일반 상대성 이론의 이체 문제

일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형 중력 아인슈타인 장 방정식 프리드만 측지학 매티슨-파페트루-딕슨 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴어 고급 이론 칼루자-클레인 이론 양자 중력
솔루션 슈바르츠실트(내부) 리스너-노르드스트롬 괴델 커 커-뉴먼 카스너 레마슈트르톨만 타우부 너트 밀른 로버트슨-워커 pp파 반스톡툼 더스트 바일루이스파파페트로우
과학자 아인슈타인 로렌츠 힐베르트 푸앵카레 슈바르츠실트 드 시터 리스너 노드스트롬 와일 에딩턴 프리드먼 밀른 즈위키 레마슈트르 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 레이쇼후리 테일러 헐스 반 스톡텀 타우브 뉴먼 야우 손 다른이들
물리 포털 카테고리
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일반상대성이론의 이체문제는 일반상대성이론의 장방정식으로 설명되는 두 물체의 운동과 중력장의 결정이다.케플러 문제를 해결하는 것은 중력에 의한 빛의 굴곡과 태양 주위를 도는 행성의 움직임을 계산하기 위해 필수적이다.해법은 또한 쌍성들이 서로 주위를 도는 움직임을 묘사하고 중력 복사를 통해 서서히 에너지를 잃는 것을 추정하는 데 사용됩니다.

일반상대성이론은 곡선 시공간으로 중력장을 기술한다; 이 곡률을 지배하는 장 방정식은 비선형적이기 때문에 닫힌 형태로 풀기 어렵다.케플러 문제에 대한 정확한 해법은 발견되지 않았지만, 대략적인 해법은 슈바르츠실트 해법입니다.이 해는 한 물체의 질량 M이 다른 물체의 질량 m보다 압도적으로 클 때 관련된다.만약 그렇다면, 더 큰 질량은 정지 상태이며 중력장에 대한 유일한 기여자로 간주될 수 있다.이것은 별을 지나는 광자와 그 태양 주위를 도는 행성에 대한 근사치이다.가벼운 물체(아래의 "입자"라고 함)의 움직임은 슈바르츠실트 해로부터 결정될 수 있다. 그 움직임은 곡선 시공간의 측지학("두 점 사이의 가장 짧은 경로")이다.이러한 측지학적 해법은 일반 상대성 이론을 뒷받침하는 핵심 증거인 수성의 비정상적인 세차 운동을 설명한다.그것들은 또한 중력장에서의 빛의 굴곡을 묘사하는데, 일반 상대성 이론의 증거로 잘 알려진 또 다른 예측이다.

만약 쌍성처럼 두 질량이 중력장에 기여하는 것으로 여겨진다면, 케플러 문제는 대략적으로만 해결될 수 있습니다.개발된 가장 이른 근사 방법은 초기 해법을 점진적으로 수정하는 반복 방법인 뉴턴 이후 확장이었다.최근에는 수학 공식 대신 컴퓨터를^[1][2][3] 이용해 아인슈타인의 장 방정식을 푸는 것이 가능해졌다.두 물체는 서로 궤도를 돌면서 중력 복사를 방출하게 되며, 이는 쌍성 펄서 PSR B1913+16에서 알 수 있듯이 에너지와 각운동량을 점차 잃게 합니다.

이원 블랙홀의 경우, 두 신체 문제에 대한 수치적 해답은 세 그룹이 획기적인 ^[1][2][3]기술을 고안한 2005년에 40년간의 연구 끝에 이루어졌다.

이력 컨텍스트

케플러 고전 문제

케플러 문제는 덴마크 천문학자 티코 브라헤의 조수로 일했던 요하네스 케플러에서 유래했다.브라헤는 태양계 행성들의 움직임을 매우 정확하게 측정했다.이러한 측정으로부터 케플러는 행성 운동에 대한 최초의 현대적인 기술인 케플러의 법칙을 공식화할 수 있었습니다.

1. 모든 행성의 궤도는 태양이 두 개의 중심점 중 하나에 있는 타원형이다.
2. 행성과 태양을 연결하는 선은 동일한 시간 간격 동안 동일한 영역을 쓸어냅니다.
3. 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 반장축의 입방체에 정비례한다.

케플러는 1609년에 첫 번째 두 법칙과 1619년에 세 번째 법칙을 발표했다.그들은 프톨레마이오스와 코페르니쿠스와 같은 태양계의 초기 모델들을 대체했다.케플러의 법칙은 이체 문제의 제한된 경우에만 적용된다.볼테르와 에밀리 뒤 샤틀레는 그들을 "케플러의 법칙"이라고 부른 최초의 사람들이다.

