 쿼터가 있다.

해밀턴은 쿼터니언을 두 벡터의 인수로 정의했다. 버저는 두 개의 단위 벡터의 몫으로 정의할 수 있다. 고정 평면 π에 대해 π에 놓여 있는 두 개의 단위 벡터의 몫은 위에서 설명한 버저의 단위 벡터 각도 표현에서와 동일한 a와 그들 사이의 각도(방향)에만 의존한다. 그렇기 때문에 단위 벡터 쌍을 연결하고 π과 단위 구체의 교차점에 의해 형성된 큰 원 위에 π 평면의 origin이 원점을 통과하는 원호 위에 놓여 있는 지시된 원호로서 대응하는 버시어를 이해하는 것이 자연스러울 수 있다. 방향과 길이가 같은 호(또는 라디안 단위로 그 하위 각도가 동일)는 등가, 즉 같은 버시어를 정의한다.

그러한 호는 비록 3차원 공간에 놓여있지만, 버저가 있는 샌드위치 제품으로 설명하듯이 회전하는 점의 경로를 나타내지 않는다. 실제로, 평면 Ⅱ를 보존하는 쿼터니온에 대한 버저의 왼쪽 곱셈 작용과 그에 상응하는 3-벡터의 큰 원을 나타낸다. 베르소르에 의해 정의된 3차원 회전은 호의 하위 각도의 2배인 각도를 가지며, 동일한 평면을 보존한다. π에 수직인 해당 벡터 r에 대한 회전이다.

해밀턴은^[1] 3개의 벡터에

${\$$OA\ }$ 그리고$$

$(\displaystyle q'=\gamma :\beta=OC:OB}$

암시하다

$[\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.}$

규범 1의 쿼터니온의 곱셈은 단위 구에 있는 원호들의 (비확정) "추가"에 해당한다. 어떤 원이라도 같은 원이거나 두 개의 교차점이 있다. 따라서 두 번째 호의 시작은 첫 번째 호의 끝과 같도록 항상 B 지점과 해당 벡터를 이들 지점 중 하나로 이동할 수 있다.

방정식

${\displaystyle \exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s})=\exp(b\mathbf {t})\!}$

두 버시어의 곱에 대한 단위 벡터 각도 표현을 암시적으로 명시한다. 그것의 해결책은 리 집단 이론에서 일반적인 캠벨-베이커-하우스도르프 공식의 한 예다. $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 버시어로 대표되는 3-sphere가$$ 3-모수 Lie 그룹이기 때문에, 버시어 컴포지션으로 연습하는 것이 Lie 이론의 한 단계다. 분명한 버시어는 벡터의 쿼터니온 하위공간에 있는 반경 π의 공에 적용된 지수 지도의 이미지다.

베르사르는 앞에서 언급한 벡터 호로 작곡하고, 해밀턴은 이 그룹 운영을 "호크의 합계"라고 언급했지만, 쿼터니온으로서 그들은 단순히 증식한다.

타원 공간의 기하학은 버시어의 공간으로 설명되어 왔다.^[2]

SO(3)의 표현

3차원의 직교 그룹 SO(3)는 u가 버서인 내부$$ 자동형 $q{\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$를 통해 버서와 함께 자주 해석된다. 과연

${\displaystyle u}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle u=\exp(ar)}$ 및 벡터$$ s는 r에 수직이다.

그때

${\displaystyle u^{-1}su=s\cos 2a+floss\sin 2a}$

계산으로^[3] The plane ${\displaystyle \{x+yr:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\subset H}$ is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {C} }$ and the inner automorphism, by commutativity, reduces to the identity mapping there. 쿼터니온은 2개의 복잡한 차원의 대수로서 해석될 수 있기 때문에 회전 작용은 특수 단일 그룹 SU(2)를 통해서도 볼 수 있다.

