단순 고조파 운동

역학과 물리학에서, 단순한 조화 운동(때로는 줄임말)은 움직이는 물체에 대한 복원력이 물체의 변위 크기에 정비례하고 물체의 평형 위치를 향해 작용하는 특별한 형태의 주기 운동이다.마찰이나 기타 에너지 소산에 의해 억제되지 않는 한, 진동은 무한히 계속됩니다.

단순한 고조파 운동은 다양한 운동에 대한 수학적 모델 역할을 할 수 있지만, 후크의 법칙에 의해 주어진 선형 탄성 복원력의 영향을 받는 스프링에서의 질량의 진동으로 대표된다.이 움직임은 시간적으로 정현파적이고 단일 공진 주파수를 나타냅니다.다른 현상은 단순한 진자의 움직임을 포함한 단순한 고조파 운동으로 모델링할 수 있지만, 정확한 모델이 되려면 진자의 끝에 있는 물체에 가해지는 순 힘은 변위에 비례해야 한다(그리고 그렇다 하더라도, 흔들림의 각도가 작을 때만 좋은 근사치이다; 작은 각도 근사치 참조).on)은 분자 진동을 모델링하는 데도 사용할 수 있다.

단순 고조파 운동은 푸리에 분석 기법을 통해 보다 복잡한 주기 운동을 특징짓기 위한 기초를 제공합니다.

서론

방향이 항상 선상의 고정된 점을 향해 있고 크기가 고정된 점으로부터의 거리에 비례하는 가속도를 가지고 직선을 따라 움직이는 입자의 움직임을 단순 조화 ^[1]운동이라고 합니다.

실제 공간과 위상 공간 모두에서 보여지는 단순한 고조파 운동입니다.궤도는 주기적이다.(여기서 속도와 위치 축은 두 개의 도표를 정렬하기 위해 표준 규칙에서 반전되었습니다.)

그림에는 스프링의 한쪽 끝에 부착된 추로 구성된 단순한 고조파 발진기가 표시되어 있습니다.스프링의 다른 한쪽 끝은 벽과 같은 견고한 지지대에 연결됩니다.시스템이 평형 위치에 정지해 있으면 질량에 작용하는 순 힘이 없습니다.그러나 질량이 평형 위치에서 변위하면 스프링은 훅의 법칙에 따르는 복원 탄성력을 발휘한다.

수학적으로 $복원력$ F는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,

여기

서 F는 스프링에 의해 가해지는 복원 탄성력(SI 단위: N),

k

는 스프링 상수(N·m⁻¹),

x

는 평형 위치(m)로부터의 변위이다.

간단한 기계적 고조파 발진기의 경우:

시스템이 평형 위치에서 벗어날 때, 후크의 법칙에 따르는 복원력은 시스템을 평형으로 되돌리는 경향이 있다.

일단 질량이 평형 위치에서 이동하면, 그것은 순회복력을 경험하게 된다.그 결과, 그것은 가속하여 평형 위치로 돌아가기 시작한다.질량이 평형 위치에 가까워지면 복원력이 감소합니다.평형 위치에서 순회복력은 사라진다.그러나 x = $0일$ 때, 복원력이 주는 가속력 때문에 질량은 운동량을 갖는다.따라서 질량은 평형 위치를 지나 계속 스프링을 압축합니다.순 복원력은 속도가 0에 이를 때까지 속도를 늦추고, 다시 평형 위치로 가속됩니다.

시스템에 에너지 손실이 없는 한 질량은 계속 진동합니다.따라서 단순한 조화운동은 주기운동의 한 종류이다.시스템에서 에너지가 손실되면 질량이 감쇠된 진동을 보입니다.

실제 공간과 위상 공간 그림이 동일 직선이 아닌 경우 위상 공간 모션이 타원형이 됩니다.둘러싸인 영역은 진폭과 최대 운동량에 따라 달라집니다.

다이내믹스

뉴턴 역학에서, 1차원 단순 고조파 운동의 경우, 일정한 계수를 갖는 2차 선형 상미분 방정식인 운동 방정식은 스프링의 질량에 대한 뉴턴의 제2법칙과 훅의 법칙에 의해 얻어질 수 있다.

F_{\mathrm {net}=m440frac {mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}=-kx,

여기

서 m은 진동하는 물체의 관성 질량,

x

는 평형(또는 평균) 위치에서의 변위,

k

는 상수(스프링의 질량에 대한 스프링 상수)입니다.

그러므로,

{\frac {d} ^{2}x} {\mathrm {d} t^{2} =-{\frac {k}{m}x,

위의 미분방정식을 풀면 정현파함수인 해법이 생성됩니다.

(\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)}

{\textstyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

서

{\textstyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

{\textstyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

.