거의 한 세기 후, 아이작 뉴턴은 그의 세 가지 운동 법칙을 공식화했다.특히, 뉴턴의 제2법칙은 질량 m에 가해지는 힘 F는 F=ma라는 방정식으로 주어진 가속도를 생성한다고 말한다.그러자 뉴턴은 질문을 던졌다: 케플러에 의해 보이는 타원 궤도를 만드는 힘은 무엇인가?그의 대답은 질량 M과 다른 질량 m 사이의 힘은 공식에 의해 주어진다는 만유인력의 법칙에서 나왔다.

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},$

여기서 r은 질량 사이의 거리이고 G는 중력 상수이다.이 힘의 법칙과 그의 운동 방정식을 고려할 때, 뉴턴은 서로를 끌어당기는 두 개의 점 질량이 각각 완벽한 타원 궤도를 따를 것이라는 것을 보여줄 수 있었다.이러한 타원의 크기 비율은 m/M이며, 큰 질량은 작은 타원에서 움직입니다.만약 M이 m보다 훨씬 크다면, 더 큰 질량은 더 가벼운 질량 m의 타원 궤도의 초점에 정지해 있는 것처럼 보일 것이다.이 모델은 대략 태양계에 적용할 수 있다.태양의 질량이 행성보다 훨씬 크기 때문에, 각 행성에 작용하는 힘은 주로 태양에 기인한다; 서로에 대한 행성의 중력은 첫 번째 근사치까지 무시될 수 있다.

압시달 세차

두 물체 사이의 위치 에너지가 정확히 뉴턴의 중력 법칙의 1/r 전위가 아니라 약간만 다르다면, 궤도의 타원은 (다른 가능한 효과들 중에서) 점차 회전합니다.이 근일점 세차운동은 태양의 편평성과 다른 행성들이 서로 끌어당기는 힘 때문에 태양 주위를 도는 모든 행성에서 관측된다.원근은 궤도에서 가장 가깝고 먼 두 지점(각각 근점과 원점)이다. 원근 세차운동은 원근점과 원근점을 연결하는 선의 회전에 해당한다.또한 라플라스-룽게-렌즈 벡터의 회전에도 대응하며, 이는 측면의 선을 따라 점을 찍는다.

뉴턴의 만유인력의 법칙은 모든 ^{[dubious – discuss]}행성의 움직임을 매우 정확하게 예측했기 때문에 곧 받아들여졌다.이러한 계산은 18세기 후반에 피에르 시몬 라플라스에 의해 처음 실행되었고 19세기 후반에 펠릭스 티세랑에 의해 수정되었다.반대로 뉴턴의 만유인력의 법칙이 행성들의 근위축 세차를 정확하게 예측하지 못했다면, 그것은 중력 이론으로 버려져야 할 것이다.이러한 비정상적인 세차운동은 19세기 후반에 관측되었다.

수성의 비정상적인 세차 운동

1859년, Urbain Le Verrier는 다른 행성들의 모든 영향이 설명되었음에도 불구하고,^[4] 수성의 궤도 세차운동이 그것이 되어야 할 것과 같지 않다는 것을 발견했다.효과는 작지만(세기당 약 43초 회전) 측정 오차(세기당 약 0.1초)를 훨씬 초과합니다.Le Verrier는 그의 발견의 중요성을 즉시 깨달았고, 천문학자와 물리학자들 모두에게 그것을 설명하라고 도전했다.행성간 먼지, 관측되지 않은 태양의 편평성, 수성의 발견되지 않은 위성, 또는 새로운 행성 벌컨과 같은 ^{[5]: 253–256} 몇 가지 고전적인 설명이 제안되었다.이러한 설명이 무시된 후, 일부 물리학자들은 뉴턴의 역제곱 중력의 법칙이 부정확하다는 보다 급진적인 가설로 내몰렸다.예를 들어, 일부 물리학자들은 2와 ^{[5]: 254} 약간 다른 지수를 갖는 멱함수 법칙을 제안했습니다.

