정의되지 않음(수학)

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수학에서 정의되지 않은 용어는 종종 해석이나 값(다른 값을 가정하는 경향이 있는 불확실한 형태 등)이 할당되지 않은 식을 지칭하기 위해 사용된다.^[1] 이 용어는 문맥에 따라 몇 가지 다른 의미를 가질 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

• 수학의 다양한 분야에서 특정 개념은 원시 개념(예를 들어 기하학에서 "점", "선", "각도"라는 용어)으로 소개된다. 이러한 용어는 다른 개념의 관점에서 정의되지 않기 때문에 "정의되지 않은 용어"라고 할 수 있다.
• 함수는 도메인 외부 지점에서 "정의되지 않음"이라고 한다. 예를 들어, 실제 값 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle x\sqrt{}}$ ${\$$}}$는 $음수{\displaystyle }$ x ${\displaysty$ x}(즉, 음수 인수에 값을 할당하지 않음).
• 대수에서 일부 산술 연산은 피연산자의 특정 값(예: 0으로 나누기)에 의미를 부여하지 않을 수 있다. 이 경우, 그러한 피연산자를 포함하는 표현을 "정의되지 않음"^[2]이라고 한다.

정의되지 않은 항

고대에는 기하학자들이 모든 용어를 정의하려고 시도했다. 예를 들어 유클리드에서는 점을 "부분이 없는 점"으로 정의했다. 현대에 와서 수학자들은 모든 단어를 정의하려고 시도하면 필연적으로 원형적 정의가 나온다는 것을 인식하고, 따라서 일부 용어(예: "점")는 정의되지 않은 채로 둔다(더 자세한 것은 원시적 개념 참조).

이러한 보다 추상적인 접근방식은 유익한 일반화를 가능하게 한다. 위상에서 위상 공간은 특정 특성이 부여된 점 집합으로 정의할 수 있지만, 일반적인 환경에서는 이러한 "점"의 특성이 완전히 정의되지 않은 채로 남아 있다. 마찬가지로 범주 이론에서 범주는 다시 원시적이고 정의되지 않은 용어인 "객체"와 "화살"로 구성된다. 이를 통해 그러한 추상적인 수학 이론을 매우 다양한 구체적인 상황에 적용할 수 있다.

산술로

그 표현 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체.로 분열로 0( 같은 표현 미적분학에서 부정형을 나타내기 위해 사용된다)으로 설명되}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}0/0 연산에서, 확실하지 않습니다.

수학자들은 0을⁰ 1로 정의해야 하는지, 아니면 정의되지 않은 채로 두어야 하는지에 대해 서로 다른 의견을 가지고 있다.

함수가 정의되지 않은 값

함수가 정의되는 숫자 집합을 함수의 도메인이라고 한다. 만약 어떤 숫자가 함수의 영역에 없다면, 그 함수는 그 숫자에 대해 "정의되지 않은" 것이라고 한다. 일반적인 두 가지 $예$로는$$${\displaystyle \mathrm{x}}$$$= $\frac{1}{}$ $x\frac{\mathrm{}}{}$${\textstyle$ $f(x)={\frac${1$}{x$ x${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x=0$ ${\displaystyle f(}$ x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle x\sqrt{}}$ ${\$$x$에 $대해{\displaystyle }$ 정의되지 않은 것이 있다.

삼각법에서

In trigonometry, the functions ${\displaystyle \tan \theta }$ and ${\displaystyle \sec \theta }$ are undefined for all ${\textstyle \theta =180^{\circ }\left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$, while the functions ${\displaystyle \cot \theta }$ and ${\displaystyle$$\csc \theta }$은(는) 모든 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {180}^{\circ }}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \theta =180^{\cHB }(n)}$에 대해 정의되지 않음$$$.$

컴퓨터 공학에서

↓과 ↑을 사용한 표기법

계산성 이론에서 f ${\displaystyle f}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 부분 함수이고 ${\displaystyle a}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소인$$ 경우$,$ 이 값은 ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }\downarrow$ ${\displaystyf(a)\downarrow$로 기록되며 "f"로 읽힌다.^[3]

${\displaystyle a}$이$($가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 도메인에 없는$$ 경우 이 값은 ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \uparrow }$ ${\displaystyle$ f$(a)\uparrow }$ 로$$기록되고 "${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$) ${\displaysty$ f($a)$는 정의되지 않음"으로 읽힌다.

무한의 상징들

분석, 측정 이론 및 기타 수학적 학문에서 기호 $\{{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $\infit }$은(는) 음의${\displaystyle }$along ${\displaystyle$ -$\nft }$과($)$ ${\displaystyle {같은}_{}}$ 표현과 함께 무한 사이비 숫자를 나타내는데 자주 사용된다${\displaystyle .}$$n}\\right\}\rightarrow \infit }$은(는) 서로 다른 시퀀스의 속기인데$$, 어느 시점에서는 주어진 실제 숫자보다 더 크다.

기호가 ±${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \pm \infit }$인 표준 산술 연산을 수행하는 것은 정의되지$$ 않았다. 그러나 일부 확장자는 다음과 같은 추가 및 곱셈 규칙을 정의한다.

• ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$= $∞{\displaystyle$ x$+\inflt =\inflt }$ $모든$ x ${\displaystyle \in }$ $∪{\displaystyle x\in \mathb{R} \cupt \cup$ \cup$\}\}\}.$
• ${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty }}$+ ${\displaystyle x}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\inflt +x=-\inflt }$ $모든$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$\$$} {\$displaystyle$ x$\in \r}\mathb$ {R} $\cupte$\cup \cup$\cup$
• ${\displaystyle x\mathrm{\cdot }}$ =$∞{\displaystyle x\cdot \inflt =\inflt$ \$\$ 모든 x ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle {}^{}}$에 대해$$}{\$displaystystyle x\$in \mathb$.$

다음과 같은 경우에는 $∞$ {\$displaystyle \infit }$을(를) 사용한 덧셈과 곱셈의 합리적인 확장이 존재하지$$ 않는다.

• $\displaystyle \ft -\fty }$
• ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cdot }$ {\$displaystyle$0\$cdot$ \$infit$}($$측정 이론상으로는 $흔히{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle$ 0$}$으로 정의됨$)$
• ${\displaystyle {\frac {\nothy}{\nothy}}$

자세한 내용은 확장된 실수선을 참조하십시오.

복잡한 분석의 특이점

복잡한 분석에서 \${\displaystyle mathb\mathbb{}}$ {C}의 점 z ${\displaystyle \in }$ C ${\${$C}$이$($가) 홀모픽 함수가 정의되지 않은 점을$$ 특이점이라고 한다. 하나는 탈착 가능한 특이점(즉, $함수$를 z$${\$displaystyle$ z$})$과 극(즉, $함수$를 z$${\$displaystyle$ z$}$까지 임의로 확장할 수 있음)$$ 및 필수 특이점($즉{\displaystyle }$, z ${\displaysty z}$에 대한 임의의 확장은 존재할 수 없음$$)을 구별한다.

참조

추가 읽기

• Smart, James R. (1988). Modern Geometries (Third ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-08310-2.