그룹 구성표

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 집단 체계는 알헤브로-지오메트리 객체의 일종으로 구성 법칙을 갖추고 있다.집단 체계는 자연스럽게 체계의 대칭으로 발생하며, 모든 대수 집단이 집단 체계의 구조를 가지고 있지만, 집단 체계가 반드시 한 분야에 걸쳐 연결되거나, 매끄러워지거나, 정의되는 것은 아니라는 점에서 대수 집단을 일반화한다.이 특별한 일반성은 더 풍부한 극소수의 구조를 연구할 수 있게 해주며, 이것은 산술적으로 중요한 문제를 이해하고 답하는 데 도움을 줄 수 있다.집단 체계의 범주는 모든 동형체에는 알맹이가 있고, 품위 있는 변형 이론이 있기 때문에 집단 체계의 범주보다 다소 더 잘 행동한다.대수집단이 아닌 집단 체계는 갈루아 표현과 모듈리 문제의 맥락에서 나오기 때문에 산술 기하학과 대수 위상에 중요한 역할을 한다.집단 구성 이론의 초기 발전은 1960년대 초 알렉산더 그로텐디크, 미셸 레이노, 미셸 드마주레 덕분이었다.null

정의

그룹 체계는 섬유 제품과 일부 최종 개체 S를 포함하는 체계의 범주에 있는 그룹 개체다.즉, 등가 데이터 세트 중 하나가 장착된 S-scheme G이다.

• 모피즘 μs: G _S× G → G, e: S → G, :: G → G의 세 가지 형태변환성 μs, ID, 역공리의 일반적인 호환성을 만족한다.
• S에 대한 계획에서 그룹 범주에 이르는 펑터(functor)로 구성되는 건망증이 있는 펑터(functor)는 요네다 임베딩에 따른 G에 해당하는 프리슈프와 동일하다(참조: 그룹 펑터).

집단 체계의 동형성은 곱셈을 존중하는 체계의 지도다.이것은 지도 f가 fμ = μ(f × f) 등식을 만족한다고 말하거나, f는 계략에서 집단으로(세트만 하는 것이 아니라) 펑터의 자연스러운 변형이라고 말함으로써 정확하게 표현할 수 있다.null

체계 X에 대한 그룹 체계 G의 왼쪽 작용은 S-scheme T에 대해 설정된 X(T)에 그룹 G(T)의 왼쪽 동작을 유도하는 형태론 G ×_S X→ X이다.올바른 행동은 유사하게 정의된다.어떤 집단 체계는 곱셈과 결합에 의한 그것의 기본 체계에 대한 자연적인 좌우 행동을 인정한다.결합은 자동화에 의한 작용으로, 즉 그룹 구조와 교감하며, 이는 리 대수, 좌상변동 미분 연산자의 대수 등 자연적으로 파생된 물체에 대해 선형 작용을 유도한다.null

S-그룹 체계 G는 그룹 G(T)가 모든 S-schemes T에 대한 아벨 그룹인 경우에 대응된다.사소한 행동을 유도하는 결합이나, 역행 지도 ι 집단계획 오토모르피즘 등 몇 가지 등가 조건이 있다.null