다른 사람들은 뉴턴의 법칙이 속도에 의존하는 잠재력으로 보완되어야 한다고 주장했다.그러나 이것은 뉴턴 천체의 역학과의 충돌을 암시했다.천체의 역학에 대한 그의 논문에서, 라플레이스는 중력 영향이 순간적으로 작용하지 않는다면, 행성들의 운동 자체는 운동량을 정확히 보존하지 못할 것이라는 것을 보여주었다(그리고 결과적으로 운동량의 일부는 운동량을 배분하는 것과 유사한 중력 상호작용의 매개자에 기인해야 할 것이다.전자파 상호작용의 매개자에게 전달한다.)뉴턴의 관점에서 볼 때, 만약 중력의 영향이 한정된 속도로 전파된다면, 어떤 시점에서도 행성은 태양의 순간적인 위치가 아닌 어느 시간 전에 있었던 점에 끌리게 됩니다.고전적인 기초의 가정 하에, 라플레이스는 중력이 빛의 속도에 따라 빠르게 전파된다면 태양계는 불안정하고 오랫동안 존재하지 않을 것이라는 것을 보여주었다.태양계가 충분히 오래되었다는 관찰은 그가 빛의 ^{[5][6]: 177} 속도보다 훨씬 빠른 것으로 밝혀진 중력 속도에 대한 하한선을 둘 수 있게 했다.

중력 속도에 대한 라플레이스의 추정은 상대성 원리를 존중하는 장 이론에서는 정확하지 않다.전기장과 자기장이 결합되기 때문에 등속도로 움직이는 점전하의 매력은 ^{[note 1]}겉으로 봤을 때 차지하는 것처럼 보이는 위치가 아니라 추정된 순간 위치를 향해 있다.이러한 문제들을 피하기 위해, 1870년과 1900년 사이에 많은 과학자들은 안정적인 궤도를 만들고 수성 궤도의 근일점 변화를 설명하기 위해 빌헬름 에두아르트 베버, 칼 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만의 전기역학 법칙을 사용했습니다.1890년, 모리스 레비는 중력의 속도가 그의 이론에서 빛의 속도와 같다는 베버와 리만의 법칙을 결합함으로써 그렇게 하는데 성공했습니다.그리고 폴 거버(1898)는 심지어 근일점 이동에 대한 정확한 공식을 도출하는 데 성공했다.하지만, 베버와 다른 사람들의 기본 법칙이 틀렸기 때문에 (예를 들어, 베버의 법칙이 맥스웰의 이론으로 대체되었다) 그 가설들은 ^[7]기각되었다.이미 맥스웰 이론을 사용한 헨드릭 로렌츠(1900)의 또 다른 시도는 근일점 이동을 너무 낮게 ^[5]만들었다.

아인슈타인의 일반 상대성 이론

1904~1905년 경 헨드릭 로렌츠, 앙리 푸앵카레, 그리고 마지막으로 알버트 아인슈타인의 특수 상대성 이론은 빛의 속도보다 더 빠른 효과의 전파 가능성을 배제했다.따라서 상대론적 효과가 무시할 수 있는 상황에서 뉴턴의 중력의 법칙은 상대성 원리와 양립할 수 있는 다른 법칙으로 대체되어야만 했다.이러한 시도는 앙리 푸앵카레, 헤르만 민코프스키, 아르놀드 소머펠트(1910)^[8]에 의해 이루어졌다.1907년 아인슈타인은 이를 달성하기 위해서는 특수 상대성 이론의 후속이 필요하다는 결론에 도달했다.1907년부터 1915년까지 아인슈타인은 등가 원리를 그의 길을 인도하는 핵심 개념으로 사용하여 새로운 이론을 향해 일했다.이 원리에 따르면 균일한 중력장은 그 안에 있는 모든 것에 동일하게 작용하기 때문에 자유낙하 관찰자에 의해 검출될 수 없다.반대로 모든 국소 중력 효과는 선형 가속 기준 프레임에서 재현 가능해야 하며, 그 반대도 마찬가지이다.따라서 중력은 가속 기준 프레임에 있는 원심력이나 코리올리력과 같은 가공의 힘과 같은 역할을 합니다. 모든 가공의 힘은 중력과 마찬가지로 관성 질량에 비례합니다.중력과 특수 상대성 이론의 조화에 영향을 미치고 등가 원리를 통합하기 위해, 무엇인가가 희생되어야 했습니다; 그것은 우리의 공간이 유클리드 기하학의 법칙을 따른다는, 예를 들어, 실험적으로 피타고라스 정리가 참이라는 오랜 고전적 가정이었습니다.아인슈타인은 보다 일반적인 기하학, 의사-리만 기하학을 사용하여 화해를 위해 필요한 시공간 곡률을 허용했다; 8년간의 연구 후에, 그는 자연에서 관찰된 물리 법칙을 재현하기 위해 시공간이 곡면되어야 하는 정확한 방법을 발견하는데 성공했다, 특히 g.황홀함.중력은 시공간 곡률이 물리적으로 실재하는 반면, 가상력은 힘으로 간주되지 않는다는 점에서 가상력 원심력 및 코리올리력과 구별된다.그의 필드 방정식의 첫 번째 해는 수성의 비정상적인 세차 운동을 설명하고 그의 이론이 발표된 후에 확인된 빛의 비정상적인 굴곡을 예측했다.이러한 솔루션에 대해서는, 이하에 대해 설명합니다.

