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큐브(알지브라)

Cube (algebra)
y = 1 x x ≤ 25의 값에 대한3 x

산술대수에서 숫자 n세제곱은 그 세 번째 , 즉 n의 세 가지 인스턴스(instance)를 함께 곱한 결과물이다. 숫자의 입방체나 다른 수학 식은 위첨자 3으로 표시된다.3 예를 들어 23 = 8 또는 (x + 1)

큐브에는 제곱을 곱한 숫자도 있다.

n3 = n × n2 = n × n × n.

큐브 함수는 숫자를 큐브에 매핑하는 함수 xx3 (흔히 y = x3 표시됨)이다. 으로서 기묘한 기능이다.

(-n)3 = -(n3)

기하학적 입방체부피는 옆면 길이의 정육면체로서 이름이 생겨난다. 큐브가 n인 숫자를 찾는 것으로 구성된 역연산n큐브 루트를 추출하는 작업이라고 한다. 그것은 주어진 볼륨의 큐브 면을 결정한다. 또한 3분의 1의 세력으로 끌어올려진다.

큐브 함수의 그래프큐빅 포물선이라고 한다. 큐브함수는 홀수함수이기 때문에 이 곡선은 원점에 대칭의 중심이 있지만 대칭의 축은 없다.

정수로

큐브 숫자, 또는 완벽한 큐브, 또는 때로는 그냥 큐브숫자다. 최대 60개의3 음이 아닌 완전 큐브는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A000578).

03 = 0
13 = 1 113 = 1331 213 = 9261 313 = 29,791 413 = 68,921 513 = 132,651
23 = 8 123 = 1728 223 = 10,648 323 = 32,768 423 = 74,088 523 = 140,608
33 = 27 133 = 2197 233 = 12,167 333 = 35,937 433 = 79,507 533 = 148,877
43 = 64 143 = 2744 243 = 13,824 343 = 39,304 443 = 85,184 543 = 157,464
53 = 125 153 = 3375 253 = 15,625 353 = 42,875 453 = 91,125 553 = 166,375
63 = 216 163 = 4096 263 = 17,576 363 = 46,656 463 = 97,336 563 = 175,616
73 = 343 173 = 4913 273 = 19,683 373 = 50,653 473 = 103,823 573 = 185,193
83 = 512 183 = 5832 283 = 21,952 383 = 54,872 483 = 110,592 583 = 195,112
93 = 729 193 = 6859 293 = 24,389 393 = 59,319 493 = 117,649 593 = 205,379
103 = 1000 203 = 8000 303 = 27,000 403 = 64,000 503 = 125,000 603 = 216,000

기하학적으로 말해서, 양수 m은 만약 한 사람이 m 고체 단위를 더 크고 단단한 큐브에 배열할 수 있다면 완벽한 큐브다. 예를 들어, 27개의 작은 큐브는 3 × 3 × 3 = 27이기 때문에 루빅 큐브의 외관과 함께 하나의 큰 큐브로 배열할 수 있다.

연속 정수의 입방체 차이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

n3 - (n - 1) 3= 3(n - 1)n + 1

또는

(n + 1) 3- n3 = 3(n + 1)n + 1

음의 정수의 큐브가 음의 것이기 때문에 최소의 완벽한 큐브는 없다. 예를 들어, (-4) × (-4) × (-4) = -64.

베이스텐

완벽한 정사각형과 달리, 완벽한 정사각형은 마지막 두 자리 숫자에 대한 적은 수의 가능성을 가지고 있지 않다. 25자리, 75자리, 00자리만 마지막 두 자리수가 될 수 있는 5로 나누어질 수 있는 큐브를 제외하고, 마지막 자리 홀수를 가진 모든 자리 쌍은 완벽한 큐브의 마지막 자리수로 발생할 수 있다. 짝수 큐브를 사용하는 경우, 00, o2, e4, o6e8에만 상당한 제한이 있으며, 여기서 o는 홀수 자릿수를 의미하며 e는 짝수 자릿수를 의미한다. 일부 입방체 숫자도 제곱 숫자인데, 예를 들어 64는 제곱 숫자(8 × 8)와 큐브 숫자(4 × 4 × 4)이다. 이는 숫자가 완벽한 6번째 전력(이 경우 2)일6 경우에만 발생한다.

각 3전원의 마지막 자릿수는 다음과 같다.

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

그러나 모든 완벽한 큐브에는 디지털 루트 1, 8, 9가 있어야 하기 때문에 대부분의 숫자가 완벽한 큐브가 아니라는 것을 보여주는 것은 쉽다. 그것이 그들의 값 modulo 9는 0, 1, 8일 수 있다. 또한 숫자 큐브의 디지털 루트는 숫자를 3으로 나눌 때 숫자가 주는 나머지에 의해 결정될 수 있다.