시공

• 그룹 G를 주어 일정한 그룹 체계 G를_S 형성할 수 있다. 하나의 체계로서, S의 복사본의 분리 결합이며, G의 요소와 함께 이들 복사본의 식별을 선택함으로써, 구조의 수송에 의한 곱셈, 단위, 역지도를 정의할 수 있다.Functor로서, 그것은 그룹 G의 복사본의 상품에 어떤 S-scheme T를 가져간다. 여기서 복사본의 수는 T. G의_S 연결된 구성품의 수와 같다. G가 유한한 그룹인 경우에만 S에 붙는다.그러나, 기초 집단과 갈루아 표현에 관한 연구나 기본 집단 체계의 이론에 나타나는 확실한 집단 체계의 획득을 위해 유한한 상수 집단 체계의 투영적 한계를 취할 수 있으며, 이것들은 무한형의 부속이다.보다 일반적으로 S에 있는 국소 상수 그룹 조각을 취함으로써, 사람들은 국소 상수 그룹 구조를 얻는데, 이 구조를 위해 베이스의 모노드로미가 섬유에 비종속적인 자동화를 유도할 수 있다.
• 계략의 섬유 생산물의 존재는 여러 가지 구조를 만들 수 있게 한다.그룹 체계의 유한한 직접 생산물은 표준적인 그룹 체계의 구조를 가진다.자동화에 의해 한 그룹 체계가 다른 그룹 체계에 작용하는 경우, 일반적인 설정-이론적 구조를 따름으로써 반간접적 제품을 형성할 수 있다.그룹 체계의 동형성의 낟알은 기초로부터 단위 지도 위로 섬유 제품을 가져감으로써 그룹 체계에 해당한다.기본 변경은 그룹 구성표를 그룹 구성표에 전송한다.
• 집단 체계는 결과적인 functor의 대표성을 보장하기 위해 충족되어야 하는 미세한 조건이 필요하지만, 기본 체계의 일부 형태주의에 관하여 스칼라를 제한함으로써 더 작은 집단 체계로부터 형성될 수 있다.이 형태론이 한정된 영역 확장을 따라 있을 때, 그것은 Weil 제한으로 알려져 있다.
• 어떤 아벨 그룹 A의 경우, 각 S-scheme T에 대해 D(A)(T)를 A에서 O의_T 변위 불가능한 전역 섹션으로 설정함으로써 펑터로서 정의되는 해당 대각선 가능한 그룹 D(A)를 형성할 수 있다.S가 아핀이면 그룹 링의 스펙트럼으로 D(A)를 형성할 수 있다.보다 일반적으로는 A를 S에 있는 아벨 그룹들의 일정하지 않은 조각이 되게 함으로써 승법형의 집단을 형성할 수 있다.
• 그룹 구성표 G의 부분군 구성표 H의 경우 S-scheme T에서 G(T)/H(T)를 취하는 펑터(functor)는 일반적으로 피복이 아니며, 피복도 일반적으로 계획으로 나타낼 수 없다.그러나 H가 유한하고 평탄하며 G로 마감된 경우, 그 지수를 나타낼 수 있으며, 번역에 의한 표준 좌 G-행동을 인정한다.이 작용의 H에 대한 제약이 사소한 것이라면 H는 정상이라고 하며, 지분법은 자연집단법을 인정한다.대표성은 H가 G에서 닫히고 둘 다 우호적일 때와 같은 많은 다른 경우에서 유지된다.^[1]

예

• 승수 그룹 G는_m 기본 계획으로 구멍이 난 아핀 라인을 가지고 있으며, 펑터로서 S-scheme T를 구조물의 변위 불가능한 전역 섹션의 승수 그룹에 보낸다.정수와 연관된 대각선 가능한 그룹 D(Z)로 설명할 수 있다.스펙 A와 같은 아핀 베이스 위에, 그것은 링 A[x,y]/(xy - 1)의 스펙트럼으로, A[x, x⁻¹]라고 쓰여 있다.그 부대 지도 하나에 x를 보냄으로써 주어진다, 곱셈 x ⊗)x을 보내면서에서 역 것이다 x−1에 x를 보냄으로써 주어진다 주어진다.대수 가환 군 계획의 중요한 클래스 국내 S에 있는 것의 속성에 의해 정의된를 형성하 tori Gm의 사본이나 증식력이 있는 형식의 집단 유한 genera에 관련된 제품.테드 프리 아벨 그룹
• 일반 선형군 GL은_n 아핀 대수적 품종으로 n by n 매트릭스 링 품종에서 n의 승수군으로 볼 수 있다.functor로서, 그것은 T의 전역 섹션인 n 매트릭스에 의한 변환 불가능한 n 그룹에 S-scheme T를 보낸다.아핀 베이스 위에 결정 인자의 역직성을 이상적인 인코딩으로 하여 n² + 1 변수의 다항 링의 인수로 구성할 수 있다.또는 순서 쌍의² 상호 역행 행렬을 설명하는 관계를 사용하여 2n 변수를 사용하여 구성할 수 있다.
• 임의의 양의 정수 n에 대해, 그룹 μ는_n G에서_m 그 자체로 n번째 파워 맵의 커널이다.functor로서, 그것은 어떤ⁿ S-scheme T도 f = 1과 같은 T의 글로벌 섹션 f 그룹에 보낸다.규격 A와 같은 부속물 베이스 위에, 그것은 A[x]/(x-1ⁿ)의 스펙트럼이다.n이 베이스에서 되돌릴 수 없는 경우, 이 계획은 원활하지 않다.특히 특성 p의 분야에서는 μ가_p 매끄럽지 않다.
• 첨가제 그룹 G는_a 아핀 선 A를¹ 기본 구조로 가지고 있다.functor로서, 그것은 S-scheme T를 구조물의 전지구적 섹션의 기초적 첨가물 그룹에 보낸다.스펙 A와 같은 아핀 베이스 위에, 다항 링 A[x]의 스펙트럼이다.단위 지도는 x를 0으로 전송하여 주고, 곱셈은 x를 1 + x + x 1 1로 전송하여 주고, 역은 x를 -x로 전송하여 준다.
• 일부 소수 p에 대해 p = S in S에서 p = 0이면 pth 파워를 취하면 G의_a 내형성을 유도하고, 낟알은 집단 체계 α이다_p.규격 A와 같은 부속물 베이스 위에, 그것은 A[x]/(x^p)의 스펙트럼이다.
• 아핀 라인의 자동형 집단은 G_a by G의_m 반간접 생산물에 이형성인데, 여기서 첨가 집단은 번역에 의해 작용하고, 승법 집단은 확장에 의해 작용한다.선택된 기준점을 고정하는 부분군은 승법군과의 이형성이며, 기준점을 가법군 구조물의 정체성으로 삼는 것은_a G의 자동성 그룹과 G를_m 식별한다.
• 점(즉, 타원 곡선)이 표시된 매끄러운 속 하나의 곡선은 그 점을 정체성으로 하는 독특한 집단 구성 구조를 가지고 있다.이전의 양차원 예와 달리 타원곡선은 투영적이다(특히 적절하다).