일반상대성이론, 특수상대성이론 및 기하학

정상 유클리드 기하학에서, 삼각형은 공간의 두 점 사이의 제곱 거리² ds가 수직 성분들의 제곱의 합이라는 피타고라스 정리를 따른다.

${\displaystyle ds^{2}=dy^{2}+dz^{2},\!}$

여기서 dx, dy 및 dz는 데카르트 좌표계에서 두 점의 x, y 및 z 좌표 사이의 미세한 차이를 나타냅니다(여기에 그림 추가).이제 이것이 사실이 아닌 세상을 상상해보세요; 거리가 대신 주어지는 세상.

$\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z),dx^{2}+G(x,y,z),dy^{2}+H(x,y,z),dz^{2},\!}$

여기서 F, G 및 H는 위치의 임의 함수입니다.그런 세상을 상상하는 것은 어렵지 않다. 우리는 하나의 세계에 살고 있다.지구의 표면은 구부러져 있고, 그렇기 때문에 완벽하게 정확한 지구의 평면 지도를 만드는 것은 불가능하다.예를 들어, 구면 좌표(r, θ, θ)에서, 유클리드 거리는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2},d\theta^{2}\sin^{2}\theta,d\varphi^{2},\!}$

또 다른 예는 길이를 재는 통치자들이 신뢰할 수 없는 세상, 그들의 위치, 심지어 그들의 방향에 따라 그들의 길이를 바꾸는 통치자들일 것이다.가장 일반적인 경우 거리 ds를 계산할 때 교차 용어를 고려해야 한다.

$\displaystyle ds^{2}=g_{xy}, display^{2}+g_{xy}, display, dz+\cdots +g_{z}, dz, dy+g_{z}, dz^{2},\!}$

여기서 9개의 함수_xx g, g_xy, …, g는_zz 리만 기하학에서 공간의 형상을 정의하는 메트릭 텐서를 구성한다.위의 구면 가속 예에서는 교차 결합이 없으며, 0이 아닌 유일한 메트릭 텐서 성분은 g = 1_θθφφ, g² = r 및 g² = r² sin δ이다_rr.

그의 특수 상대성 이론에서, 알버트 아인슈타인은 두 공간 점 사이의 거리 ds가 일정하지 않고, 관찰자의 움직임에 의존한다는 것을 보여주었다.그러나 시공간에서 두 점 사이에 불변적인 거리 측정이 있다. 즉, "적절한 시간"이라고 불리며 기호 d —로 표시된다. 즉, 관찰자의 움직임에 의존하지 않습니다.

${\displaystyle c^{2},d\display ^{2}=c^{2},dt^{2}-dy^{2}-dz^{2},\!}$

구면 좌표로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle c^{2},d\time ^{2}=c^{2},dt^{2}-r^{2},d\theta ^{2}\sin ^{2}\theta 、d\varphi ^{2},\!}$

이 공식은 피타고라스 정리의 자연스러운 확장이고 시공간에서 곡률이 없을 때만 비슷하게 유지된다.그러나 일반 상대성 이론에서는 시공간이 곡률을 가질 수 있기 때문에 이 거리 공식은 보다 일반적인 형태로 수정되어야 한다.

${\displaystyle c^{2},d\display ^{2}=g_{\mu \nu },display^{\nu },\!}$

우리가 지구 표면의 거리를 측정하는 공식을 일반화한 것처럼요.미터법_μν g의 정확한 형태는 아인슈타인 장 방정식에 의해 기술된 바와 같이 중력 질량, 운동량, 에너지에 따라 달라집니다.아인슈타인은 그 당시 알려진 자연의 법칙에 맞추기 위해 이러한 장 방정식을 개발했지만, 그들은 후에 확인된, 이전에 볼 수 없었던 현상들을 예측했다.

