해밀턴(양자역학)

양자역학에서, 시스템의 해밀턴(Hamiltonian)은 운동 에너지와 위치 에너지 모두를 포함한 그 시스템의 총 에너지에 대응하는 연산자입니다.스펙트럼, 시스템의 에너지 스펙트럼 또는 에너지 고유값 집합은 시스템의 총 에너지 측정에서 얻을 수 있는 가능한 결과의 집합이다.시스템의 에너지 스펙트럼 및 시간 진화와의 밀접한 관계 때문에, 그것은 양자 이론의 대부분의 공식에서 근본적으로 중요하다.

해밀턴의 이름은 역사적으로 양자 물리학의 발전에 중요했던 해밀턴 역학으로 알려진 뉴턴 역학의 혁명적인 개혁을 개발한 윌리엄 로완 해밀턴의 이름을 따왔다.벡터 표기법과 마찬가지로 일반적으로 H $^$ {\ $displaystyle {H$ 로 ${\hat {H}}$ 됩니다.여기서 모자는 연산자임을 나타냅니다.H $(style$ H $)$ ${\check {H}}$ H $(\displaystyle$ { $H$ 라고도 쓸 수 있습니다.

서론

시스템의 해밀턴식은 시스템의 총 에너지, 즉 시스템과 관련된 모든 입자의 운동 에너지와 위치 에너지의 합계를 나타냅니다.해밀토니안은 다양한 형태를 취하며, 분석 대상 시스템의 구체적인 특성, 예를 들어 시스템의 단일 또는 여러 입자, 입자 간의 상호작용, 위치 에너지의 종류, 시간 가변 퍼텐셜 또는 시간 독립적 특성을 고려하여 단순화할 수 있습니다.

슈뢰딩거 해밀턴

일립자

고전 역학과 유추함으로써, 해밀토니안은 일반적으로 형태에서 시스템의 운동 에너지와 잠재적 에너지에 대응하는 연산자의 합으로 표현된다.

{H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}

어디에

(\displaystyle {V}}=V(\mathbf {r},t}),}

잠재적 에너지 오퍼레이터입니다.

{T}={mathbf {p}\cdot \mathbf {p} {2m}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2m}}\frac ^{2}

m

{\

displaystyle

m

}

이

m

입자의 질량이고 점은 벡터의 점곱을 나타내는

운동

에너지 연산자입니다.

(\displaystyle\hat {p}}=-i\hbar\hisplayla,}

는 모멘텀 연산자이며

,

여기서 \

displaystyle \displayla

는

\nabla

디로퍼레이터입니다.

§

{\

displaystyle \nabla}

의

\nabla

도트 곱은 라플라시안

\nabla ^{2}

{\

displaystyle \nabla

^{

2

입니다. 데카르트 좌표를 사용하는 3차원에서는 라플라시 연산자는

\displaystyle \displayla ^{2}=displayfrac {{\display x}^{2}+{\frac {\frac y}^{2}+{\frac {\frac z}^{2}}

비록 이것이 고전역학에서 해밀턴의 기술적 정의는 아니지만, 가장 일반적으로 나타나는 형태이다.이것들을 조합하면, 슈뢰딩거 방정식에 사용되는 친숙한 형태가 됩니다.

{\displaystyle {\hat {H}}&=hat {T}+{\[6pt]&=hat frac {p}\cdot \mathbf {p}{2m}+V(\mathbf {r},t})\[6pt]=frcdfrac

이는 파동함수 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ( $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ $)$ 에 의해 기술된 시스템에 해밀턴을 적용할 수 있게 해준다. (\ $displaystyle \Psi (\mathbf {r},t$ 이것은 슈뢰딩거의 파동역학의 형식주의를 이용하여 양자역학의 도입처리에서 일반적으로 채택되는 접근법이다.

또한 전자기장과 관련된 일부 변수와 같은 특정 사례에 적합하도록 특정 변수를 대체할 수 있다.

입자가 많다

형식주의는 N개 $(\displaystyle$ N $)$ $N$ 까지 $N$ 확장될 수 있습니다.

