하위선형함수

선형대수학에서 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에서 준선형 함수 또는 바나흐 함수라고도 불리는 하위 선형 함수(또는 기능 분석에서 더 자주 사용되는 함수)는$$ 세미놈의 속성 중 일부만 갖는 실제 값 함수다.세미노름과 달리, 하위 선형 함수는 음수가 아닌 값을 가질 필요가 없으며 절대적으로 동질적일 필요도 없다.세미노름 자체는 보다 잘 알려진 규범 개념의 추상화인데, 세미노름에는 0이 아닌 벡터를 0이 아닌 값에 매핑할 필요가 없다는 점을 제외하고 세미노름에는 표준의 모든 정의 특성이 있다.

기능 분석에서 Banach 함수라는 이름이 가끔 사용되기도 하는데, 이는 한-Banach 정리의 일반적 제형을 적용할 때 가장 일반적으로 사용된다는 것을 반영한다.하선함수의 개념은 스테판 바나흐가 한-바나흐 정리 버전을 증명하면서 도입되었다.^[1]

또한 컴퓨터 과학에는 다음과 같이 "하위선 함수"라는 이름으로도 통하는 다른 개념이 있다.

정의들

Let ${\displaystyle X}$ be a vector space over a field ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ where ${\displaystyle \mathbb {K} }$ is either the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ A real-valued function ${\displaystyle p:X\to \$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $mathb {R}$}을(를) 하위 선형 함수(${\displaystyle 또는\mathbb{}}$ K${\displaystyle }$= R ${\$} }인 경우 하위 선형 함수)$$라고$$ 하며,^[1] 준선형 또는 바나흐 함수라고도 한다.

1. 양의 동질성/비음성 동질성: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$( x )${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$ 모든 실제 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle r\geq$} 및$$ $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p(rx)=rp(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ac3c12bca9edb1a463577e9b747d5e343f389223"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:13.902ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="86">}}$X .$${\$displaystystyle$ x$\in.$
   • ${\displaystyle \mathrm{조건}}$은 p${\displaystyle }$( r )${\displaystyle >}$r$$p ( x ) {\$displaystyle p(rx)\$leq rp$(x)}$ 모든 양의 re > 0 {\$displaystyle r>0}$ 및 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ and X${\displaystyle }$.${\displaystyle x\in.}$에 대한$$ 경우에만 유지된다.
2. 하위additivity/${\displaystyle \mathrm{Triangle}}$ 불평등: $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle y}$) ${\displaystyle p(x+y)\leq$ p$(x)+p(y)}$ 모든 $x{\displaystyle ,}$ y${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p(x+y)\backslash leq\; p(x)+p(y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4c62346e0a4a5625be6fcc47ae8c7183de5041f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:22.775ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="90">}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaysty$x$,y\in X.}$
   • 이 하위 가독성 $조건$에서는 p ${\displaystyle p}$을(를) 실제 값으로 설정해야 한다.

A기능 p:X만약 p 모든 x∈ X에 ≥ 0{\displaystyle p())\geq 0}())R→{\displaystyle p:X\to \mathbb{R}}positive[2]이나 실수가 음이 아닌라고 불린다.{\displaystyle x\in X}그것은 대칭 함수는 모든 x∈ X에게 p(−)))p()){\displaystyle p(-x)=p())}.{\displaystyle x\in X}모든 subaddi.tive 대칭 함수는 반드시 음수가 아니다.^{[proof 1]}실제 벡터 공간의 비선형 함수는 세미몬인 경우에만 대칭이다.

