크로스 레이티오

기하학에서, 이중 비율과 조화 비율이라고도 불리는 교차 비율은 특히 투영 선상의 점 네 개의 시준점 리스트와 연관된 숫자다. 선에 A, B, C, D 4점을 부여하면, 이들의 교차 비율은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle(A,B;C,D)={\frAC {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

여기서 선의 방향은 각 거리의 부호를 결정하며 거리는 유클리드 공간에 투영된 대로 측정된다. (네 점 중 하나가 선의 무한점 점이라면, 그 점을 포함하는 두 거리는 공식에서 떨어진다.) 점 D는 정확히 4배수의 교차 비율이 -1일 경우 A와 B에 대한 C의 고조파 결합으로, 고조파 비라고 불린다. 따라서 교차 비율은 이 비율에서 네 쌍의 편차를 측정하는 것으로 간주할 수 있다. 따라서 이름인 무조화 비율을 의미한다.

교차 비율은 선형 분수 변환에 의해 보존된다. 이것은 본질적으로 4배 정도의 시준점들의 유일한 투영 불변제인데, 이것은 투영 기하학에서 그것의 중요성에 기초한다.

크로스 레이티오는 이미 유클리드(유클리드)에 의해 깊은 고대에 정의되어 있었으며, 파푸스는 그것의 주요 불침투 속성을 주목했다. 19세기에 광범위하게 연구되었다.^[1]

이 개념의 변형은 투사 평면의 4배 동시선과 리만 구면의 4배 지점에 대해 존재한다. 쌍곡 기하학의 Cayley-Klein 모델에서 점 사이의 거리는 특정 교차 비율 단위로 표현된다.

용어 및 역사

알렉산드리아의 파푸스는 자신의 컬렉션에서 십자가와 같은 개념을 암묵적으로 사용하였다. 제7권. 파푸스의 초기 사용자들은 아이작 뉴턴, 미셸 채슬스, 로버트 심슨 등이 있었다. 1986년 알렉산더 존스는 파푸스에 의해 원본을 번역한 후 파푸스의 레마들이 현대 용어와 어떻게 관련되는지 논평을 썼다.^[2]

투영 기하학에서 교차비를 현대적으로 사용한 것은 1803년 라자레 카르노가 그의 책 Géométrie de Position과 함께 시작되었다. 사용된 용어는 친밀도 Anharmonique(Fr: harmonic ratio)이다. 독일의 기하학자들은 그것을 Das Doppelverheltnis (Ger: double ratio)라고 부른다.

한 줄에 세 점을 주어, 교차 비율을 마이너스 1과 같게 하는 네 번째 점을 투영 조화 결합이라고 한다. 1847년 칼 폰 스토트는 네 번째 지점의 건설을 투구(Wurf)라고 불렀고, 이 구조를 기하학에 내재된 산수를 나타내기 위해 사용했다. 그의 던스 대수학에서는 일반적으로 공리로 간주되지만 투영 기하학에서 입증된 수치적 명제에 대한 접근법을 제공한다.^[3]

"크로스 레이티오"라는 영어 용어는 윌리엄 킹돈 클리퍼드에 의해 1878년에 도입되었다.^[4]

정의

좌표 z₁, z₂, z₃, z, z가₄ 있는 실제 선상의 구별되는 점 4배의 교차 비율은 다음과 같다.

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2}){{{{{3}-z_{2}}(z_{4}-z__{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).}$

또한 다음과 같은 점의 3배수의 2분할 비율의 "이중 비율"으로 표기할 수 있다.

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3}-z_{4}={\frac {z_{3}-z_{1}:{n2}}:\frac {z_{4}-z_{1}:{n2}}: {z_{4}-z_{4}-z_{2}}.}$

교차 비율은 일반적으로₁ z₂, z₃, z, z₄ 중 하나가 무한대일 때(${\displaystyle \mathrm{}}$when${\displaystyle );}$ ${\displaystyle (\inful );}$ 공식에서$$ 해당 두 가지 차이를 제거하여 이루어진다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle (\infty ,z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-\infty )(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-\infty )}}={\frac {(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})}}.}$

유클리드 기하학의 표기법에서 A, B, C, D가 시준점이라면 이들의 교차비는 다음과 같다.

${\displaystyle(A,B;C,D)={\frAC {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

각 거리가 선의 일관된 방향에 따라 서명되는 경우.

동일한 공식을 4개의 서로 다른 복잡한 숫자 또는 보다 일반적으로 어떤 분야의 요소에도 적용할 수 있으며, 그 중 하나가 기호 ∞인 경우에도 위와 같이 확장할 수 있다.

특성.

4개의 시준점 A, B, C, D의 교차비는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle(A,B;C,D)={\frac {AC}{CB}}}}}\\frac {AD}{DB}}}$

여기서 $A{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{B}{}}$ ${\$CB$}}$은 점 C가 선 세그먼트 AB를 나누는 비율을 설명하고, $A{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ ${\displaystyle \frac{D}{}}$ B ${\$은 점 D가 동일한 선 세그먼트를 나누는 비율을 설명한다$$$$. 그런 다음 교차 비율은 비율 비율로 나타나 선 세그먼트 AB에 대해 두 점 C, D가 어떻게 위치하는지 설명한다. 점 A, B, C, D가 구별되는 한, 교차비(A, B, C, D)는 0이 아닌 실수가 된다. 우리는 그것을 쉽게 추론할 수 있다.