{H}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}

어디에

{V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots,\mathbf {r} _{N},t})

잠재적 에너지 기능, 이제 시스템과 시간의 공간 구성 기능(일부 순간의 특정 공간 위치 세트가 구성을 정의함) 및

{T}_{n}=snfrac {mathbf {p}_{n}\cdot \mathbf {p}_{n}}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m_{n}}}\frac _{n

는

입자

n

{displaystyle

n

n

의

\nabla _{n}

운동 에너지 연산자,

\nabla _{n}

n

\nabla _{n}

{

displaystyle

\

nabla

_ {

n

}는

\nabla _{n}^{2}

입자

n {

displaystyle

n

n

의 구배,

\nabla _{n}^{2}

\nabla _{n}^{2}

2 {

displaystyle

\

nabla

_ {

n

}^2

}

는 입자

n

의 라플라시안입니다.

\displaystyle \displayla _{n}^{2}=displayfrac {\display x_{n}^{2}+{\display y_{n}^{2}+{\frac {\display y_{n}^{2}}+{\frac z_{n}^{n}^{2}}}

이를 조합하면 N $(\displaystyle$ N $)$ 입자 $N$ $N$ 에 대한 슈뢰딩거 해밀턴이 생성됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat{T}}_{n}+{\hat{V}}\\[6pt]&, =\sum _{n=1}^{N}{\frac{\mathbf{\hat{p}}_{n}\cdot \mathbf{\hat{p}}_{n}}{2m_{n}}}+Vᆪ\\[6pt]&, =-{\frac{\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac{1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf{r}다.{1},\mathbf{r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end {aligned}}

그러나 다체 문제에서는 합병증이 발생할 수 있다.위치 에너지는 입자의 공간적 배열에 따라 달라지기 때문에 운동 에너지는 에너지를 보존하기 위한 공간적 구성에 따라 달라질 것입니다.하나의 입자에 의한 움직임은 시스템 내의 다른 모든 입자의 움직임에 따라 달라집니다.이러한 이유로 운동 에너지에 대한 교차항이 해밀턴에 나타날 수 있다. 즉, 두 입자에 대한 구배가 혼합된 것이다.

- {\frac {\hbar ^{2}} {2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j

$M$ 서 M $(\displaystyle$ M $)$ 은 $M$ 추가적인 운동에너지를 발생시키는 입자 집합의 질량을 나타냅니다.이 형태의 항은 질량 편광 항으로 알려져 있으며, 많은 전자 원자의 해밀턴에 나타납니다(아래 참조).

$N개의 상호작용$ 하는 $N$ 입자 $($ 즉, 서로 상호작용하여 다체 상황을 구성하는 입자)에서 $잠재적$ 에너지 $함수$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 는 $V$ 단순히 개별 전위의 합계가 아닙니다(차원이 잘못되었으므로 제품이 아닌 것은 확실합니다).전위 에너지 함수는 위와 같이 쓸 수 있습니다. 즉, 각 입자의 모든 공간적 위치의 함수입니다.

상호 작용하지 않는 입자, 즉 서로 상호작용하지 않고 독립적으로 움직이는 입자의 경우, 시스템의 전위는 각 ^[1]입자에 대한 개별 전위 에너지의 합이다.

{\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r}_{1},t)=V(\mathbf {r}_{1}+V(\mathbf {r}_{2})+Cdots+V(\mathbf {r}_{N}_{N})})

이 경우 해밀턴의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

{\hat {H}} {\frac {hbar ^{2}} {\sum _{i=1}^{N} {\frac {1} {m_{i}} {\sum _{i} + \sum _{i=1}^{N} V_{i}\sum _{i=6}\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end {aligned}

여기서 합계는 모든 입자와 그에 상응하는 전위를 차지합니다; 그 결과 시스템의 해밀토니안은 각 입자에 대한 개별 해밀토니안의 합입니다.이것은 이상적인 상황입니다.실제로 입자는 거의 항상 어떤 전위의 영향을 받으며 다체 상호작용이 존재합니다.이 형태가 적용되지 않는 2체 상호작용의 한 예는 하전된 입자에 의한 정전위입니다. 왜냐하면 그들은 아래 그림과 같이 쿨롱 상호작용(정전기력)에 의해 서로 상호작용하기 때문입니다.