  • 만약 숫자 x가 3으로 나누어져 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 9를 가지고 있다; 즉,
  • 만약 그것이 3으로 나누었을 때 1의 나머지를 가지고 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 1을 가지고 있다. 즉,
  • 만약 그것이 3으로 나누었을 때 2의 나머지를 가지고 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 8을 가지고 있다. 즉,

큐브에 대한 워링의 문제

모든 양의 정수는 9개(또는 그 이하) 양의 정육면체의 합으로 쓸 수 있다. 예를 들어, 23은 9개 미만의 양의 정육면체의 합으로 쓸 수 없기 때문에 9개의 정육면체의 상한은 줄일 수 없다.

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

정육면체 3개 합

모든 정수(양수 또는 음수)가 ±4 modulo 9에 합치되지 않는 것은 무한히 많은 방법으로 정육면체 3개(양수 또는 음수)의 합으로 쓸 수 있다고 추측된다.[1] 예를 들어, = + (- )+( -1 ) 3 6=3}}}}}. ±4 modulo 9에 해당하는 정수는 3 입방체의 합으로 쓸 수 없기 때문에 제외된다.

그러한 합을 알 수 없는 가장 작은 정수는 114이다. 2019년 9월에 알려진 3-큐브 합계가 없는 가장 작은 정수(42)가 이 방정식을 만족하는 것으로 밝혀졌다.[2][better source needed]

+ + 3= x^{3}+z}은(는) n 78에 대해 아래 표에 제시되어 있으며, n4 또는 5 modulo 9에 합치되지 않는다. 선택된 용액은 용액(gcd(y, z) = 1) - c ) + = 3 {\ cc)^{n^{3}+3}+n^{3}+n^{}}+n^{3} or (since they are infinite families of solutions), satisfies 0 ≤ xyz , and has minimal values for z and y (tested in this order).[3][4][5]

n의 작은 값에 대한 솔루션에서 비원리적인 솔루션만 사소한 추론할 수 있기 때문에 원시 솔루션만 선택된다. For example, for n = 24, the solution results from the solution by multiplying everything by Therefore, this is another solution that is selected. 마찬가지로 n = 48의 경우 용액(x, y, z) = (-2, -2, 4)이 제외되며, 이것이 선택되는 용액(x, y, z) = (-23, -26, 31)이다.


큐브를 위한 페르마의 마지막 정리

x3 + y3 = z3 등식은 정수에 비교(즉, xyz ≠ 0) 용액이 없다. 사실 아이젠슈타인 정수에는 아무것도 없다.[6]

3 두 문장은 x + y3 = 3z3 등식에도[7] 적용된다.

번째 n 큐브의 합계

번째 n 큐브의 합은 제곱한 n번째 삼각형 숫자:

13 + 23 + 3 + 43 + 53 =(1 + 2 + 3 + 4 + 5)2라는3 시각적 증거.

증명. Charles Wheatstone(1854)은 각 입방체를 연속된 홀수 집합으로 확장함으로써 특히 간단한 파생법을 제공한다. 그는 정체성을 주는 것으로 시작한다.

이 ID는 다음과 같은 방법으로 삼각형 숫자 n 과(와) 관련이 있다.

따라서 n n를 형성하는 요약은 이전 1 1까지를 형성하는 것이 (n- ) 까지를 형성한 후에 시작한다 이 속성을 다른 잘 알려진 ID와 함께 적용한다.

우리는 다음과 같은 파생어를 얻는다.

삼각형 숫자의 제곱이 입방체의 합과 같다는 것을 시각적으로 증명한다.

더 최근에는 수학적 문헌에서, 스타인:CITEREFStein1971( 도와 주))정체(;뷔르츠 2006년harvnb 오류:노 타깃:CITEREFBenjaminQuinnWurtz2006( 도와 주또한 벤자민이고, 퀸 & 보) 하는 기하학적 증거를 형성시키기 위해 그는 또한pr 수 있는지 관찰 이러한 숫자의 rectangle-counting 해석을 사용해harvtxt 오류:노 타깃(1971년).oved 쉽게(그러나 비정보적으로) 유도하여 토우플리츠(1963) 목표 은 "흥미로운 오래된 아랍어 교정"을 제공한다고 진술한다. Kanim (2004) provides a purely visual proof, Benjamin & Orrison (2002) provide two additional proofs, and Nelsen (1993) gives seven geometric proofs.

예를 들어, 처음 5개의 입방체의 합은 5번째 삼각형 숫자의 제곱이다.

번째 y 홀수 큐브의 합에 대해 유사한 결과를 얻을 수 있다.

그러나 x, y는 음의 Pell 방정식2 x - 2y2 = -1을 만족해야 한다. 를 들어 y = 5 29의 경우

등등. 또한 가장 낮은 숫자를 제외한 모든 짝수 숫자는 처음 2개p−1/2
홀수 큐브의 이다(p = 3, 5, 7, ...