The set of all sublinear functions on ${\displaystyle X,}$ denoted by ${\displaystyle X^{\#},}$ can be partially ordered by declaring ${\displaystyle p\leq q}$ if and only if ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X.}$ A sublinear function is called m이 순서에 따라$$ $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$# ${\$의 최소 요소인 경우 최소.비선형 함수는 실제 선형 함수인 경우에만 최소다.^[1]

예제 및 충분한 조건

모든 표준, 세미놈, 그리고 실제 선형 기능은 하위 선형함수다.는 선형적이기 때문 기능(사실, 그것은 심지어 선형 기능적이다)그것은 그렇다고 seminorm;이와 같은 이 지도의 부정의 진정한 것이다.)긍정적인 ↦− x의 항등 함수 RX에서 → R{\displaystyle \mathbb{R}\to \mathbb{R}}:= R{\displaystyle X:=\mathbb{R}}가 그 예입니다.{\displaystyle x\mapsto -x.}[3]M.ore, 일반적으로 $실제{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a\leq$ b$,}$ 지도$$

is a sublinear function on ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ and moreover, every sublinear function ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is of this form; specifically, if ${\displaystyle a:=-p(-1)}$ and ${\displaystyle b:=p(1)}$ then ${\displaystyle$$a\leq b}$ 및$$ $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {a,}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$. ${\displaystyle p=S_{a,b}.$$}$

If ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ are sublinear functions on a real vector space ${\displaystyle X}$ then so is the map ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$ More generally, if ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is any non-empty collection of sublinear func실제 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X}$ 및$$ 모든 $x{\displaystyle }$als X ,${\displaystyle$ x$\in X,}$${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: = ${\displaystyle \mathrm{supp}}${${\displaystyle p}$( x ) : ${\displaystyle p\}}$ ${\displaystyle P\mathcal{}}$}, {\$displaystyle q($$x$):$=\supp\{p(x):p\in {\mathcal {P}\}\},$ 그러면$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 하위 선형 함수임$$

함수${\displaystyle }p{\displaystyle }$ :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle$ p$:X\to \mathb {R}$은(는) 하위addic, bolfx 및 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \le }$ 0${\displaystyp p(0)\leq$ 0$.}$을(를) 만족하는 경우에만 하위 선형이 된다$$.

특성.

모든 비선형 함수는 볼록함수다.

$p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$가) 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 하위 선형 함수인$$ 경우$$^{[proof 2][2]}

$즉{\displaystyle }$, p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p($${\displaystyle x}$$)}$ $및{\displaystyle }$ p$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(-x)$ 중 하나 이상이 음이 아니어야 함을$$ 의미한다. 즉,^[2] 더욱이 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ $p:X\to \mathb {R}}$이(가) 실제 벡터 공간의 하위 선형 함수인$$ 경우, $지도{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle q}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$ →$$R {\$displaystyle q:X$\to \mathb {R}에서 $\mathb {R$$}$은 $q$ ${\displaystyle :=\mathrm{최대}p}$($x$),${\displaystyle p}$)로 정의된다$.$$=\max\{p(x),p(-x)\}}}$은(는) 세미노름이다.^[2]

$p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ 보장$$^{[1][proof 3]}

$따라서{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$도 대칭이면 역삼각형 불평등이 다음을 유지한다.

연합 세미놈

If ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ is a real-valued sublinear function on a real vector space ${\displaystyle X}$ (or if ${\displaystyle X}$ is complex, then when it is considered as a real vector space) then the map ${\displaystyle q(x):$=\max\{p()),p(-x)\}}.{\displaystyle 페이지의 주}[2]p 또는 복잡한 진정한 벡터 공간에{p\displaystyle} 선형적이기 때문 함수는 대칭 함수 만일 p)q{\displaystyle p=q}이q()):)max{X{X\displaystyle}은 seminorm p와 관련된를 호출한 진정한 벡터 공간에 seminorm을 정의합니다 p.(${\displaystyle q(x):$$=\max\{p(x),p(-x)\}}}$이(가) 전과 같다$$.