슈뢰딩거 방정식

해밀턴족은 양자 상태의 시간적 진화를 일으킨다. $\left|\psi (t)\right\rangle$ ( $\left|\psi (t)\right\rangle$ ) " $\left|\psi (t)\right\rangle$ { $display$ \ left \ $psi$ ( $t$ ) \ $right$ \ $rangle }$ 이 $\left|\psi (t)\right\rangle$ $시각$ t { $display style$ t $}$ 의 시스템 상태일 경우,

(\displaystyle H\left \psi (t)\right\rangle = i\hbar \left \psi (t)\right \rangle )

이 방정식이 슈뢰딩거 방정식입니다.이는 해밀턴-야코비 방정식과 같은 형태를 취하며 $,$ 이것이 H(\ $displaystyle$ H $)$ 가 $H$ 해밀턴이라고도 불리는 $이유$ 중 하나입니다.초기 시점( $t=0$ $t=0$ { $displaystyle$ t $= 0$ }) $t=0$ 의 상태가 주어지면, 그 후 언제든지 상태를 얻기 위해 해결할 수 있습니다.특히 H $(\displaystyle$ H $)$ 가 $H$ 시간에 구애받지 $않는다면$

\displaystyle \left \psi (t)\right\rangle = e^{-iHt/\hbar}\left \psi(0)\right\rangle .}

슈뢰딩거 방정식의 오른쪽에 있는 지수연산자는 보통 대응하는 멱급수H(\ $displaystyle$ H)로 정의됩니다.다항식 또는 무한연산자의 멱급수를 취하면 수학적으로 의미가 없을 수 있습니다.엄밀히 말하면, 무한 연산자의 함수를 취하기 위해서는 함수 미적분이 필요하다.지수 함수의 경우, 연속형, 또는 단지 홀모픽 함수 미적분만으로 충분합니다.그러나 우리는 공통적인 계산을 위해 물리학자들의 공식화만으로도 충분하다는 것을 다시 한 번 주목한다.

함수 미적분의 *-동형 특성에 의해, 연산자는 다음과 같이 된다.

U=e^{-iHt/\hbar }

는 유니터리 연산자입니다.시간 진화 연산자 또는 닫힌 양자 시스템의 전파자입니다.해밀턴이 시간에 의존하지 않는 $\{U(t)\}$ { $\{U(t)\}$ t $)}$ {{ $displaystyle\{U($ t)\}}는 $\{U(t)\}$ 하나의 파라미터 유니터리 그룹(세미그룹 이상)을 형성하며, 이는 상세한 균형에 대한 물리적 원리를 발생시킨다.

디락 형식주의

그러나, 디락의 보다 일반적인 형식론에서, 해밀토니안은 일반적으로 다음과 같은 방법으로 힐베르트 공간에서 연산자로 구현된다.

H $(\displaystyle$ H $H$ 의 고유켓(특이벡터)은 $"\$ a $\rangle$ 을 $\left|a\right\rangle$ 힐베르트 공간에 직교 정규 기반을 제공합니다.시스템의 허용 에너지 레벨의 $\{E_{a}\}$ 은 { $\{E_{a}\}$ a $\{E_{a}\}$ { $displaystyle \{E_{$ a $\{E_{a}\}$ 로 $\{E_{a}\}$ 표시된 고유값 집합에 의해 주어지며, 방정식을 푼다.

(\displaystyle H\left a\right\rangle =E_{a}\left a\right\rangle .}

H $(\displaystyle$ H $)$ 는 $H$ 에르미트 연산자이므로 $H$ 는 항상 실수입니다.

수학적으로 엄격한 관점에서, 위의 가정에 주의를 기울여야 한다.무한 차원 Hilbert 공간의 연산자는 고유값을 가질 필요가 없습니다(고유값 집합이 연산자의 스펙트럼과 반드시 일치하지는 않음).그러나 모든 일상적인 양자 역학적 계산은 물리적 ^{[clarification needed]}공식을 사용하여 수행할 수 있습니다.