기본 속성

G가 필드 k에 걸쳐 유한한 유형의 그룹 구조라고 가정한다.G를⁰ ID의 연결 구성요소, 즉 최대 연결 부분군 구조로 한다.그 다음 G는⁰ G에 의한 유한한 에스테일 그룹 체계의 확장이다. G는 고유한 최대 감소 하위 체임_red G를 가지고 있으며, 만약 k가 완벽하다면_red G는 G의 부분군 체계에 해당하는 부드러운 그룹 품종이다.지분법은 유한한 계급의 국부 링의 스펙트럼이다.null

모든 부속 그룹 체계는 역방향 Hopf 대수학의 스펙트럼이다(기본 S에 걸쳐서, 이것은 O-알지브라함의_S 상대 스펙트럼에 의해 주어진다).그룹 체계의 곱하기, 단위, 역지도는 Hopf 대수에서 콤뮬레이션, 카운티, 대척점 구조에 의해 주어진다.Hopf 대수학에서 단위와 곱셈 구조는 기초 체계에 내재되어 있다.임의 그룹 체계 G의 경우, 전역 섹션의 링은 또한 역행 홉프 대수 구조를 가지며, 그 스펙트럼을 취함으로써 최대 부착 지수 집단을 얻는다.아핀 그룹 품종은 일반 선형 그룹의 하위 그룹으로 포함될 수 있기 때문에 선형 대수군이라고 알려져 있다.null

완전하게 연결된 그룹 체계는 어떤 의미에서 그룹 체계에 반대되는 것인데, 그 완전성은 모든 글로벌 부문들이 정확히 기초에서 철수된 부분이라는 것을 의미하고, 특히, 그들은 체계에 붙일 비독점적인 지도가 없기 때문이다.완전한 그룹 다양성(여기서는 필드 위에 유한한 유형의 축소 및 기하학적으로 불가해한 분리 구조를 의미한다)은 ID의 제트 공간에 대한 결합 작용을 포함하는 논거에 의해 자동으로 일치한다.완전한 집단 품종은 아벨 품종이라고 불린다.이것은 아벨식 계략의 개념에 일반화된다; G에서 S까지의 구조 형태론이 기하학적으로 연결된 섬유로 적절하고 매끄러우면 베이스 S에 대한 집단 체계 G는 아벨식이다. 그들은 자동으로 투영적이며, 예를 들어 기하학급장 이론과 대수 기하학 전반에 걸쳐 많은 응용을 가지고 있다.그러나, 한 분야에 걸친 완전한 그룹 체계는 상호 보완적일 필요가 없다. 예를 들어, 유한 그룹 체계는 완전하다.null

유한 플랫 그룹 체계

노메트리안 계통 S에 대한 그룹 계통 G는 O가_G 유한 계급의 국소 자유 O-모듈인_S 경우에만 유한하고 평평하다.서열은 S에서 국소 상수함수로 G의 순서라고 한다.일정한 그룹 체계의 순서는 해당 집단의 순서와 같으며, 일반적으로 순서는 스칼라의 기저 변화 및 유한한 플랫 제한과 관련하여 잘 작용한다.null

유한 플랫 그룹 체계 중에서 상수(cf. 위의 예)가 특수 계급을 형성하며, 특성 0의 대수적으로 닫힌 분야에 걸쳐 유한 그룹의 범주는 일정한 유한 그룹 체계의 범주와 동등하다.양성 특성 또는 더 많은 산술 구조를 가진 베이스 위에 추가적인 이형성 유형이 존재한다.예를 들어, 2가 베이스 위에 뒤집힐 수 없는 경우, 순서 2의 모든 그룹 체계는 일정하지만, 2의 정수에 걸쳐서₂ μ는 특별한 섬유질이 매끄럽지 않기 때문에 일정하지 않다.순서 2의 그룹 체계의 이형성 유형의 수가 임의로 크게 증가하는 고도로 래미티드된 2-adic 고리의 순서가 존재한다.p-adic 링에 대한 상호 작용 유한 플랫 그룹 체계의 보다 자세한 분석은 Raynaud의 연장 연구에서 찾을 수 있다.null

