가입해서 만나다

타동사 이항 관계
대칭 비대칭 연결된 근거가 충분한 조인 있음 Has meets 반사적 불변성 비대칭 합계, 세미콘넥스 반(Anti-) 반사적인 등가관계 Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 프리오더(Qaasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 부분순서 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 총예약자 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 총순번 ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 프리웰오더링 ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 웰 준주문 ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 순서가 좋은 ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 격자 ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ 조인-세밀라티스 ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ 밋세밀라티스 ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ 엄격한 부분 순서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄약질서 ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 엄격한 총계순서 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 대칭 비대칭 연결된 근거가 충분한 조인 있음 Has meets 반사적 불변성 비대칭 정의, ${\displaystyle \mathrm{모든}}a{\displaystyle }$ , b ${\displaystyle a,b}$ 및 $S$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \ne }$: ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}&aRb\\\오른쪽 화살표 {}&bRa\end{aigned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}aRb{\text{} 및 }}&bRa\\\\Rightarrow a={}&b\end}}}}$ ${\displaystyle {\begin}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{} 또는 }&bRa\end{aigned}}}}$ ${\displaystyle {\begin}\min S\\{\textists}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\regated}a\vee b\\\{\text}}\end{regated}}}$ ${\displaystyle {\regated}a\b\\{\text}}\end{regated}}}$ $(\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aigned}aRb\Rightarrow \\{\text{not}bRa\end{aigned}}}$
Y는 행의 용어(맨 왼쪽)의 정의에 의해 열의 속성이 요구됨을 나타낸다.예를 들어, 동등성 관계의 정의는 대칭성을 요구한다.✗은 그 재산이 보유할 수도 있고 보유하지 않을 수도 있음을 나타낸다.${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 정의는 암묵적으로 동종 ${\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$을(를) 타전적으로 요구하며$$, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$$$ $a{\displaystyle }$, $b$,$c$, ${\$$displaystyle aRb}$ 및 b$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle bRc}$이(가)${\displaystyle }$R$$c , {\$displaystystystyle aRc}$에 해당될 수 있는 추가 속성이 있다.

수학, 특히 순서 이론에서 부분 순서가 $있는{\displaystyle }$P {\$displaystyle$P$$$}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합$$S {\$displaystyle$ S}의 ${\displaystyle \mathrm{결합}}$은${\displaystyle }$S$$, {\$displaystyle$ S${\displaystyle ,\}}$의 우월(최소 상한)이며$,{\displaystyle }$ 마찬가지로$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaysty$ $\ve S$$}$의 만남은 최소값(최하한 값)이다$$.ound)로 표시된${\displaystyle s}$ S${\displaystyle .}${\$displaystyle \wedge$ S$.}$일반적으로$$ 부분 순서 집합의 하위 집합의 조인 및 만남은 존재할 필요가 없다.가입과 만남은 질서 역전에 관해서 서로 이중적이다.

모든 쌍이 조인하는 부분 순서가 지정된 집합은 조인-세밀라티즈다.모든 쌍이 만나는 부분 순서가 있는 집합은 한 쌍의 만남이다.조인-세밀라티스와 만남-세밀라티스가 동시에 있는 부분 주문 세트는 격자형이다.모든 쌍이 아닌 모든 부분집합이 미팅을 소유하고 결합이 완전한 격자인 격자.또한 모든 쌍이 만나거나 결합하는 것이 아니라 (정의된 경우) 연산이 특정 공리를 만족하는 부분 격자를 정의할 수도 있다.^[1]

완전히 순서가 정해진 집합의 하위 집합의 결합/미팅은 그러한 요소가 존재하는 경우 그 최대/최소 요소일 뿐이다.

부분 순서가 지정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 S ${\displaystyle S}$도 (위쪽) 지시 집합이면 조인(있는 경우)을 지시된 조인 또는 지시된 우월성이라고 한다.$,$ S {\$displaystyle$ S$}$이(가) 하향 방향 집합인$$ 경우, 그 만남(존재하는 경우)은 지시된 만남 또는 지시된 최소값이다.

정의들

부분순서접근법

A{A\displaystyle}가 된 부분 순서 ≤,{\displaystyle \,\leq ,\,}로 설정하고 x, y∈는{\displaystyle x,y\in A}{A\displaystyle}은 .mw-parser-output .vanchor&gt이라고 불리는 요소 m{m\displaystyle};:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}meet(또는 가장 하계 o.자x와 y{\displaystyle x{\text{과}의 R하한)}는 y}이고 den.다음 두 조건이 충족되는 경우$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x\property$ y$,}$로 오트:

1. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ 및 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle m\leq$ x${\text{} 및 }m\leq y}($$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) $x{\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x{\text{}, }y}$의 하한 값이다.$$
2. For any ${\displaystyle w\in A,}$ if ${\displaystyle w\leq x{\text{ and }}w\leq y,}$ then ${\displaystyle w\leq m}$ (that is, ${\displaystyle m}$ is greater than or equal to any other lower bound of ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).