해밀턴의 표현

다음은 여러 상황에서 ^[2]해밀턴을 표현하는 식이다.식을 분류하는 일반적인 방법은 입자의 수, 차원 수 및 잠재적 에너지 함수의 특성(특히 공간과 시간의존성)입니다.질량은 m $(\displaystyle$ m $m$ 으로, 요금은 $q$ (\ $displaystyle$ q $q$ 로 표시됩니다.

하나의 입자에 대한 일반적인 형태

자유 입자

입자는 어떠한 위치 에너지에도 얽매이지 않기 때문에 전위는 0이고 이 해밀턴이 가장 단순하다.1차원의 경우:

{H}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\frac ^{2}}{\frac x^{2}

및 더 높은 차원:

({displaystyle {H}}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}}\timela ^{2}})

정전위 우물

일정한 $V=V_{0}$ V $=$ $V=V_{0}$ $($ 또는 $시간$ 에 의존하지 않음 $)$ 영역의 입자의 경우, 1차원에서 해밀토니안은 다음과 같습니다.

{H}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}{\frac {\frac ^{2}}{\frac x^{2}}+V_{0}}

입체적으로

{{displaystyle {H}}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}}\bla ^{2}+V_{0}}}

이는 기본적인 "상자 내 입자" 문제와 단계 전위에 적용됩니다.

단순 고조파 발진기

1차원의 단순한 고조파 발진기의 경우, 전위는 위치에 따라 변화합니다(시간에는 변화하지 않음).

V=black {k}{2}}x^{2}=black {m\opega ^{2}}x^{2}

여기서 발진기의 각 주파수 $\omega$ {\ $displaystyle \omega$ 유효 스프링 $상수$ k {\ $displaystyle$ k $k$ 및 $질량$ m {\ $displaystyle$ m $}$ 은 $m$ 다음을 만족합니다.

\obega ^{2}=black {k}{m}

그래서 해밀턴인은:

{H}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\frac ^{2}}+{\frac {m\oega ^{2}}{2}}x^{2}

3차원의 경우, 이것은

{H}=-{\frac {hbar ^{2}}{2m}}\frac ^{2}+{\frac {m\Omega ^{2}}{2}}r^{2}

여기서 데카르트 좌표를 사용하는 3차원 위치 $\mathbf {r}$ r $\$ 은 $\mathbf {r}$ $(x,y,z)$ ( $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ $)\$ style $(x,y,z$ 이며,

\displaystyle r^{2}=\mathbf {r}\cdot \mathbf {r}=\mathbf {r}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

해밀턴을 완전히 쓰는 것은 단순히 각 방향의 1차원 해밀턴의 합을 보여준다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{H}}&=-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}와{\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}와{\frac{\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac{m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})[6pt]&, =\left(-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}{\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}와{\frac{m\omega ^.{2}}{2}}x^{2}\right {\frac {\hbar ^{2}}{2m}{\frac {\frac y^{2}}+{\frac {m\opha ^2}}{\right}+\left {\frac {\frac ^{2}}{2m}{frac 2}{\frac }{\frac }

강성 로터

단단한 회전자(즉, 어떤 전위(예를 들어 이중 또는 삼중 화학 결합으로 인해 무시할 수 있는 진동 자유도를 가진 자유 분자와 같은)에 구속되지 않고 모든 축을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 입자 시스템)의 경우, 해밀턴식은 다음과 같습니다.

{H}}=-{\frac {hbar ^{2}}{2}I_{xx}}{\hat {J}_{x}^{2}-{\frac {hbar ^{2}}{2}I_{y}}{\hat {J}_{y}^{2}-{\frac {hbar ^{2}}{2}I_{zz}}{\hat {J}}_{z}^{2}

$I_{xx}$ 서 I $I_{xx}$ x ({ $displaystyle I_{xx$ $I_{yy}$ $I_{yy}$ (\ $displaystyle I_{$ y $I_{yy}$ $I_{zz}$ $I_{zz}$ z (\ $displaystyle I_{$ z $I_{zz}$ })는 관성 성분(기술적으로는 관성 모멘트의 대각선 요소), J ${\hat {J}}_{y}$ ^ ${\hat {J}}_{x}$ (\ $displaystyle {J$ $}_{$ $x})$ 는 ${\hat {J}}_{y}$ 모멘트입니다 $.$ $y$ 및 ${\hat {J}}_{z}$ $display$ { $J}}_{z$ $y$ 는 ${\hat {J}}_{z}$ x축 $x$ $y축$ 및 $z축$ 에 $z$ $대한$ 총 각운동량 연산자 $($ 성분)입니다.