보다 일반적으로 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$가) 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 실제 값 하위 선형 함수인 경우$$

$이$ 우월성이 항상 실제 숫자(즉, 절대 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit$}과(와) 같지$$않은 $경우$, X {\displaystyle $X}$에 세미놈을 정의한다.$$

선형 함수와의 관계

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 실제 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 선형 함수인 경우$$, 다음은$$ 동일하다.^[1]

1. $[\displaystyle p}$는 선형 함수다.
2. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in X,}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ p${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0.}$
3. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0.$$}$
4. $[\displaystyle p}$는 최소 하위 선형 함수다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 실제 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 하위 선형 함수인 경우${\displaystyle ,}$ $X$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 $선형{\displaystyle }$ $함수{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle$ f$\leq$ p$.}$이(가) 있음

If ${\displaystyle X}$ is a real vector space, ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle p}$ is a positive sublinear function on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap$

선형 기능 지배

실제 또는 복잡한 벡터 공간 $X$의 $부분$ 집합에 정의된$$ 실제 값 $함수$ f ${\displaystyle$ $x$$}$은(는) $f{\displaystyle }$. ${\di$의 도메인에 속하는$$ $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$x}에 대해${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$)$$${\displaystyle \le p}$($x$ ${\displaystyf(x)\leq$ p$}$이($x)$에 의해 지배된다고 한다$$.$splaystyle f.}$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 실제 선형 기능인 경우$$, $f$^[4][1]$$${\displaystyle p}($$즉{\displaystyle }$, f ${\displaystyle \le }$p {\$displaystystyle p$가 지배하는$$ 경우

더욱이, $p{\displaystyle }${\$displaystyle$p}이$$(가) 세미노름 또는 다른 대칭 지도(정의상 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$이(가$)$ $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystysty$ x$\}$에 대해 고정되어$$ 있는 경우, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \le }$$$p {\$displaystystystyty$ f${\displaystyle .}$ {\${\displaystyle p}$. ${\$f. {\$leq f\$daystyp}

연속성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 또는 복잡한 숫자에 대한 위상학적 벡터 공간(TV)이고$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 하위 선형 함수라고 가정하면 다음과 같다$$.^[5]

1. ${\displaystyle p}$ $[\$디스플레이 스타일 p}은$($는$)$연속형이며$$,
2. ${\displaystyle p}$ $[\displaystyle p}$은(는) 0에서 연속됨$$;
3. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$은(는) $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$에서 균일하게 연속됨$;$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 양이면 이 목록에 추가하십시오.

4. X: ( )< ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에서 열려 있음

If ${\displaystyle X}$ is a real TVS, ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle p}$ is a continuous sublinear function on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f\leq p}$ on ${\displaystyle X}$ implies that ${\displaystyle f}$ is연속의^[5]

민코스키 기능 및 오픈 볼록 세트와의 관계

오픈 볼록 세트와의 관계

연산자

이 개념은 동질적이고 부가성이 낮은 연산자로 확장될 수 있다.이것은 단지 코도메인이, 말하자면 조건을 이해하기 위해 순서가 정해진 벡터 공간이어야 한다.

컴퓨터 과학 정의

In computer science, a function ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$ is called sublinear if ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$ or ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$ in asymptotic notation (notice the small ${\displa$$ystyle o}$ $$)만일 어떤 주어진 c를 0,;,{\displaystyle c>0,}N은{N\displaystyle}가 f(n)<>n≥ N의 값 요리 n{\displaystyle f(n)<, cn}존재하는 형식적으로, f.{\displaystyle n\geq N.}[6]즉, f{\displaystyle f} 자란다 천천히 쓰는 것보다 조금이라도 OOO(n){\displaystyle f(n)\in o(n)}∈(n).funct 선형이온. 두 가지 의미는 혼동해서는안 된다:바나흐기능이 볼록한 반면, 거의 그 반대는 비선형 성장의 함수 f(n)(o(n){\displaystyle f(n)\in o(n)}는 모든 함수 f(n)가 하선형 성장의 오목함수에 의해 상경할 수 있다.[7].

참고 항목

• 비대칭 표준 – 표준 개념의 일반화
• 한바나흐 정리
• 선형기능
• 민코스키 기능
• 표준(수학) – 벡터 공간에서의 길이
• 세미놈
• 초가당성

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.