({

textstyle \mega

=

contextrt

{

frac {k}{m}})

{\textstyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

c_{1}

({

과

c_{1}

({

의

c_{2}

의미는 쉽게 찾을 수 있습니다. 위의 방정식에서 t

t=0

({

displaystyle

t

=

0})

을

t=0

설정하면 x

x(0)=c_{1}

(

x(0)=c_{1}

x(0)=c_{1}

x(0)=c_{1}

1

({

x(0)=c_{1}

x(0)=

c_

{1})

이

c_{1}

입자의 초기

c_{1}

을 알 수 있습니다.,

c_{1}=x_{0}

c_{1}=x_{0}

=

c_{1}=x_{0}

0 ({

displaystyle c_{1

}=

x_{0

; 이 방정식의 도함수를 구하면 x

{\dot {x}}(0)=\omega c_{2}

δ (

0

c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

{\dot {x}}(0)=\omega c_{2}

{\dot {x}}(0)=\omega c_{2}

2 ({

displaystyle {x}}

= \

obmega c_{

2

{\dot {x}}(0)=\omega c_{2}

이므로,

c_{2}

2 ({

displaystyle c_{

displaystyle c_{2}}})는

c_{2}

입자의 초기속도를

c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

로 나눈

c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

이다.

§

{\

displaystyle c_

{2

}=subscfrac {v_{0

}}{\obega

c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

따라서 다음과 같이 쓸 수

c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}

.

({displaystyle x(t)=x_{0}\cos \leftrt {frac {k}{m}})+{\frac {v_{0}}{\frac {k}}}}\sin \frac {k}{m}}}}}\sin\sin\fright {frac {frac {k}{k}{m}}}\f}\frt {frc}{frac {f}}}}}}\frt {fr}}}}\f}\frt {f}\}

이 방정식은 다음 형식으로도 작성할 수 있습니다.

x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),

어디에

{{displaystyle A=sqrt {c_{1}}^{2}+{c_{2}^2}},\qquad \tan \varphi =sn \varphi {c_{1},\;\sin \varphi =sc_{2}}{A},\;\cosvarphi ={c}{c}{1},\frc},\frc},\frc},\frc},{c},\frc},{c},{c},{c},

또는 동등하게

({displaystyle A= c_{1}+c_{2}i,\qquad \varphi =\display(c_{1}+c_{2}i)}

용액에서

c

와₁₂ c는 초기조건에 의해 결정되는 2개의 상수(구체적으로

시간

t

=0

에서의 초기위치는

c

이고₁, 초기속도는

cθ 2

)이며, 원점은 평형위치로 ^[A]설정된다.각 상수는 움직임의 물리적 의미를 가집니다.

A

는 진폭(평형 위치로부터의 최대 변위),

θ

=

2µf

는 각 주파수,

θ

는 초기 ^[B]위상입니다.

미적분 기술을 사용하면 시간의 함수로서 속도와 가속도를 찾을 수 있습니다.

(\displaystyle v(t)=parc frac {mathrm {d} x} {\mathrm {d} t}}=-A\Omega \sin(\obega t-\varphi)})

속도:

(\displaystyle {\sqrt {A^{2}-x^{2}}})

최대속도:

v

=

µA

(평형점)

a(t)=syslogfrac {mathrm {d}x}{\mathrm {d} t^{2}=-A\obega ^{2}\cos(\obega t-\varphi)

최대 가속도:

Aµ 2

(극단점)

정의상 $질량$ m이 SHM 아래에 있으면 그 가속도는 변위에 정비례한다.

({displaystyle a(x)=-\obega ^{2}x})

어디에

\obega ^{2}=black {k}{m}

$ω$ = 2 $µf이므로$

f=syslogfrac {1}{2\pi}}{\syslogrt {\frac {k}{m}}

그리고, 이후 T=.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체.}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/f이 T는 시간 시대.

(\displaystyle T=2\pi\frac {m}}).}

이러한 방정식은 단순한 고조파 운동이 등시성임을 나타냅니다(주기와 주파수는 운동의 진폭 및 초기 위상과 독립적입니다).

에너지

$θ$ 를² k $/ m$ 로 대체하면 시간 $t$ 에서 시스템의 운동 $에너지$ K는 다음과 같다.

K(t)=mvtfrac {1}{2}(t)=mvtfrac {1}{2}}m\obega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi)=440tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\obega t-\varphi),

잠재적인 에너지는

U(t)=tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)=tfrac {1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t-\varphi).

마찰 및 기타 에너지 손실이 없는 경우 총 기계적 에너지는 일정한 값을 가집니다.

(\displaystyle E=K+)U=bsqtfrac {1}{2}}kA^{2}.}

예

스프링-질량계는 단순한 고조파 운동을 한다.

다음 물리적 시스템은 단순한 고조파 발진기의 몇 가지 예입니다.