정전 또는 쿨롱 전위

2점 $q_{1}$ $q_{1}$ 1 $({$ $q_{2}$ $q_{2}$ 2({ $displaystyle q_{2})$ 에 대한 쿨롱 전위 에너지는 (즉, 독립적으로 공간 범위가 없는 것은) 3차원으로, 전자기학에 자주 사용되는 가우스 단위가 아닌 SI 단위이다.

{{displaystyle V=sq_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0} \mathbf {r}}}

단, 이것은 다른 점으로 인한 1포인트 충전의 가능성일 뿐입니다.하전 입자가 많은 경우, 각 전하에는 다른 모든 점전하(자체 제외)에 의한 전위 에너지가 있습니다.N $(\displaystyle$ N $)$ 전하의 $경우$ 다른 모든 전하로 인한 $q_{j}$ j $(\$ $q_{j}$ 의 잠재 에너지는 다음과 같습니다(다른 점 ^[3]전하의 구성에 저장된 정전위 에너지 참조).

(\displaystyle V_{j}=sum frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r}_{i})=sum _{i\neq}{f}\pi \pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\f}{i}{f}{f}{f})

여기서 $\phi (\mathbf {r} _{i})$ ( $\phi (\mathbf {r} _{i})$ i $\phi (\mathbf {r} _{i})$ ) { $displaystyle \phi$ ( \ $mathbf$ $\mathbf {r} _{i}$ { $r$ } $_$ { $i$ $\mathbf {r} _{i}$ } )는 $\phi (\mathbf {r} _{i})$ $q_{j}$ r $\mathbf {r} _{i}$ { \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $r$ $q_{j}$ } $_$ { $q_{j}$ i $\mathbf {r} _{i}$ } 에서의 $전하q$ 의 정전위입니다 $.$ 시스템의 총 잠재력은 $\displaystyle$ j $j$

{{displaystyle V=varepsilon {1}{0}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_i}q_{j}{\mathbf {r}_{i}-\mathbf {r}}}}

그래서 해밀턴인은:

{\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{H}}&=-{\frac{\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac{1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac{1}{8\pi \varepsilon_{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{ji\neq}{\frac{q_{나는}q_{j}}{\mathbf{r}_{나는}-\mathbf{r}_{j}}}\\&, =\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac{\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac{1}{8\pi \varepsilon_{0}}}년.합 즉{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{\mathbf {r}_{i}-\mathbf {r}_{j}}\right)\\end{aligned}}}

전기장의 전기 쌍극자

균일 정전장(시간 의존) $(\$ { $E$ 에서 $규모$ q(\ $displaystyle \$ $mathbf {d$ $q$ 의 전하를 구성하는 $\mathbf {d}$ 전기 쌍극자 $\mathbf {d}$ d(\ $displaystyle$ \mathbf {d})의 경우 전위는 다음과 같습니다.

V=-\mathbf {d} \cdot \mathbf {E}

쌍극자 모멘트 자체는 연산자이다

\displaystyle \mathbf {d} =q\mathbf {r}

입자가 정지해 있기 때문에 쌍극자의 변환 운동 에너지가 없기 때문에 쌍극자의 해밀토니안은 단지 위치 에너지입니다.

{H}=-\mathbf {d}\mathbf {E}=-q\mathbf {r}\cdot \mathbf {E

자기장 내 자기 쌍극자

자기 쌍극자 ${\boldsymbol {\mu }}$ μ $(시간$ 독립형) B $($ 스타일 \ $mathbf {B$ 가 ${\boldsymbol {\mu }}$ 한 곳에 배치된 경우 전위는 다음과 같습니다.

V=-{\boldsymbol {mu }}\cdot \mathbf {B

입자가 정지해 있기 때문에 쌍극자의 변환 운동 에너지가 없기 때문에 쌍극자의 해밀토니안은 단지 위치 에너지입니다.