상호 작용 유한한 평면 그룹 체계는 아벨리안 및 반-아벨라니아 품종의 부분군 체계로서 자연에서 종종 발생하며, 양성 또는 혼합 특성에서는 주변 다양성에 대한 많은 정보를 포착할 수 있다.예를 들어 특성 0에 있는 타원곡선의 p-torion은 오더² p의 일정한 초등 아벨리아 그룹 체계와 국소적으로 이형적이지만, F에_p 걸쳐서 p 연결 성분(곡선이 보통인 경우)이나 하나의 연결 성분(곡선이 과대칭인 경우)을 갖는 유한 평판 그룹 체계인² 오더 p이다.우리가 타원곡선의 집단을 고려한다면, p-torion은 파라메트리징 공간 위에 유한한 평면 그룹 구조를 형성하며, 초대칭 중심은 섬유가 연결되는 곳이다.이러한 연결된 구성 요소의 결합은 모듈형 구조에서 강체 분석 공간으로 전달하여 상세하게 연구할 수 있으며, 여기서 초점들은 양의 반지름을 가진 디스크로 대체된다.null

카르티에 이중성

카르티어 이중성은 유한한 상호 교환 그룹 체계를 유한한 상호 교환 그룹 체계로 가져가는 폰트랴긴 이중성의 체계-이론적 아날로그다.null

다이우도네 모듈

양성 특성 p의 완벽한 필드 k에 대한 유한 평활 교호집단 체계는 기하학적 구조를 (반미)선형-알지브라틱 설정으로 옮겨서 연구할 수 있다.The basic object is the Dieudonné ring D = W(k){F,V}/(FV − p), which is a quotient of the ring of noncommutative polynomials, with coefficients in Witt vectors of k. F and V are the Frobenius and Verschiebung operators, and they may act nontrivially on the Witt vectors.Dieudonne과 Cartier는 "p"의 힘과 W(k) 길이가 유한한 D에 대한 모듈 사이의 유한한 상호작용 그룹 체계 사이에 범주의 반양립성을 구축했다.한 방향의 디유도네 모듈 펑터는 동형성에 의해 비트 코벡터의 아벨리안 셰이프 CW에 주어진다.이 피복은 연속적인 베르쉬에붕 지도 V: W_n → W에_n+1 따라 유한한 길이의 피복자를 직제한 다음 완성함으로써 구성되기 때문에 (사실상 그룹 체계에 의해 표현 가능한) 위트 벡터의 피복에 다소 이중적이다.대응되는 Dieudonné 모듈을 조사하면 많은 교감 그룹 체계의 특성을 알 수 있다. 예를 들어, 연결된 p-그룹 체계는 F가 영점인 D-module에 대응하고, etale 그룹 체계는 F가 이형인 모듈에 대응한다.null

디우도네 이론은 한 분야에 걸쳐 유한한 평면 그룹보다 다소 일반적인 환경으로 존재한다.오다이의 1967년 논문은 다이우돈네 모듈과 아벨리아 품종의 최초의 드 람 코호몰로지 사이에 연관성을 부여했고, 그와 거의 동시에 그로텐디크는 p-분할 그룹을 분석하는 데 사용할 수 있는 이론의 결정판이 있어야 한다고 제안했다.집단 체계에 대한 갈루아 작용은 범주의 등가성을 통해 전이되며, 갈루아 표현에 대한 관련 변형 이론은 시무라-타니야마 추측에 관한 와일스의 연구에서 사용되었다.null

참고 항목

• 불변론
• 기하불변성 이론
• GIT 지수
• 지수 쌓기
• 집단적 계획
• 그룹 구성 작업
• 그룹 스택

참조

• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962–64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xv, 564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962–64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. ix, 654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1962–64 – Schémas en groupes – (SGA 3) – vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. vii, 529.
• Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). Introduction to algebraic geometry and algebraic groups. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-85443-6.
• 베르테롯, 브린, 메싱 테오리 드 디우도네 결정체 2세
• 로몽, 변신 드 푸리에 게날리제
• Shatz, Stephen S. (1986), "Group schemes, formal groups, and p-divisible groups", in Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (eds.), Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 29–78, ISBN 978-0-387-96311-2, MR 0861972
• Serre, Jean-Pierre (1984), Groupes algébriques et corps de classes, Publications de l'Institut Mathématique de l'Université de Nancago [Publications of the Mathematical Institute of the University of Nancago], 7, Paris: Hermann, ISBN 978-2-7056-1264-1, MR 0907288
• 존 테이트, 모듈러 형태와 페르마의 마지막 정리로부터 유한한 평면 그룹 체계
• Waterhouse, William (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117