측지 방정식

아인슈타인의 일반 상대성 이론에 따르면, 무시할 수 있는 질량의 입자들은 시공간에서 측지학을 따라 이동한다.중력원에서 멀리 떨어져 있는 굴곡되지 않은 시공간에서는 이러한 측지학이 직선에 해당하지만 시공간이 곡선일 경우 직선에서 벗어날 수 있습니다.측지선의^[9] 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {d^{\mu }} {dq^{2}} + \Gamma _{\nu \sqda }^{\mu } {\frac {\sq}} {\frac {\sq}}} {\frac {\sq}} =0}$

여기서 δ는 크리스토펠 기호를 나타내며 변수 q는 시공간을 통과하는 입자의 경로, 이른바 월드 라인을 나타냅니다.크리스토펠 기호는 미터법 텐서_μν g에만 의존하거나 위치에 따라 어떻게 변하는지에만 의존합니다.변수 q는 (질량한 입자에 의해 이동되는) 시간적 궤도에 대한 적정 시간 θ의 상수 배수이며, 보통 그것과 동일한 것으로 간주됩니다.(광자와 같은 질량이 없는 입자에 의해 이동되는) 빛과 같은(또는 null) 궤도의 경우, 적절한 시간은 0이며, 엄밀히 말해 변수 q로 사용할 수 없다. 그럼에도 불구하고 빛과 같은 궤도는 시간적 궤도의 초저밀도 한계, 즉 입자 질량 m이 0으로 유지되는 한계로 유도될 수 있다.총 에너지 고정

슈바르츠실트 해

아인슈타인 장 방정식에 대한 정확한 해는 슈바르츠실트 측정법인데, 이것은 질량 M의 정지하고, 대전되지 않고, 회전하지 않고, 구면적으로 대칭인 물체의 외부 중력장에 해당합니다.이것은 슈바르츠실트 반지름으로 알려진 길이 척도_s r에 의해 특징지어지며, 이는 다음 공식에 의해 정의된다.

${\displaystyle r_{s}=svsfrac {2}GM}{c^{2}}}}}:$

여기서 G는 중력 상수입니다.고전적인 뉴턴 중력 이론은 r/r 비율이_s 0이 되면 한계에서 회복된다.그 한계에서, 메트릭은 특수 상대성이론에 의해 정의된 값으로 돌아갑니다.

실제로 이 비율은 거의 항상 매우 작습니다.예를 들어 지구의 슈바르츠실트 반지름_s r은 대략 9mm이다. 지구 표면에서 뉴턴 중력의 보정은 10억분의 1에 불과합니다.태양의 슈바르츠실트 반지름은 약 2953m로 훨씬 크지만 표면에서는 r/r의 비율이_s 약 4분의 1이다.백색왜성은 밀도가 훨씬 높지만, 표면에서의 비율은 약 250분의 1입니다.이 비율은 중성자별(비율이 약 50%)이나 블랙홀과 같은 초고밀도 물체 근처에서만 커집니다.

중심 질량 주위의 궤도

$중심질량{\displaystyle }$ M$({displaystyle$M})에$$ 대한 $극소질량{\displaystyle }$m({$displaystyle$m})의$$ 시험입자의 궤도는 운동방정식으로 구한다.

$(\displaystyle \left\frac {dr} {d\frac } } = flac {E^{2} {m^{2} c^{2} } } - \ left ( 1 - { \ frac {r _ s } { r} } \ right ) \ lef ( c ^ { 2 } + { r } } } } ） 。}$

$여기$서 h$(\displaystyle$ h$)$는 특정 상대 각운동량, $h$ $=r$ × $v$ $=$ $\frac{L}{}$μ {$textstyle$ h$=r\times$ v={$L \over \mu}}$ μ$(\displaystyle \mu})$는 감소 질량이다.이것은 궤도에 대한 방정식으로 변환될 수 있다.

$\displaystyle \frac {dr}{d\varphi }}\right}^{2}=slft(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\displaystyle\frac {r^{4}{a^2}+right},$

간결하게 하기 위해, $a\frac{}{}$ $=$ $\frac{h}{}$ c c { $textstyle$ a $= hc$ frac ${h$} {$c}}$ $및$ $b\frac{}{}$ $=$ $\frac{L}{}$ E { $textstyle$ b =$hc frac$ {Lc} {E$\}\}$의 두 가지 길이 측정이 도입되었다.이들은 운동의 상수이며 테스트 입자의 초기 조건(위치 및 속도)에 따라 달라집니다.따라서, 궤도 방정식의 해는

$\displaystyle \varphi =\int {frac {1}{r^{2}}\left[{\frac {1}{b^{2}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s}}}}}{r}\right}\frac\frac {1}+{frac}{{frac}}}{frac{1}}$

유효 방사형 퍼텐셜 에너지

위에서 도출된 입자의 운동 방정식

${\displaystyle \frac {dr} {d\frac } } = flac {E^{2} = {m^{2} c^{2} } - c^{2} + {\frac {r_{s} c^{2} {r} - {\frac {{2}$

슈바르츠실트 반지름_s r의 정의를 사용하여 다시 쓸 수 있다.