쌍은 하한이 전혀 없기 때문에 또는 하한이 다른 모든 하한보다 크지 않기 때문에 만남이 존재할 필요는 없다.However, if there is a meet of ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ then it is unique, since if both ${\displaystyle m{\text{ and }}m^{\prime }}$ are greatest lower bounds of ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ then ${\displaystyle m\leq m^{\prime$$}}{\text{과$}}$m$$^{\premy }\leq$ m$,}$ $따라서{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =}$ m ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ .${\$$displaystyle$ $m=m^{\premy$ $}}}}$의 모든 요소 쌍이 일치하지 않는$$ 경우$$^[2], 그 만남은 여전히 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystystyle A$에 대한 부분적인 이진 작업으로 볼 수 있다$.$$}$^[1]

만남이 존재하는 경우, $그것$은 x${\displaystyle y}$y .$$${\$$displaystyle x\wedge$ y$.}$ $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$의 모든 요소 쌍에 만남이 있는$$ 경우$$, $만남$은 A${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ A$}$에 대한 이진 연산이며, 이 작업이$$ 다음과 같은 세 가지 조건을 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있다.모든 요소의 $경우{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$,${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle za}$A , ${\displaystyle$ x$,y,z\in$ A$,}$

1. ${\displaystyle }$x ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\displayy$ y$=y\$displayty x$}(commuttativity$),$$
2. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \wedge }$( ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\\ (y\\ z)=(x\wedge$ y$)\wedge$ z$}($연관성) 및
3. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\property$ x=$x}($idempartency).

Joins are defined dually with the join of ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ if it exists, denoted by ${\displaystyle x\vee y.}$ An element ${\displaystyle j}$ of ${\displaystyle A}$ is the join (or least upper bound or supremum) of ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ in ${$$\displaystyle$ A$}($다음 두 조건이 충족되는 경우$$)

1. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x\leq j{\text{} 및$}}$y$${\displaystyle j}$은(는) $x{\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x{\text{$및$}y}$의 상한이다.$$$$
2. For any ${\displaystyle w\in A,}$ if ${\displaystyle x\leq w{\text{ and }}y\leq w,}$ then ${\displaystyle j\leq w}$ (that is, ${\displaystyle j}$ is less than or equal to any other upper bound of ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).

유니버설 대수 접근법

정의상, 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 이진 연산 ${\displaystyle \wedge }$ ${\$은(는) a, b, c의 세 가지 조건을 만족하는 경우 충족이다.쌍$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle \wedge }$) ${\displaystyle (A,\wedge )}$은(는) 그 다음 만남-세밀라티스가 된다$$.Moreover, we then may define a binary relation ${\displaystyle \,\leq \,}$ on A, by stating that ${\displaystyle x\leq y}$ if and only if ${\displaystyle x\wedge y=x.}$ In fact, this relation is a partial order on ${\displaystyle A.}$ Indeed, for any elements ${\displaystyle$$x,y,z\in A,}$

• ${\displaystyle }$x${\displaystyle }$by$$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\leq x,}$ $이후$ x ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ { = x$${ = x {\$displaysty x\wedge$ x$=x};$
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\leq$ y${\text{$및$}y\leq$ x$}$인 경우 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle y}$y = ${\displaystyle yx}$x = ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y\y=$y$=y},$ 그리고 a;
• if ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq z}$ then ${\displaystyle x\leq z}$ since then ${\displaystyle x\wedge z=(x\wedge y)=y\wedge z=x\wedge (y\wedge z)=x\wedge y=x}$ by b.

두 사람은 모두 이 정의를 똑같이 만족시킨다. 관련 미팅과 조인 운영의 두 사람은 서로 반대되는 부분적인 순서를 산출한다.이러한 주문 중 하나를 주요 주문으로 선택할 때, 어떤 작업이 미팅으로 간주되고(같은 주문을 주는 작업) 조인(다른 작업)으로 간주되는지(다른 작업)도 수정한다.

접근법의 동등성

If ${\displaystyle (A,\leq )}$ is a partially ordered set, such that each pair of elements in ${\displaystyle A}$ has a meet, then indeed ${\displaystyle x\wedge y=x}$ if and only if ${\displaystyle x\leq y,}$ since in the latter case indeed ${\displaystyle x}$ is a lower bound of ${\displaystyle x}$${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle$ x${\text{} 및 }y,$ 그리고$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 하한인 경우에만 최대 하한이기$$ 때문에.따라서 범용 대수 접근법에서 충족에 의해 정의된 부분 순서는 원래 부분 순서와 일치한다.

