완전 측정 가능한 공간
Completely metrizable space수학에서 완전히 메트리징 가능한[1] 공간(금속상 위상학적으로 완전한[2] 공간)은 위상학 공간(X, T)으로 X에 최소한 하나의 미터법 d가 존재하여 (X, d)는 완전한 미터법 공간이고 d는 위상 T를 유도한다.위상학적으로 완전한 공간이라는 용어는 일부 저자들에 의해 완전히 메트릴 수 있는 공간의 동의어로 사용되지만,[3] 때로는 완전히 통일 가능한 공간이나[4] 체흐-완전한 공간과 같은 위상학 공간의 다른 클래스에도 사용된다.
전체 메트릭 공간과 측정 가능한 공간 간의 차이
완전히 측정 가능한 공간과 전체 측정 기준 공간의 차이는 완전히 측정 가능한 공간의 정의에 적어도 하나의 측정지표가 존재하는 단어에 있다. 이는 측정지표가 주어지는 것과 같지 않다(후자는 전체 측정지표 공간의 정의를 산출한다).측정 가능한 공간(위상과 호환되는 모든 전체 메트릭 중)에서 메트릭을 선택하면 전체 메트릭 공간이 확보된다.즉, 완전히 메트리징 가능한 공간의 범주는 위상학적 공간의 범주인 반면, 전체 메트릭 공간의 범주는 그렇지 않다(대신 미터법 공간 범주의 하위 범주인 것이다).완전 전이성은 위상학적 속성인 반면 완전성은 메트릭의 속성이다.[5]
예
- 공간(0,1) ⊂ R, 오픈 단위 간격은 R으로부터 물려받은 통상적인 메트릭스를 가진 완전한 메트릭스 공간은 아니지만 R에 대해 동형이기 때문에 완전히 메트리징이 가능하다.[6]
- R에서 상속된 아공간 위상과의 합리적인 숫자의 공간 Q는 메트리징 가능하지만 완전히 메트리징되지는 않는다.[7]
특성.
- 위상학적 공간 X는 X를 메트리징할 수 있고 Stone-Chech 압축 βX에서 G를δ 사용할 경우에만 완전히 메트리징할 수 있다.[8]
- X에서 G인δ 경우에만 X의 완전한 측정 가능한 공간 X의 하위 공간은 완전히 측정 가능하다.[9]
- 비어 있지 않은 측정 가능한 공간의 계산 가능한 제품은 각 요인이 완전히 측정 가능한 경우에만 제품 토폴로지에서 완전히 측정 가능하다.[10]따라서 비어 있지 않은 측정 가능한 공간의 산물은 계산적으로 많은 요인이 1점 이상을 가지고 있고 각 요인이 완전히 측정 가능한 경우에만 완전히 측정 가능하다.[11]
- 모든 미터법 공간에는 완성이 있기 때문에 모든 미터법 공간에는 밀도가 높은 하위 공간으로 포함된 완전히 측정 가능한 공간이 존재한다.[12]일반적으로 위상과 호환되는 서로 다른 측정기준에 관한 위상학적 공간의 보완은 위상학적으로 다른 보완을 제공할 수 있기 때문에, 그러한 완전히 메트리징 가능한 공간이 많이 있다.
완전히 메트리즈블한 아벨 위상학군
위상학 집단과 같이 위상 이상의 구조를 가진 공간에 대해 이야기할 때, "완전히 메틸 수 있는"이라는 단어의 자연적인 의미는 위상 유도와 더불어 그 추가 구조와도 호환되는 완전한 메트릭스의 존재일 것이다.아벨 위상학 그룹과 위상 벡터 공간의 경우, "추가 구조와 호환된다"는 것은 미터법이 번역에서 불변함을 의미할 수 있다.
그러나 아벨의 위상학 집단이나 위상학 벡터 공간이 완전히 전이될 수 있다고 말할 때 어떤 혼란도 일어날 수 없다: 위상학 공간으로서 완전히 전이될 수 있는 모든 아벨의 위상학 그룹(그리고 또한 모든 위상 벡터 공간)이 위상학 공간으로서 (즉, 위상학을 유도하는 완전한 지표를 인정함)을 증명할 수 있다.y) 또한 토폴로지를 유도하는 불변 완전 메트릭을 허용한다.[13]
이는 모든 완전히 측정 가능한 위상 벡터 공간이 완전하다는 것을 의미한다.실제로 위상 벡터 공간은 그 균일성(위상 및 추가 연산에 의해 유도됨)이 완전하면 완전함 ifff라고 불린다.; 위상을 유도하는 번역-변환성 메트릭에 의해 유도된 균일성은 원래 균일성과 일치한다.
참고 항목
메모들
- ^ 윌라드, 정의 24.2
- ^ 켈리, 문제 6.K, 페이지 207
- ^ 예: Steen 및 Seebach, I §5: 전체 메트릭스 공간
- ^ 켈리, 문제 6.L, 페이지 208
- ^ 윌러드 1970 섹션 24.
- ^ 윌러드, 24장
- ^ 윌라드, 연습 25A
- ^ 윌러드, 정리 24.13
- ^ 윌러드, 24장
- ^ 윌러드, 24장
- ^ 왜냐하면 빈 메트리징 가능한 공간의 산물은 아무리 계산해도 많은 요인이 1점 이상일 경우에만 메트리징이 가능하기 때문이다(Willard, 22장).
- ^ 윌러드, 24장
- ^ Klee, V. L. (1952). "Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)" (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 3 (3): 484–487. doi:10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4.
참조
- Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1970). Counterexamples in Topology. Holt, Rinehart and Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8.
- Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-08707-9.