${{displaystyle {1}{2}}m\frac {dr}{d\frac }}\left[{\frac {E^{2}}-{\frac {1}mc^{2}-{r}-{\frac {{2}}+{\frac {GM}{r}}-{frac}{\frac {\frac}{\fr}{frac}{\fr}{fr}}{frac {\frac}}}{fr}{fr}}}{fr}}}}}}{fr}}}}$

이것은 입자가 1차원 유효 전위 안에서 움직이는 것과 같다.

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GM}{r}+{\frac {L^{2}{2\mu r^{2}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}$

처음 두 항은 잘 알려진 고전 에너지로, 첫 번째 항은 매력적인 뉴턴식 중력 퍼텐셜 에너지이고 두 번째 항은 혐오스러운 "중심" 퍼텐셜 에너지에 해당합니다. 하지만 세 번째 항은 일반 상대성 이론만의 매력적인 에너지입니다.아래와 같이 이 역입방체 에너지는 타원 궤도를 회전당 각도 θθ만큼 서서히 세차하게 만든다.

$\displaystyle \delta \varphi \약 \frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\오른쪽)}}}$

여기서 A는 반장축이고 e는 편심입니다.여기서 θ는 (t, r, θ, θ) 좌표의 변화가 아니라 고전적인 닫힌 궤도의 근점 인수의 변화이다.

세 번째 항은 매력적이며 작은 r 값으로 지배하며, 입자가 r = 0으로 끝없이 안으로 빨려 들어가는 임계 내부 반지름_inner r을 제공한다. 이 내부 반지름은 단위 질량당 입자의 각 운동량 함수이거나, 이에 상응하여 위에서 정의한 길이 척도이다.

원형 궤도와 그 안정성

유효 전위 V는 a = h/c 길이로 다시 쓸 수 있다.

$({displaystyle V(r)=frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{r^{2}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}\right]).}$

유효력이 0일 때 원형 궤도는 가능하다.

$\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}=-{\frac {mc^{2}{2r^{4}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;}$

즉, 두 가지 인력인 뉴턴 중력(1항)과 일반 상대성 이론의 고유한 인력(3항)이 반발 원심력(2항)에 의해 정확히 균형을 이룰 때.이 밸런싱을 실행할 수 있는 반경은 2가지입니다.여기서 r과_outer r로 나타냅니다_inner.

${\displaystyle {displaystyle {argined}r_{\mathrm {arg}}&=frac {a^{2}}\left(1+{\frac {1-{\frac {3r_{s}^2}}}}\r_{a}}}}\r_{\frac}{\frac}{\frac}{\fr}}{a}}{a}}}{a}}}}{a}}{a}}}}{a}{a}}{a}}}}}}}}}$

2차 공식을 사용하여 구합니다.내부 반지름_inner r은 불안정하다. 왜냐하면 r이 작아질 때 매력적인 세 번째 힘이 다른 두 힘보다 훨씬 더 빨리 강하기 때문이다. 만약 입자가 r에서 약간_inner 안쪽으로 미끄러지면, 세 번째 힘이 나머지 두 개의 힘을 지배하고 r = 0으로 무자비하게 입자를 끌어당긴다.그러나 외부 반지름에서는 원형 궤도는 안정적입니다. 세 번째 항은 덜 중요하며, 시스템은 비상대론적 케플러 문제와 더 비슷하게 작동합니다.

a가 r(고전적인 경우)보다_s 훨씬 클 때, 이러한 공식은 대략적으로 다음과 같다.

${\displaystyle {displaystyle}r_{\mathrm {r}{r_{s}}\r_{r_{s}}\약 {frac {3}r_{s}\end{aligned}}$

a와_s r의 정의를 r로_outer 치환하면 질량 M의 본체를 도는 질량 m의 입자에 대한 고전적인 공식이 산출된다.

다음 방정식

${\displaystyle r_{\mathrm {frc}^3}=blac {G(M+m)}{\obega _{\varphi }^2}}$

여기서 θ는_φ 입자의 궤도 각속도이며, 비상대론적 역학에서 원심력을 뉴턴 중력과 동일하게 설정하여 구한다.

${\displaystyle {gm}{r^{2}}=\mu \obega _{\varphi }^{2}r}$

$여기$서$$μ {\$displaystyle \mu}$는 축소된 질량입니다.