{H}}=-{\boldsymbol {mu }\cdot \mathbf {B

스핀-1⁄2 입자의 경우, 대응하는 스핀 자기 모멘트는 다음과 같습니다.^[4]

{\boldsymbol {mu }}_{S}=black {g_{s}e}{2m}\mathbf {S}

$g_{s}$ 서 g $g_{s}$ {\ $displaystyle g_{s}}$ 는 $g_{s}$ 스핀 자이로자기비("spin g-factor")이고 $,$ e {\ $displaystyle$ e $}$ 는 $e$ 전자 전하, $\mathbf {S}$ {\ $displaystyle \mathbf {S}}$ 는 $\mathbf {S}$ 스핀 연산자 벡터이며, 구성 요소는 Pauli 행렬입니다.

({displaystyle {H}}=blac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S}\cdot \mathbf {B})

전자장 하전 입자

스칼라 $(\displaystyle \phi$ 및 벡터 $\mathbf {A}$ A(\ $displaystyle \mathbf {A$ 로 기술되는 전자기장 내 $질량$ m(\ $displaystyle$ m $)$ 및 $m$ $(\displaystyle$ q)의 $q$ 입자는 해밀턴을 대체할 ^[1]수 있는 2개의 부품이 있습니다. $\mathbf {A}$ {\ $displaystyle \mathbf {A}$ 필드의 $\mathbf {A}$ 기여도를 포함하고 표준 정류 관계를 충족하는 표준 운동량 연산자 $\mathbf {\hat {\Pi }}$ $^$ {\ $displaystyle \mathbf {Pi }}$ 을 $\mathbf {\hat {\Pi }}$ 를) 정량화해야 합니다.

{\displaystyle \mathbf {\pi } =\mathbf {P} +q\mathbf {A} ,

$\mathbf {\hat {P}}$ 서 P $^$ {\ $displaystyle \mathbf {P}}$ 은 $\mathbf {\hat {P}}$ $($ 는) 운동량 연산자입니다.정량화 처방전에는 다음과 같은 내용이 있습니다.

(\displaystyle\mathbf\hat\pi}) =-i\hbar\hcla,}

따라서 해당 운동 에너지 연산자는

{T}={mathbf {P}\cdot\mathbf {P}}{2m}={1}{2m}\left(\mathbf {Pi}}}-q\mathbf {A}\right}{2}

and the potential energy, which is due to the $\phi$ field, is given by

{V}}=q\phi .

이 모든 것을 해밀턴에 집어넣는 것은

({displaystyle {hat {H}}=black {1}{2m}}\leftfar\hbar\bla -q\mathbf {A}\right)^{2}+q\phi .}

에너지 고유켓 퇴화, 대칭 및 보존 법칙

많은 시스템에서 두 개 이상의 에너지 고유 상태가 동일한 에너지를 가집니다.이것의 간단한 예는 자유입자로, 에너지 고유상태는 평면파를 전파하는 파동함수를 가지고 있다.이러한 평면파의 에너지는 각각 파장의 제곱에 반비례합니다. $x방향으로$ 전파되는 파형은 $y방향$ 으로 $y$ 전파되는 파형과는 다른 상태이지만 파장이 같으면 에너지는 동일합니다.이런 일이 일어나면 상태는 퇴보한다고 한다.

퇴행은 사소한 $유니터리$ 연산자U(\ $displaystyle$ U $)$ 가 해밀턴과 교신할 $U$ 때마다 발생하는 것으로 밝혀졌다.이를 확인하기 위해 $|a\rangle$ "\ $displaystyle$ a\ $rangle$ 을 에너지 고유켓이라고 가정합니다. $U|a\rangle$ {\ $U|a\rangle$ （ \ $displaystyle U$ a \ $rangle$ ）는 $U|a\rangle$ 동일한 고유값을 가진 에너지 고유켓입니다.