고정 r의 경우, ∈(-π, π)이 원 그룹에 대해 부분군 이형체를 형성하는 형태 exp(ar)의 버너. 이 부분군의 왼쪽 곱셈 작용의 궤도는 사례 r = i에서 Hopfibration으로 알려진 2-sphere 위에 있는 섬유 다발의 섬유이다. 다른 벡터들은 동일한 섬유질을 주지는 않지만 이소모르픽을 준다. 2003년에 David W. Lyons는^[4] "홉프 지도의 섬유는 S에 원이다³"(95페이지)라고 썼다. 라이온스는 단위 쿼터에 대한 매핑으로 Hopf 진동을 설명하기 위해 쿼터니온에 대한 기본적인 소개를 제공한다.

버저는 쿼터니온 곱셈으로 블로흐 구의 회전을 나타내기 위해 사용되어 왔다.^[5]

타원공간

버시어의 시설은 타원 기하학, 특히 타원 공간, 즉 3차원 회전 영역을 나타낸다. 4차원 유클리드 공간에서의 회전을 언급하지만, 버시어는 이 타원형 공간의 지점이다. u와 v의 고정 버시어 2개를 감안할 때 매핑 $q{\displaystyle u}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q\mapsto uqv}$은 타원형 운동이다. 만약 고정 버시어 중 하나가 1이라면, 그 동작은 타원형의 공간을 클리포드로 번역한 것으로, 그 공간의 지지자였던 윌리엄 킹돈 클리포드의 이름을 따서 지은 것이다. 베르소르 u를 통과하는 타원선은 { a: a < }} . ${\displaystyle \{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}}}$공간에서의 평행도는 클리포드 평행선으로 표현된다. 타원형 공간을 보는 방법 중 하나는 Cayley 변환을 사용하여 버퍼를 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 매핑한다.

쌍곡선 버시어

쌍곡선 버저는 로렌츠 그룹과 같은 무한 직교 그룹에 쿼터니온 버저를 일반화한 것이다. 양식의 수량으로 정의된다.

$⁡$$=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a}$ 여기서$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$+${\displaystyle 1}$. ${\displaystyle \mathbf {r}^{2}=+1.$$}$

그러한 요소들은 혼합 서명의 알헤브라스에서 발생하는데, 예를 들어 분할 복합 수나 분할 쿼터니온과 같다. 쌍곡선 버시어를 처음 제공한 것은 1848년 제임스 코클에 의해 발견된 테사린의 대수였다. 실제로 제임스 코클은 테사린에 새로운 형태의 상상 원소가 포함되어 있다는 것을 발견했을 때 (r 대신 j로) 위의 방정식을 썼다.

이 버저는 쿼터니온 곱셈과 관련하여 Homberham Cox (1882/83)에 의해 사용되었다.^[6][7] 쌍곡선 버시어의 주요 주창자는 물리과학에 봉사하기 위해 쿼터니온 이론을 형성하는 작업을 할 때 알렉산더 맥팔레인이었다.^[8] 그는 분할 복합 수면에 작용하는 쌍곡 버시어의 모델링 힘을 보았고, 1891년에 쌍곡 쿼터니온을 도입하여 개념을 4-공간으로 확장시켰다. 그 대수학의 문제들은 1900년 이후에 바이쿼터니온의 사용을 이끌었다. 1899년에 대한 널리 회람된 리뷰에서 맥팔레인은 다음과 같이 말했다.

...이차 방정식의 근원은 자연에서는 버시르거나 자연에서는 스칼라일 수 있다. 만일 그것이 자연에서 버시버라면, 급진파의 영향을 받는 부분은 기준면에 수직인 축을 포함하며, 이것은 급진파가 마이너스 1의 제곱근을 포함하든 그렇지 않든 마찬가지다. 전자의 경우 버저는 원형이고 후자의 쌍곡선이다.^[9]

오늘날 1-모수 집단의 개념은 소푸스 리의 용어가 해밀턴과 맥팔레인의 용어를 대체함에 따라 버저와 쌍곡 버저의 개념을 약화시킨다. 특히 r = +1 또는 r = -1과 같은 각 r에 대해 ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle }$($){\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$을(를) 매핑하면 쌍곡선 또는 일반 버시어의 그룹에 실제 라인이 이동된다$$. 일반적인 경우, r과 -r이 구의 대척점일 때, 1-모수 집단은 같은 점을 가지지만 정반대 방향이다. 물리학에서는 이러한 회전 대칭의 측면을 더블트라고 부른다.