산술 수열의 제곱합

플라톤의 숫자에 대한 하나3 해석, 33 + 4 + 53 = 63

산술적 수열에서 숫자의 큐브(합이 큐브)의 예가 있다.

첫 번째 것은 가끔 신비로운 플라톤의 번호로 확인되기도 한다. 공통 차이 d와 초기 큐브 a3 갖는 산술적 진행에서 n 큐브 숫자의 합을 찾기 위한 F 공식,

에 의해 주어지다

에 대한 파라메트릭 솔루션

d = 1 또는 연속 큐브의 특수한 경우로 알려져 있지만, d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 등과 같이 산발적인 용액만이 정수 d > 1에 대해 알려져 있다.[8]

연속된 홀수 정수의 합으로 큐브

홀수 정수 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...의 순서에서 첫 번째 정수는 큐브(1 = 13)이고, 다음 두 의 합은 다음 정육면체(3 + 5 = 23)이고, 다음 정수의 합은 다음 정육면체(7 + 9 + 11 = 33)이다.

합리적인 숫자로

모든 양의 이성적 숫자는 세 개의 양의 이성적 정육면체의 합이며,[9] 두 개의 이성적 정육면체의 합이 아닌 이성적 정육면체의 합이 있다.[10]

실제 숫자, 기타 필드 및 링

y = 데카르트 평면에 표시3 x

실제 숫자로 큐브 함수는 순서를 보존한다: 숫자가 클수록 큐브가 커진다. 즉 큐브(강력하게)가 단조롭게 늘어난다. 또한 그것의 코도메인은 전체 실선이다: 함수 x x3 : R R추론(가능한 모든 값을 취함)이다. -1, 0, 1의 3개 숫자만이 자체 큐브와 동일하다. 만약 -1 < x < 0 또는 1 < x, x > x. 만약3 x < -1 또는 0 < x < 1>, x < x3 < x. 앞서 언급한 모든 속성은 실수의 더 높은 홀수 힘(x5, x7, ...)과도 관계가 있다. 평등과 불평등주문된 어떤 고리에서도 사실이다.

유사한 유클리드 고형물의 부피는 그 선형 크기의 정육면체와 관련이 있다.

복잡한 숫자로 보면 순전히 상상의 숫자의 입방체도 순전히 상상의 숫자다. 3 들어 i = -i.

x3 파생상품은 3배이다2.

큐브는 때때로 p ≠ 1 (mod 3)이 [11]아닌 prime p대한p F와 같은 다른 분야에서 허탈한 속성을 가진다: 위의 합리성을 가진 counterrexample을 보라. 또한 F에서7 오직 3개의 원소 0, ±1은 총 7개의 완벽한 정사각형이다. -1, 0, 1은 어디에나 완벽한 큐브이며, 필드의 유일한 요소는 x3 - x = x(x - 1)(x + 1)이다.

역사

많은 수의 정육면체의 결정은 많은 고대 문명에서 매우 흔했다. 메소포타미아 수학자들은 구 바빌로니아 시대(기원전 20세기~16세기)까지 정육면체 및 정육면체 뿌리를 계산하기 위한 표를 가진 정육면체를 만들었다.[12][13] 고대 그리스의 수학자 디오판투스에게는 큐빅 방정식이 알려져 있었다.[14] 알렉산드리아의 영웅은 CE 1세기에 큐브 뿌리를 계산하는 방법을 고안했다.[15] 큐빅 방정식을 풀고 큐브 뿌리를 추출하는 방법은 기원전 2세기경에 편찬된 중국 수학 문헌인 <수학적 예술관한 9장>[16]에 나온다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Huisman, Sander G. (27 Apr 2016). "Newer sums of three cubes". arXiv:1604.07746 [math.NT].
  2. ^ NEWS: 42의 미스터리는 해결되었다 - 번호판" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
  3. ^ OEIS에서 시퀀스 A060465, A060466A060467
  4. ^ 스리큐브
  5. ^ n=x^3+y^3+z^3
  6. ^ 하디 & 라이트, 227년 목요일
  7. ^ 하디 & 라이트, 232년 목요일
  8. ^ "A Collection of Algebraic Identities".[영구적 데드링크]
  9. ^ 하디 & 라이트, 234년 목요일
  10. ^ 하디 & 라이트, 233년 목요일
  11. ^ Fp 곱셈 그룹은 순서 p - 1순환이며, 3으로 나누지 않으면 정육면체들은 그룹 자동화를 정의한다.
  12. ^ Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
  13. ^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
  14. ^ 반데르 베르덴, 고대문명의 기하학과 대수학, 제4장 취리히 1983 ISBN 0-387-12159-5
  15. ^ Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
  16. ^ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

참조