(\displaystyle UH a\rangle = UE_{a} a\rangle = E_{a}(U a\rangle) = H\;(U a\rangle).}

U{\ $displaystyle$ U $}$ 는 $U$ 중요하지 않기 $U$ 에 적어도 $1쌍의 {\$ {\ $displaystyle$ a $\rangle$ }와 $|a\rangle$ $U|a\rangle$ {\ $displaystyle$ U a $\rangle }$ 은 $U|a\rangle$ 별개의 상태를 나타내야 합니다.따라서 H $(\displaystyle$ H $)$ 에는 $H$ 적어도 한 쌍의 축퇴 에너지 고유 키트가 있습니다.자유입자의 경우 대칭을 생성하는 유니터리 연산자는 회전 연산자이며, 회전 연산자는 파동 함수를 일정한 각도로 회전시키면서 그 외형을 유지한다.

대칭 연산자의 존재는 보존된 관측 가능성의 존재를 의미합니다.G{\ $displaystyle$ G $}$ 를 $G$ U{\ $displaystyle$ U $U$ 의 에르미트 제너레이터로 $합니다$ .

\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})}

U $(\displaystyle$ U $)$ 가 H(\ $displaystyle$ H $H$ 와 통신하는 $U$ $경우$ G(\ $displaystyle$ G $G$ 도 $G$ 을 나타내는 것은 간단합니다.

[H,G]=0

그러므로,

(\displaystyle {\frac } {\frac t} \rangle = frac {1} {i\hbar }} \passle \psi(t) \psi(t) \rangle = 0.}

이 결과를 얻기 위해 우리는 슈뢰딩거 방정식과 그 쌍수를 사용했다.

\displaystyle \psi (t) H=-i\hbar \displaystyle \psi (t) .

따라서 관측 $G$ 한 G $(\displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 기대치는 시스템의 모든 상태에 대해 보존된다.자유입자의 경우 보존량은 각운동량이다.

해밀턴 방정식

고전 해밀턴 역학의 해밀턴 방정식은 양자 역학에서 직접적인 유사점을 가지고 있다.기본 상태 $\left\{\left|n\right\rangle \right\}$ $\left\{\left|n\right\rangle \right\}$ }(\ $displaystyle$ \left $\{\left$ n $\right\rangle \right$ 세트가 있다고 가정합니다.이러한 상태는 반드시 에너지의 고유 상태일 필요는 없습니다.단순화를 위해, 우리는 그것들이 이산적이고, 직교 정규적이라고 가정한다.

(\displaystyle \displaystyle n' n\rangle =\display_{nn'}

이러한 기본 상태는 시간과 무관하다고 가정한다.우리는 해밀턴도 시간에 의존하지 않는다고 가정할 것이다.

$시각$ t \ $displaystyle$ t $t$ , $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ ） ${\$ 、 { $displaystyle \ left$ \ $psi$ \ $left$ ( $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ t \ $right$ ) \ $right$ \ rangle $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ 에서의 시스템의 순간 상태는 다음 기본 상태에 따라 확장할 수 있습니다.

\displaystyle \psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t) n\rangle }

어디에

a_{n}(t)=\controlle n \psi(t)\rangle.

$a_{n}(t)$ $a_{n}(t)$ ( t $a_{n}(t)$ ) { $style$ a_ ${n$ }( $t)$ 은 $a_{n}(t)$ 복잡한 변수입니다.고전적인 시스템을 지정하는 위치 및 운동량 좌표와 같이 시스템 상태를 지정하는 좌표로 취급할 수 있습니다.고전 좌표와 마찬가지로, 이들은 일반적으로 시간적으로 일정하지 않으며, 시간 의존성은 시스템 전체의 시간 의존성을 야기합니다.

평균 에너지이기도 한 이 상태의 해밀턴의 기대값은 다음과 같습니다.

\displaystyle H(t)\rangle \{stackrel {mathrm {def} {=}\stackrel \psi (t) H \psi (t)\rangle =\sum _ {n'}a _ {n'}^{*}a _ {n}\controlle n'H\rangle }

여기서 마지막 단계는 기본 상태의 $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ 에서 $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ ( $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ ) ${\$ \ $displaystyle \$ left \ $psi$ \ $left ( t$ \ $right$ ) \ $right$ \ $rangle }$ 을 $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ 확장하여 구했다.

