특정 각운동량

천체역학에서 신체의 특정한 상대적 각도운동량(흔히 $h{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$은 그 신체의 각운동량을 질량으로 나눈 것이다.^[1]궤도를 선회하는 두 개의 신체의 경우 그것은 상대 위치와 상대 속도의 벡터 산출물로, 문제의 신체의 질량으로 나눈다.

이상적인 조건에서 주어진 궤도에 대해 일정하게 유지되기 때문에 특정한 상대적인 각운동량은 두 신체 문제의 분석에 중추적인 역할을 한다.이 맥락에서 "특정"은 단위 질량 당 각 운동량을 나타낸다.특정 상대 각도 운동량을 위한 SI 단위는 초당 제곱미터다.

정의

특정 상대 각도 운동량은 상대 위치 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 상대$$ 속도 벡터 $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 교차 생산물로 정의된다$.$

${\displaystyle {\vec{h}={\vec{r}\times{\vc}={\frac{\vec}}{m}}}}$

여기서 $L{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$는 $각운동량{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 벡터로서$$, r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \times }$ m ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ ${\$ m${\vc{v}}}$로 정의된다$.$

$h{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 벡터는$$ 순간적으로 혼란된 궤도와 일치하는 순간 오스카하는 궤도면에 항상 수직이다.시간이 지남에 따라 반드시 평균 궤도면에 수직이 되는 것은 아니다.

두 바디 케이스의 항상성 증명

특정 조건에서는 특정 각운동량이 일정하다는 것을 증명할 수 있다.이 증빙의 조건은 다음과 같다.

• 한 물체의 질량은 다른 물체의 질량보다 훨씬 크다.(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$
• 좌표계는 관성적이다.
• 각 물체는 수직으로 대칭되는 점 질량으로 취급될 수 있다.
• 두 몸을 연결하는 중력 외에 어떤 힘도 시스템에 작용하지 않는다.

증명

그 증거는 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 파생된 두 가지 운동 방정식으로 시작한다.

${\ddtyle {\dddot{r}}+{\frac {gm_{1}{r^{2}}{\frac {\r}{r}}{r}=0}$

여기서:

• ${\displaystyle \stackrel{}{r}}$→ ${\$은(는) $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}에서$$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}까지의$$ 위치 벡터로$$ 스칼라 규모 $r{\displaystyle }$ ${\displaysty r$
• ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{r}}}$→$¨{\$은(가속) r${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 두 번째 파생상품이다$$.
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 중력 상수다.

위치 벡터와 동작 방정식의 교차 산물은 다음과 같다.

${\displaystyle {\vec}\time {\ddot {\vec{r}}+{\vec}\time {r}{\frac {Gm_{1}{r^{2}}{\frac {\vec}{r}}=0}$

$r{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\vec{r}\time {\vec{r}=0})$ 두 번째$$ 학기가 사라지기 때문에:

${\displaystyle {\vec{r}\property {\ddot {\vec}=0}$

또한 다음과 같은 것을 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}}$

이 두 방정식을 결합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\d} \left\vec {r}\dot {\vec}\right){\mathrm {d}t}=0}$

시간파생물이 0과 ${\displaystyle 같기\stackrel{}{\stackrel{}{}}}$ 때문에 수량 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \times }$ r${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$r}\$time{\dot{\vec{r}}}}$은 일정하다$$.위치 변화율 대신 속도$$ 벡터 $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 특정 각도 운동량에는$$ $h{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 사용:

${\displaystyle \stackrel{}{h}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ ${\$은(는) 일정하다$$.

$이$는 모멘텀의 ${\displaystyle 일반적}$인 구성인 r →${\displaystyle \stackrel{}{}\times }$ p${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$와는 다른데$,$ 이는 문제의 물체의 질량을 포함하지 않기 때문이다.

케플러의 행성 운동 법칙

케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

제1법칙

그 증거는 두 몸 문제의 방정식에서 다시 시작된다.이번에는 특정 상대 각도 운동량과 곱하기(크로스 제품)

${\ddtyle {\vec {r}\property {\vec}\property {h}=-{\frac {\mu}{r^{2}}:{\frac {\r}{r}\bec {h}}}$

왼쪽은 각운동량이 일정하기 때문에$$ d ${\displaystyle \frac{t}{}r\stackrel{}{}\stackrel{}{\stackrel{}{}}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\displaystyle \times }$ h${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\$frac ${d}{\mathrm {d$}}}{\$mathrm$ {$d}$ t$}\좌({\dot{\vec}}}}}\time{\vec {h}\right)$과 동일하다.

몇 가지 단계를 거치면 우측은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle -{\frac{}{r^{3}}\좌측값\vec{r}{r^{h}\우측)=-{\frac {}{r^{r^{3}}\좌측값(\좌측값\vec}}{vcdot {\v}우){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}}\right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}}\right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\right)}$

이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 통합하면 ($통합{\displaystyle \stackrel{}{}}$ C →${\$로 이어진다$.$

${\dot}{\vec{r}}\time {\vec {h}=\mu {\frac {\vec}}{r}+{\vec {C}}}$

이제 이 방정식을 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$과(와) 곱하고 다시$$ 배열함

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r}}\cdot \left({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}\right)&={\vec {r}}\cdot \left(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}\right)\\\Rightarrow {}\left({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}\right)\cdot {\vec {h}}&=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow {}h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$

마침내 궤도 방정식을^[1] 얻는다.

${\displaystyle r={\frac {\h^{2}}{\mu }{1+{\frac {C}{\mu }}}코스 \theta }}}}}$

즉, 반-라투스 $직장{\displaystyle }$p = ${\displaystyle h\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\$ p$={\h^{2}}:{\mu}}$ 및$$ 편심 $e{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$ ${\$ e$={\frac}{\$frac {$C}{\mu}}}}}}}}$이 있는 극좌표 원뿔 단면의 방정식이다$.$

제2법칙

두 번째 법칙은 세 방정식 중 두 번째 방정식에서 즉시 따라와 특정 상대 각도 운동량의 절대값을 계산한다.^[1]

If one connects this form of the equation ${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\ \mathrm {d} \theta }$ with the relationship ${\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\ \mathrm {d} \theta }$ for the area of a sector with an infinitesimal small angle ${\displaystyle \mathrm{d}\theta }$$$매우 작은 면 하나를 가진 $\daystyle \mathrm {d}$ $$$\theta },$ 방정식

${\daystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}\\\mathrm {d}A}$

제3법칙

케플러의 세번째는 제2법칙의 직접적인 결과다.1회전 이상 통합하면 궤도 주기가^[1] 주어진다.

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$

$\pi {\displaystyle }$ 영역의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, ${\displaystyle \mathrm{타원}}$의 b ${\displaystyle \pi ab}.$세미 미니어처 축을 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{p}}$ ${\$ b$={\sqrt{ap}}$로 교체하고$$ $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{\mu p}}}$ ${\$ h$={\sqrt{\mu p}}}$로 특정 상대 각도 모멘텀을 교체하면 된다$$.

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac{a^{3}}{\mu }}}}}}$

따라서 중심체의 상수로 줄일 수 있는 인공위성의 반주축과 궤도 주기 사이에는 관계가 있다.

참고 항목

• 특정한 궤도 에너지, 두 신체 문제에서 또 다른 보존량.
• 고전적 중심력 문제 § 특정 각운동량

참조