우리의 표기법에서, 전통적인 궤도 각 속도는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi }^{2}\약 {frac {GM}{r_{\mathrm {s}^{3}}=\left\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{{\mathrm {s}}{{2}}{2}}=\left\frac{\frac {c}{{c}}}}{c}}}}}}{{c}}}}}{displaystyc}}}}}}}}}}}}}}}}{{\frac$

다른 극단에서 a가 위에서 3r에_s² 접근하면² 두 반지름은 단일 값으로 수렴된다.

$\displaystyle r_{\mathrm {s}\approx r_{\mathrm {s}}\approx 3r_{s}$

위의 2차 해는 r이 항상_outer 3r보다_s 크도록 하는_inner 반면 r은 3⁄2_s r과_s 3r 사이에 있습니다.3⁄2_s r 미만의 원형 궤도는 불가능합니다.질량이 없는 입자의 경우 a는 무한대로 이동하며, 이는 r = 3⁄2_s r에서_inner 광자에 대한 원형 궤도가 있음을 의미한다.이 반지름의 구를 광자구라고 부르기도 한다.

타원 궤도의 세차 운동

궤도 세차 속도는 이 반경 유효 전위 V를 사용하여 도출할 수 있다.반지름_outer r의 원형 궤도로부터의 작은 반지름 편차는 각 주파수와 함께 안정적인 방식으로 진동합니다.

${\displaystyle \mega _{r}^2} = specfrac {1} {m} left [ {\frac {d^{2}V} {dr^{2}} \ right ]_{r=r_{\mathrm {rm}} } }$

어느 쪽인가 하면

${{r}^{2}=\displaystyle\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {param}^{4}}\right)\left(r_{\mathrm {par}}-r_{\right}=\mathrmathrm {parphi}^{rt}{rt}{{rt}{{{r}{rt}{rt}{rt}{rt}{r}}{r}{r}{r}}{{r}{{$

양쪽의 제곱근을 취하여 이항 정리를 사용하여 확장하면 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \mega _{r}=\obega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}+\cdots \right}}$

1회전의 주기 T를 곱하면 1회전당 궤도의 세차운동이 주어진다.

$\displaystyle \varphi = T(\obe _{\varphi }-\obe _{r})\pi \leftfrac {3r_{s}^{2}}\right)=pi frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2}{\right}L^{2}}}r_{s}^{2}}$

여기서는 "T_φ = 2"와 길이 척도 a의 정의를 사용했습니다.슈바르츠실트 반지름_s r의 정의를 대입하면

$\displaystyle \varphi \약 \frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2}L^{2}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}}{c^{4}}\오른쪽)=pic frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}}}}}$

이것은 타원 궤도의 반장축 A와 다음 공식에 관계된 편심 e를 사용하여 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\오른쪽)}$

세차 각도를 주다

$\displaystyle \delta \varphi \약 \frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\오른쪽)}}}$

닫힌 고전 궤도는 일반적으로 타원형이기 때문에 A(1~e²)의 양은 타원의 반직근 l이다.

따라서 단위완전회전을 위한 각도근위세차운동의 마지막 공식은 다음과 같다.

$\displaystyle \delta \varphi \약 {frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}$

슈바르츠실트 솔루션 너머

포스트 뉴턴 확장

슈바르츠실트 해에서는 큰 질량 M이 정지해 있고 그것만이 중력장(즉 시공간의 기하학)을 결정한다고 가정하며, 따라서 작은 질량 m은 고정된 시공간의 측지학적 경로를 따른다.이것은 광자와 수성의 궤도에 대한 합리적인 근사치이며, 이는 태양보다 약 6백만 배 가볍습니다.그러나 질량이 비슷한 쌍성에는 적합하지 않습니다.

비교할 수 있는 두 질량의 경우 메트릭은 닫힌 형태로 해결할 수 없으므로 뉴턴 이후의 근사 또는 수치 근사와 같은 근사 기법에 의존해야 한다.다음으로, 저차원의 특정 예외를 언급합니다(자세한 내용은 R = T 모델 참조).(1+1) 차원, 즉 하나의 공간 차원 및 하나의 시간 차원으로 이루어진 공간에서 동일한 질량의 두 물체에 대한 메트릭은 램버트 W ^[10]함수의 관점에서 해석적으로 풀 수 있다.하지만, 두 물체 사이의 중력 에너지는 번식하기 위해 3개의 공간이 필요한 중력자가 아닌 딜라톤을 통해 교환된다.