$a_{n}(t)$ 에는 실제 부분과 가상의 부분이 있기 때문에 각 n $(\displaystyle a_{n}(t$ ))은 $a_{n}(t)$ $a_{n}(t)$ 로 두 개의 독립된 자유도에 해당합니다.이제 다음 트릭을 수행합니다.실제 및 가상 부분을 독립 변수로 사용하는 대신 $a_{n}(t)$ $)$ { $displaystyle a_{n}(t$ )} 및 $a_{n}(t)$ 그 $a_{n}^{*}(t)$ 켤레 $a_{n}^{*}(t)$ $a_{n}^{*}(t)$ $)$ { $displaystyle a_{n}^*}(t$ 를 $a_{n}(t)$ 합니다.이 독립 변수를 선택하면 부분 도함수를 계산할 수 있습니다.

{\frac \rangle }{\sum a_{n'}=\sum _{n}a_{n}\sumle n' H n' H \rangle = \si \rangle

슈뢰딩거 방정식을 적용하고 기본 상태의 직교성을 사용함으로써, 이것은 더 감소한다.

{\frac H\rangle} {\frac a_{n'} = i\hbar {\frac a_{n'} {\frac t

마찬가지로, 을 증명할 수 있다.

(\displaystyle\frac H\rangle\{n})=-i\hbar(\frac a_{n}^*}{\frac t}

"공역 모멘텀" 변수 " $\pi _{n}$ \ $displaystyle \pi$ _ { $n}$ 을 $\pi _{n}$ 정의하면 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}

그러면 위의 방정식이 된다.

{\displaystyle {\frac \pi _{n}}=frac {\frac a_{n}},\frac {\frac a_{n}=-{\frac \pi _n}} t

이는 정확히 해밀턴 방정식의 형태이며, n $(\$ 는 $a_{n}$ 일반화 좌표, $(\$ 는 $\pi _{n}$ 켤레 모멘타, $\langle H\rangle$ H $(\displaystyle\langle)$ 는 $\langle H\rangle$ 고전 해밀턴식을 대신한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.
^ Atkins, P. W. (1974). Quanta: A Handbook of Concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
^ Grant, I. S.; Phillips, W. R. (2008). Electromagnetism. Manchester Physics Series (2nd ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
^ Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (1983). Physics of Atoms and Molecules. Longman. ISBN 0-582-44401-2.

외부 링크

위키 인용문의 해밀턴(양자역학) 관련 인용문

[QuantumPhysics-1] Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-87373-X.

[2] Atkins, P. W. (1974). Quanta: A Handbook of Concepts. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.

[3] Grant, I. S.; Phillips, W. R. (2008). Electromagnetism. Manchester Physics Series (2nd ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.

[4] Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (1983). Physics of Atoms and Molecules. Longman. ISBN 0-582-44401-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
테크놀로지	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자 공학 양자 오차 보정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 배포 양자 논리 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자 도량형 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
내선번호	카시미르 효과 양자통계역학 양자장론 역사 양자 중력 상대론적 양자역학
관련된	슈뢰딩거의 고양이 대중문화에서. 양자 신비주의
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해밀턴(양자역학)

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목차

서론

슈뢰딩거 해밀턴

일립자

입자가 많다

슈뢰딩거 방정식

디락 형식주의

해밀턴의 표현

하나의 입자에 대한 일반적인 형태

자유 입자

정전위 우물

단순 고조파 발진기

강성 로터

정전 또는 쿨롱 전위

전기장의 전기 쌍극자

자기장 내 자기 쌍극자

전자장 하전 입자

에너지 고유켓 퇴화, 대칭 및 보존 법칙

해밀턴 방정식

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해밀턴(양자역학)

서론

슈뢰딩거 해밀턴

일립자

입자가 많다

슈뢰딩거 방정식

디락 형식주의

해밀턴의 표현

하나의 입자에 대한 일반적인 형태

자유 입자

정전위 우물

단순 고조파 발진기

강성 로터

정전 또는 쿨롱 전위

전기장의 전기 쌍극자

자기장 내 자기 쌍극자

전자장 하전 입자

에너지 고유켓 퇴화, 대칭 및 보존 법칙

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