Conversely, if ${\displaystyle (A,\wedge )}$ is a meet-semilattice, and the partial order ${\displaystyle \,\leq \,}$ is defined as in the universal algebra approach, and ${\displaystyle z=x\wedge y}$ for some elements ${\displaystyle x,y\in A,}$ then ${\displaystyle z}$ is the gre${\displaystyle 이후}$$$ ${\displaystyle \le }$, ${\$에 대한$$ x 및 y ${\displaystyle x{\text${} 및$}y}$의 최대 하한 값.

and therefore ${\displaystyle z\leq x.}$ Similarly, ${\displaystyle z\leq y,}$ and if ${\displaystyle w}$ is another lower bound of ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ then ${\displaystyle w\wedge x=w\wedge y=w,}$ whence따라서 원래 만남에서 정의한 부분적 순서에 의해 정의되는 만남이 있고, 두 만남이 일치한다.

즉, 두 가지 접근방식은 기본적으로 동등한 개념, 즉 이항 관계와 이항 연산을 모두 갖춘 세트를 산출하여 이들 구조 각각이 다른 구조물을 결정하고 부분 순서 또는 충족 조건을 각각 충족시킨다.

일반 하위 집합의 모임

$({\displaystyle A}$ ,${\displaystyle \wedge }$) ${\displaystyle (A,\wedge )}$이(가) 미팅-세밀라티즈인 경우, 반복된 이진 연산에 설명된 기법에 의해 미팅이 비어 있지 않은 유한 집합의 잘 정의된 미팅으로 확장될 수 있다.또는 만남이 정의되거나 부분적인 순서에 의해 $정의$되는 경우$,$ A {\$displaystyle$ A}의 일부 하위 집합은 실제로$$ 이에 대한 infimima를 가지며, 하위 집합의 충족과 같은 최소값을 고려하는 것이 합리적이다.비어 있지 않은 유한 부분 집합의 경우, 두 접근방식은 동일한 결과를 산출하므로, 둘 중 하나를 충족의 정의로 삼을 수 있다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 각 하위 집합이 만나는$$ 경우, 사실상 (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (A,\leq )}$은 완전한 격자임. 자세한 내용은 완전성(순서 이론)을 참조하십시오.

예

If some power set ${\displaystyle \wp (X)}$ is partially ordered in the usual way (by ${\displaystyle \,\subseteq }$) then joins are unions and meets are intersections; in symbols, ${\displaystyle \,\vee \,=\,\cup \,{\text{ and }}\,\wedge \,=\,\cap \,}$ (where the similarity of these symbols${\displaystyle \vee }$ ${\$은(는) 조인/조인을 나타내고$$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\$은(는) 만남/최소임을^{[note 1]} 나타내는$$ 것임을 기억하기 위한 니모닉으로 사용할 수 있다.

More generally, suppose that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing }$ is a family of subsets of some set ${\displaystyle X}$ that is partially ordered by ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ If ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is closed under arbitrary unions and arbitrary intersections and if${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$,${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ I ${\$ I$}}$에 속하며, 그러면$$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 속한다$$.

But if ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is not closed under unions then ${\displaystyle A\vee B}$ exists in ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}$ if and only if there exists a unique ${\displaystyle \,\subseteq }$-smallest ${\displaystyle J\in {\mathcal {F}}}$ such that $$${\displaystyle A\cup B\subseteq J.}$ For example, if ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\mathbb {R} \}}$ then ${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}=\{1,2,3\}}$ whereas if ${\displaystyle \mathcal{F}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\mathbb {R} \}}$ then ${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$ does not exist because the sets ${\displaystyle \{0,1,2\}{\text{ and }}\{1,2,3\}}$ are the only upper bounds of ${\displaystyle$$\{1\}{\text{ and }}\{2\}}$ in ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}$ that could possibly be the least upper bound ${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$ but ${\displaystyle \{0,1,2\}\not \subseteq \{1,2,3\}}$ and ${\displaystyle \{1,2$$,3\}\not \subseteq \{0,1,2\}.}$ If ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\},\{2\},\{0,2,3\},\{0,1,3\}\}}$ then ${\displaystyle \{1\}\vee \{2\}}$ does not exist because there is no upper bound of ${\displaystyle \{1\}{\text{ and }}\{2\}}$ in${\displaystyle({\mathcal{F}},\subseteq$$$$}$

참고 항목

• 국부 볼록 벡터 격자

메모들

참조