근린제도

$수학{\displaystyle }$ 위상 및 관련 영역에서 점 x ${\displaystyle x}$에 대한 인접$$ 시스템,^[1] 인접 시스템의 전체 시스템 또는 인접 필터 $N{\displaystyle \mathcal{}(x}$) ${\displaystyle {\mathcal{N}(x)}$은 점 x${\displaystyle }$. ${\displaystystyle x.}$의 모든 인접 영역의 모음입니다.

정의들

점 또는 집합의 인접성

한 .mw-parser-output .vanchor>.:)가 포함되어 있X{X\displaystyle}의 X{X\displaystyle}은 열려 있는 모든 부분 집합 U{U\displaystyle}를 위상 공간의 한 지점(또는 subset[노트 1])){\displaystyle)}의 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}open 이웃.{\displaystyle인데}[주 2] neighbou.Rhood x{\displaystyle)}의 X에서{X\displaystyle}은 하위 집합 N⊆ X${\displaystyle N\subseteq X}$ that contains some open neighbourhood of ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$; explicitly, ${\displaystyle N}$ is a neighbourhood of ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$ if and only if there exists some subset ${\displaystyle U\subseteq N}$ such that $$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 열린 하위 집합이고 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $U}$은${\displaystyle (}$는) $x$를 포함하고$$ 있으며$,$ $마찬가지$로^[2][3] x ${\displaystyle$ x$}$의 주변은 위상학적 내부에 $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$을 포함하는 모든 집합이다$$.^{[note 3]}

중요한 것은, "이웃집"이 오픈 세트가 될 필요는 없다는 것이다; 오픈 세트가 될 수 있는 이웃집도 "개방형 이웃집"이라고 알려져 있다.^{[note 4]}마찬가지로 폐쇄적(존중적으로, 콤팩트하게, 연결된 등) 집합이기도 한 이웃을 폐쇄적 이웃(존중적으로, 콤팩트한 이웃, 연결된 이웃 등)이라고 부른다.토폴로지 및 기능 분석과 같은 관련 분야에서 사용되는 다른 유형의 이웃들이 많이 있다.특정한 "유용한" 재산을 가진 모든 이웃의 가족은 종종 이웃의 기초를 형성한다. 비록 여러 번이긴 하지만, 이러한 이웃들이 반드시 개방되어 있는 것은 아니다.예를 들어, 지역적으로 작은 공간은, 모든 지점에서, 완전히 콤팩트 세트로 구성된 이웃의 기반을 갖는 공간이다.

지정된 집합은 싱글톤 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$}${\displaystyle }$. ${\displaystyle$\{$x\}$의 인접인 경우에만$$ 포인트 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$의 인접 지역이다.$}$

인접 필터

점(또는 비어 있지 않은 부분 집합) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에 대한 인접 시스템은 $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$}$에 대한 인접 필터라고 하는 필터입니다.$$ ${\displaystyle 점}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$에 대한 인접 필터는 싱글톤 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{x\}$의 인접 필터와 동일함$$$}$

근린기준

점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 인접 기준 또는 로컬 기준(또는 인접 기준 또는 로컬 기준)은$$ 인접 필터의 필터 기준이며, 이는 부분 집합임을 의미한다.

모든 V∈ N())이{\displaystyle V\in{\mathcal{N}}()),} 이러한 관계가 B∈ B{\displaystyle B\in{{B\mathcal}}}가 B⊆ V.{B\subseteq V\displaystyle}[3]즉,에 대한 근린 V{V\displaystyle}우리가 할 수 있다고 생각하게 근린 B{B\displaystyle}의 neighbourhoo.d$V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 포함된 기준

마찬가지로 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 주변 필터 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 복구할 수 있는$$ 경우에만$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystystylex}$의 로컬 기반이다$$.^[4]

A family ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ is a neighbourhood basis for ${\displaystyle x}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a cofinal subset of ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ with respect to the partial order$\$ {\$displaystyle$\,\$supseteq$\,}($$반복, 이 부분 순서는 부분 집합 관계가 아니라 상위 집합 관계임).

근린 하위 기준

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 인접 하위 영역은 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ 하위 집합의 $S$ ${\displaystyle {S}$이며, $각각$ x , ${\displaystyle x}$을(를$$) 포함하므로 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 요소의 모든 가능한 유한 교차 영역이 인접 영역을 형성한다$$.rhood basy $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$.}$

예

만약 R{\displaystyle \mathbb{R}}x그 다음에 지역:=는 평소의 유클리드 토폴로짔다 0{\displaystyle x:=0}그 모든 하위 집합을 어떤 실수 r을 존재하는 N⊆ R{\displaystyle N\subseteq \mathbb{R}};0{\displaystyle r>0}가(− r, r)⊆ N.{\displaystyle(-r,.r)\sub$seteq N.}$ 예를$$ 들어, 다음 세트는 모두 $R{\displaystyle \mathbb{}}$: ${\displaystyle \mathb {R}$에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 인접 지역이다$.$

그러나 다음 집합 중 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 인접 영역이 아닌 경우$:$여기서 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 합리적인 숫자를 나타낸다$$.

