콤플렉스 리 그룹

기하학에서 콤플렉스 리 그룹은 복잡한 숫자에 걸친 리 그룹이다. 즉, $복합{\displaystyle }$ 분석적 다지관으로서 G ${\displaystyle \times }$ G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle G}$,${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$G, $(x,y){-1}$는 홀로모르픽이다.기본 예로는 복잡한 숫자에 대한 일반 선형 그룹인$$${\displaystyle {\mathrm{GL}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathb {C} )$이 있다.연결된 콤팩트 콤팩트 콤플렉스 리 그룹은 정밀하게 복잡한 토러스(복합 리 $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C$∗{\$이다.$$어떤 유한집단에든 복합적인 거짓말집단의 구조가 주어질 수 있다.복잡한 반실행 Lie 그룹은 선형 대수 그룹이다.null

복합 리 그룹의 리 대수학은 복합 리 대수학이다.null

예

• 복잡한 숫자(특히 복잡한 리 대수) 위에 있는 유한차원 벡터 공간은 명백한 방법으로 복잡한 리 그룹이다.
• 차원 g의 연결된 콤팩트 복합체 ${\displaystyle Lie}$ 그룹 A는 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ L ${\displaystyle \mathb {C} ^{g}/L}$ 형식이며, 여기서 L은 이산형 서브그룹이다.실제로, 그것의 Lie 대수 $a{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak{a}}$은(는) 아벨리안이라고 보여질 수 있고, 그 다음$$ ${\displaystyle \exp }$: ${\displaystyle a}$→ A ${\displaysty \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}\to A}$은(으) 복합적인 Lie 그룹의 굴절제 형태론이다.
• ${\displaystyle \mathbb{C}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\$는 대수집단의 형태론에서 나오지 않는 복잡한 Lie집단의 형태론의 예다.$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle GL\mathbb{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathb {C} )}$이$($가)이므로 대수학적이지 않은 복합 Lie 그룹의 표현도 예다.
• X를 콤팩트한 복합 다지관이 되게 하라.그렇다면 실제 사례에서와 같이 ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$X )$${\$displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$은(는) Lie 대수학 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$)$${\$displaystyle \Gamma (X,TX)}$인 복잡한 Lie 그룹이다$.$
• K를 커넥티드 컴팩트 리 그룹이 되게 하라.Then there exists a unique connected complex Lie group G such that (i) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$, and (ii) K is a maximal compact subgroup of G.K의 복합화라고 한다.예를 들어 ${\displaystyle {\mathrm{GL}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathb {C}$)은 단일 군집단을 복잡하게 만드는 것이다$$.K가 컴팩트한 Kahler 매니폴드 X에 작용하고 있다면 K의 작용은 G의 작용까지 확장된다.^[1]

복합 semisimple Lie 그룹과 연관된 선형 대수 그룹

G를 복합적으로 구현한 Lie 그룹이 되게 하라.다음과 같이 그리고 G: 이러한 G{\displaystyle G\cdot f}적인. 기능의 G(왼쪽 번역으로 G행동:g⋅ f(h)에 낀 반지를 안에)f(g− 유한 차원의. 벡터 공간에 걸쳐 있f⋅[2]적인. 기능 f의 G에 관한{A\displaystyle}이 울리는 선형 대수 그룹의 자연 구조 인정하고 있다. 1${\displaystyle {}^{}h}$) ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}.$그러면 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$은(는) 복합 매니폴드로 볼 때 원래 G. 보다 구체적으로 G의 충실한 표현${\displaystyle \rho }$ : G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle V)}$ ${\displaystystyle \rho :G\to GL(V)}$을 선택하는 선형 대수 그룹이다$$.그런 $다음{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \rho (G)}$은(는) ${\displaystyle G}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle V)}${\$displaystyle GL(V)}$에서 자리스키 닫힘입니다$.$^{[clarification needed]}

참조

• Lee, Dong Hoon (2002), The Structure of Complex Lie Groups (PDF), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, MR 1887930^{[영구적 데드링크]}
• Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres^{[영구적 데드링크]}