1911년에 Alfred Robb는 기준 프레임의 변화를 명시하는 매개변수 신속성을 식별하는 그의 광학 기하학을 발표했다. 이 신속성 매개변수는 쌍곡선 버시어의 단일 매개변수 그룹에서 실제 변수에 해당한다. 특수상대성이 더욱 발달함에 따라 쌍곡선 버시어의 작용은 로렌츠 부스트라고 불리게 되었다.

거짓말 이론

소푸스 리는 해밀턴이 처음 쿼터니온을 기술했을 때 1년도 채 되지 않았지만, 리의 이름은 지수에 의해 생성된 모든 그룹과 연관되게 되었다. 그들의 곱셈을 가진 버시어들의 집합은 Robert Gilmore에 의해 Ll(1,q)^[10]으로 묘사되었다. Sl(1,q)은 쿼터니온 위에 있는 1차원의 특별한 선형 그룹이며, 모든 원소가 정규 1이라는 것을 나타내는 "특수"이다. 쿼터니온과 버시버는 때때로 집단 이론에 시대착오적이라고 여겨지기 때문에 자주 사용되는 특수한 단일 집단인 SU(2,c)에 대해 이형적이다. 3차원에서 회전하는 특수 직교 그룹 SO(3,r)는 SU(2,c)의 2:1 동형상이다.

하위 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$+ y ${\displaystyle j}$+ ${\displaystyle z}$: ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \subset }$ H ${\displaystyle \{xi+yj+zk:x,y,z\in R\}\subset$ H$}$을(를) 버시어군 그룹의 Lie 대수라고 한다$$. 정류자 제품${\displaystyle }$[${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$- ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$은(는) 두 벡터의 교차 제품을 두 배만$$ 곱하면 Lie 대수학에서 곱셈을 이룬다. SU(1,c)와 SO(3,r)와의 밀접한 관계는 그들의 리 알헤브라의 이형성에 뚜렷이 나타나 있다.^[10]

쌍곡선 버너를 포함하는 거짓말 그룹에는 유닛 하이퍼볼라 그룹과 특수 단일 그룹 SU(1,1)의 그룹이 포함된다.

참고 항목

• cis (csi)(x) = cos(x) + i sin(x)
• 쿼터니온과 공간 회전
• 4차원 유클리드 공간의 회전
• 회전(지오메트리)

메모들

참조

• 윌리엄 로완 해밀턴 (1844년 ~ 1850년) 쿼터니온이나 대수학에서의 새로운 상상 체계인 철학 매거진은 데이비드 R과 연결된다. 더블린 트리니티 칼리지의 윌킨스 컬렉션.
• 윌리엄 로완 해밀턴 (1899) 콰터니온스의 요소들, 제2판 찰스 재스퍼 졸리 편집, 롱맨스 그린앤컴퍼니. 135-147페이지를 참조하십시오.
• Arthur Sherburne Hardy (1887) Quaternion의 요소, 페이지 71,2 "구면 호에 의한 베르소르 표현" 및 페이지 112–8 "구면 삼각측정에 대한 적용".
• 아서 스태퍼드 해서웨이(1896) 콰터니온에 관한 입문서, 제2장: 턴스, 회전, 아크 스텝, 프로젝트 구텐베르크의 것
• 시벨 셀레스티노 실바, 로베르토 데 안드라드 마르틴스(2002) "폴라와 축 벡터 대 콰터니온스", 미국 물리학 저널 70장 958절. 섹션 IV: 쿼터니온 시스템의 버저와 단일 벡터. 섹션 V: 벡터 대수에서 Versor와 단일 벡터.
• 피터 몰렌브룩(1891) 테오리 데르 콰테르니오넨, 세이트 48, "다르스텔룽 데르 베르소렌 미텔스트 보겐 오프 데르 아인헤이트쿠겔", 레이덴: 브릴

외부 링크

• 수학 백과사전 Versor.
• 루이스 이바녜스 콰터니온 국립 의학 도서관의 튜토리얼