If ${\displaystyle U}$ is an open subset of a topological space ${\displaystyle X}$ then for every ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ is a neighborhood of ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle X.}$ More generally, if ${\displaystyle N\subseteq X}$ is any set and if $$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ denote the topological interior of ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle N}$ is a neighborhood (in ${\displaystyle X}$) of every point ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ and moreover, ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$은(는) 다른 지점의 이웃이 아니다.다르게 말하면, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는$$) ${\displaystyle X_{}}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x${\displaystyle \backslash }$$in X}$에 있는 지점 x ${\displaystyle {}_{}}$ X {\$displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$에 있는 지점 $x{\displaystyle }$ ∈ X {\displaystystyledown in X}의$$ 인접 지역이다.

근린생활 근거지

어떤 위상학적 공간에서, 한 점에 대한 인접성 시스템 또한 그 점에 대한 인접성 기반이다.한 지점에 있는 모든 열린 이웃들의 집합은 그 지점의 이웃의 기초를 형성한다.어떤 지점에 대해서는 계량 공간에서){\displaystyle)}, 개방된 공을 x 반경 1에{\displaystyle)}주변의 시퀀스/n{1/n\displaystyle}, 0{\text{정수}}\right 가산 구역 기준 B){B1/n:n>0정수}.{\displaystyle{{B\mathcal}}=\left\{B_{1/n}:n&gt을 형성한다.\와 같이}.} 이것은 모든 메트릭스 공간이 우선 카운트할 수 있다는 것을 의미한다.

불분명한 위상이 있는 $공간$ X {\displaystyle $X}$이(가$)$ 주어진 경우 $임의$의 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$ x ${\displaystyle x}$에 대한 인접 시스템은 전체 공간만$$ 포함하며, $N{\displaystyle \mathcal{}(}$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= { ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$N}(x)=\{X\}}}}}}.$

공간 $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle E}$의 측정 공간에 대한 약한 토폴로지에서는 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$에 대한 인접$$ 기반이 제공됨$$

여기서 ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 실제 숫자에 이르는$$ 연속적인 경계 함수이며, r 1,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle r_{}}$ 1, ${\$는 양의$$ 실수 함수다.

세미노름된 공간 및 위상적 그룹

세미노름에 의해 유도된 위상이 있는 벡터 공간인 세미노름 공간에서, 모든 인접 시스템은 원점에 대한 인접 시스템의 번역에 의해 구성될 수 있다.

이는 가정에 의해 유도 위상에서 벡터 추가가 별도로 연속적이기 때문이다.따라서 토폴로지는 원점에서의 인접 시스템에 의해 결정된다.보다 일반적으로 공간은 위상학 그룹이거나 위상이 유사 측정에 의해 정의될 때마다 이 사실은 그대로 유지된다.

특성.

Suppose ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ be a neighbourhood basis for ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle X.}$ Make ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ into a directed set by partially ordering it by superset inclusion ${\displaystyle \,\$$suppsetq .}$ 그렇다면$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$${\displaystyle {{}_{}}_{}}$이(${\displaystyle {}_{}}$) 있는 경우에만$$ X ${\displaystyle X}$에 $있는{\displaystyle }$$$u ${\displaystystyle u}$의 동네가 아니다$.$${N\in {\mathcal {N}}}}$ in ${\displaystyle X\setminus U}$ such that ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ for every ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ (which implies that ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 ${N\mathcal {N}\to u}.$

참고 항목

• 기준(토폴로지) – 토폴로지를 정의하기에 충분한 개방형 집합 모음
• 필터(수학) – 수학에서 부분 순서 집합의 특수 부분 집합
• 위상의 필터 – 모든 기본 위상학적 개념과 결과를 설명하고 특성화하기 위한 필터 사용.
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 인접 지역(수학) – 지정된 점을 포함하는 열린 집합
• 서브베이스 – 유한 교차로에 의한 폐쇄가 토폴로지의 기초를 형성하는 서브셋의 집합
• 기준(선형 대수) – 좌표를 정의할 수 있는 벡터 공간의 부분 집합

참조

참고 문헌 목록

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.