뉴턴 이후의 확장은 주어진 ^[6]문제에 대해 일련의 더 정확한 해결책을 제공하는 계산 방법입니다.이 방법은 반복적이다; 입자 운동을 위한 초기 해법은 중력장을 계산하기 위해 사용된다; 이러한 유도된 필드로부터, 새로운 입자 운동을 계산할 수 있고, 이 필드로부터 훨씬 더 정확한 추정치를 계산할 수 있다, 그리고 기타 등등.이 접근법은 입자 궤도에 대한 뉴턴식 해법이 종종 초기 해법으로 사용되기 때문에 "포스트 뉴턴식"이라고 불립니다.

이 이론은 두 부분으로 나눌 수 있습니다. 첫 번째 이론은 뉴턴 전위에 대한 GR 보정을 포착하는 2체 유효 전위를 찾습니다.둘째, 운동방정식을 풀어야 한다.

이 방법을 질량 제한 없이 이체 문제에 적용하면 결과는 매우 간단하다.가장 낮은 순서로, 두 입자의 상대적인 운동은 결합된 질량의 장에서 극소 입자의 운동과 같다.즉, 슈바르츠실트 반지름_s r의 공식과 회전당 세차각θ의 공식에서 M 대신 M+m을 사용하면 슈바르츠실트 해를 적용할 수 있다.

최신 컴퓨터 접근법

아인슈타인의 방정식은 정교한 수치적 ^[1][2][3]방법을 사용하여 컴퓨터로 풀 수도 있다.컴퓨터 성능이 충분하다면 이러한 솔루션은 뉴턴 이후의 솔루션보다 더 정확할 수 있습니다.그러나 이러한 계산은 일반적으로 4차원 공간에서 방정식을 풀어야 하기 때문에 어렵습니다.그럼에도 불구하고, 1990년대 후반부터, 일반 상대성 이론에서 케플러 문제의 매우 어려운 버전인 두 블랙홀의 합병과 같은 어려운 문제들을 해결하는 것이 가능해졌다.

중력 복사

만약 들어오는 중력 복사가 없다면, 일반 상대성 이론에 따르면, 서로를 공전하는 두 물체는 중력 복사를 방출하여 궤도에 에너지를 점차 잃게 할 것이다.

케플러 문제의 두 물체로부터의 중력 복사로 인한 에너지 손실과 각 운동량을 설명하는 공식은 ^[11]계산되었다.에너지 손실률(완전 궤도에 걸쳐 평균)은^[12] 다음과 같습니다.

$({displaystyle -\left\frac {dE}{dt}}\right\rangle = scfrac {32G^{4}m_{1}^{1}{{2}(m_{1}+m_{2}}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right}^7}^2})$

여기서 e는 궤도 이심률이고 a는 타원 궤도의 반조르 축이다.방정식 왼쪽에 있는 각 괄호는 단일 궤도에 대한 평균을 나타냅니다.마찬가지로 각운동량 손실의 평균 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle -\left\rangle {dL_{dt}}\right\rangle = sfrac {32G^{7/2}m_{1}{1}{{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$

주기 감소율은 다음과^[11][13] 같습니다.

${\displaystyle -\left\rangle {frac {dP_{b}}\right\rangle = frac {192\pi G^{5/3}m_{1}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}{5c^{5}\left_{2}/}^7}^2}\right$

여기서_b P는 궤도 주기입니다.

이심률이 1에 가까워질수록, 즉 궤도의 타원이 길어질수록 에너지와 각운동량의 손실은 크게 증가한다.방사선 손실도 궤도의 크기 a가 감소함에 따라 크게 증가한다.

• 

  실험적으로 관측된 쌍성 펄서 PSR B1913+16(파란 점)의 궤도 주기 감소는 일반 상대성 이론(검은 곡선)의 예측과 거의 일치한다.

• 

  서로 빠르게 회전하는 두 중성자별은 중력 복사를 방출함으로써 에너지를 점차 잃는다.그들이 에너지를 잃으면서, 그들은 서로를 더 빠르고 더 가깝게 돌아요.

「 」를 참조해 주세요.

• 비넷 방정식
• 질량 중심(상대론적)
• 중력 이체 문제
• 케플러 문제
• 회전 궤도의 뉴턴의 정리.
• 슈바르츠실트 geodesics

메모들

참조

서지학

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외부 링크

• 애니메이션 별의 은하계 초거대 블랙 홀 주위에 상대론적 세차를 보여 준다.
• 상대성을 케빈 브라운이 영상에서 Excerpt.