스프링의 질량

스프링 $상수$ k의 스프링에 부착된 $질량$ m은 폐공간에서 단순한 고조파 운동을 나타낸다.기간을 기술하는 방정식

({displaystyle T=2\pi}{frac {m}}})

는 진폭이 실제로는 작아야 하지만 진동 주기는 진폭과 무관함을 나타냅니다.위의 방정식은 질량에 추가 일정한 힘이 가해지는 경우, 즉 추가 일정한 힘이 진동 주기를 변경할 수 없는 경우에도 유효합니다.

균일한 원운동

단순한 고조파 운동은 균일한 원형 운동의 1차원 투영으로 간주할 수 있다.물체가 xy 평면의 원점을 중심으로 $반지름$ r의 원을 중심으로 각속도 $θ$ 로 움직이면 각 좌표에 따른 움직임은 $진폭$ r과 각 주파수 $θ$ 를 갖는 단순한 고조파 운동이다.

진동 운동

그것은 물체가 일정한 점 주위를 왔다 갔다 할 때의 움직임이다.이러한 유형의 운동은 진동 운동 또는 진동 운동이라고도 불립니다.기간은 다음 방법으로 계산할 수 있습니다.

(\displaystyle T=2\pi\frac {l}{g}})

여기서 l은 SHM을 통과하는 물체의 회전으로부터 질량 중심까지의 거리이고 g는 중력장 상수이다.이것은 매스 스프링 시스템과 유사합니다.

단순 진자의 질량

진자가 진동이 작을 경우 진동하지 않는 진자의 운동은 단순한 고조파 운동과 비슷합니다.

소각근사에서는 단순진자의 운동을 단순조화운동으로 근사한다.중력 $가속도$ g{\ $displaystyle$ g $}$ 의 $g$ $길이$ l의 진자에 부착된 질량의 주기는 다음과 같다.

(\displaystyle T=2\pi\frac {l}{g}})

이는 진자의 진동 주기는 진자의 진폭과 질량과 무관하지만 중력에 의한 $가속도$ g $(\displaystyle$ g $g$ 와는 무관하므로 달의 중력장 강도가 낮아 같은 길이의 진자가 더 느리게 흔들린다는 것을 보여준다.g $(\displaystyle$ g $)$ $g$ 은 $g$ 지표면에 따라 약간 다르기 때문에 시간 주기는 장소에 따라 약간 다르며 해수면 높이에 따라 달라집니다.

각도 $가속도$ α에 대한 식은 변위 각도의 사인(sine)에 비례하기 때문에 이 근사치는 작은 각도에서만 정확합니다.

(\displaystyle -mgl\sin \theta = I\alpha , )

여기

서 나는 관성의 순간이다.

is

가 작으면 sin

θ

≈

and

therefore therefore therefore

therefore

therefore therefore therefore therefore when when when when when

-mgl\theta =I\alpha

이것은 각가속도를

θ

에 정비례하게 하여 단순한 고조파 운동의 정의를 만족시킨다.이것은 순력이 평균 위치로부터의 변위에 정비례하고 항상 평균 위치로 향할 때 발생하는 단순한 조화 운동이다.

스카치 요크

스카치 요크 기구는 회전 운동과 선형 왕복 운동 사이에서 변환할 수 있다.직선운동은 슬롯의 형태에 따라 다양한 형태를 취할 수 있지만, 일정한 회전속도의 기본 요크는 단순한 형태의 조화로운 직선운동을 만들어낸다.

스카치 요크 애니메이션

고드윈 엠마뉴엘로부터

참고 항목

메모들

^
이 방정식에서 코사인 사용은 관례입니다.기타 유효한 공식은 다음과 같습니다.
${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right',)$ 어디에 $\displaystyle \tan \varphi ' = scfrac {c_{1} } {c_{2}} }$
$왜냐하면$ cos = $sin ($ sin $/ 2$ $- θ$ )이기 때문이다.
^
최대 변위( $즉 max$ , 진폭) x는 cos $(θt \pm θ$ ) = $1일$ 때 발생하며, 따라서 $x$ = $A일 max$ 때 발생합니다.

레퍼런스

^ "Simple Harmonic Motion – Concepts".

Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.
Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, New Jersey: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

외부 링크

[cnote_A] 
이 방정식에서 코사인 사용은 관례입니다.기타 유효한 공식은 다음과 같습니다.
${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right',)$ 어디에 $\displaystyle \tan \varphi ' = scfrac {c_{1} } {c_{2}} }$
$왜냐하면$ cos = $sin ($ sin $/ 2$ $- θ$ )이기 때문이다.

[cnote_B] 
최대 변위( $즉 max$ , 진폭) x는 cos $(θt \pm θ$ ) = $1일$ 때 발생하며, 따라서 $x$ = $A일 max$ 때 발생합니다.

[1] "Simple Harmonic Motion – Concepts".

[1]

[A]

[B]

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