• (A, B, C, D) C, D 지점 중 하나가 A, B 지점 사이에 놓여 있고 다른 지점의 위치가 없는 경우에만 < 0
• (A, B; C, D) = 1 / (A, B; D, C)
• (A, B; C, D) = (C, D; A, B)
• (A, B; C, D) ≠ (A, B; C, E) ↔ D ↔ E

크로스 레이티오 6개

4포인트는 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 방법으로 주문할 수 있지만, 주문되지 않은 2개의 쌍으로 분할하는 방법은 6가지에 불과하다. 따라서 4개의 점수는 다음과 같이 관련이 있는 6개의 서로 다른 교차점만 가질 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,(A, B;C,D)=(B,A, D,C)=(C,D, A, B)=(D,C, B,A)=\lambda \\[6pt]&,(A, B;D,C)=(B,A, C,D)=(C,D, B,A)=(D,C, A, B)={\frac{1}{\lambda}}\\[6pt]&,(A,C, B,D)=(B,D, A,C)=(C,A, D,B)=(D,B, C,A)=1-\lambda \\[6pt]&,(A,C, D,B)=(B,D, C,A)=(C,A, B,D)=(D,B, A,C)={\frac{1}{1-\lambda}}\\[6pt]&,(A,D, B, C)=(B, C;A,D)=(C,B, D,A)=(D,A, C,B)={\fr.교류{\lambda)}{\lambda }\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C,D,A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda -1}.\end{정렬}}}$

아래의 Anharmonic 그룹을 참조하십시오.

투영 기하학

교차율은 투사 선의 투사적 변환에 의해 보존된다는 점에서 투사 불변성이다.

특히, 4개의 점이 R의² 직선 L에 놓여 있다면, 그 교차 비율은 잘 정의된 수량이 된다. 왜냐하면 어떤 선에서든 원점과 척도의 선택은 교차 비율의 동일한 값을 산출하기 때문이다.

또한, 동일한 지점 Q를 통과하는 평면에서 {L_i 1 i i 4 4}을(를) 구별되는 4개의 선이 되게 한다. 그런 다음 Q를 통과하지 않는 선 L은 4개의 구별되는 점_i P에서 이 선들을 교차한다(L이 L과_i 평행하면 해당 교차점은 "무한도"에 있다). 이러한 점의 교차 비율(정확한 순서로 표시)은 L 선 선택 여부에 따라 달라지지 않으므로_i {L} 선 4-투플의 불변인 것으로 나타났다.

이는 다음과 같이 이해할 수 있다:L과 L이 Q를 통과하지 않는 두 선이라면 L에서 중심 Q를 갖는 L로 원근 변환은 L에서 L로 점의 4배인 {P_i}을(를) L에서 4배인 {P_i′}의 점의 4배인 {P′}을(를) L로 바꾼다.

따라서 선의 투영 자동화에 따른 교차 비율의 불변성은 {L_ii} 선에 있는 네 개의 콜린어 점의 교차 비율의 독립성을 (사실상) 포함하는 선의 선택으로부터 암시한다.

균일한 좌표에서의 정의

c = a + b, d = ka + b와 같은 벡터 a, b, c, d에 의해 4개의 콜린어 포인트가 균일한 좌표로 표현되는 경우, 이들의 교차 비율은 k이다.^[5]

비유클리드 기하학에서의 역할

아서 케일리와 펠릭스 클라인은 비유클리드 기하학에 대한 교차 비율의 응용을 발견했다. 실제 투영 평면에서 비경화 원뿔 C가 주어진 경우, 투영 그룹 G = PGL(3, R)의 스태빌라이저_C G는 C 내부 지점에서 전치적으로 작용한다. 그러나 점 쌍에 G의_C 작용에는 불변성이 있다. 사실, 그러한 모든 불변성은 적절한 교차 비율의 함수로서 표현할 수 있다.^{[citation needed]}

쌍곡 기하학

명시적으로 원뿔을 단위 원이 되게 한다. 단위 원 안에 있는 두 점 P, Q에 대하여. 이들을 연결하는 선이 두 점으로 원을 교차하고 X, P, Q, Y. 순서에 따라 X, P, Q. 그러면 쌍곡면의 Cayley-Klein 모델에서 P와 Q 사이의 쌍곡선 거리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽 \log \왼쪽({\frac { XQ PY}}{ XP QY }}\오른쪽)\}}$

(곡률 -1을 만들기 위해 1/2 인자가 필요하다.) 교차 비율은 투사적 변환에서는 불변하므로, 쌍곡선 거리는 원뿔 C를 보존하는 투사적 변환에서는 불변한다.

반대로, 그룹 G는 고정된 쌍곡선 거리에서 단위 디스크의 점 쌍(p, q)에 대해 전이적으로 작용한다.

후에 부분적으로 앙리 푸앵카레의 영향을 통해 원의 4개의 복잡한 숫자의 교차 비율이 쌍곡 지표를 위해 사용되었다. 원 위에 있다는 것은 네 개의 점이 뫼비우스 변환 아래 네 개의 실제 점의 이미지라는 것을 의미하며, 따라서 교차비는 실제 숫자라는 것이다. 푸앵카레 반면 모델과 푸앵카레 디스크 모델은 복합 투영 라인의 쌍곡 기하학의 두 모델이다.

이 모델들은 Cayley-Klein 지표의 예들이다.

하모닉 그룹과 클라인 4그룹

교차 비율은 다음 네 가지 표현 중 하나로 정의할 수 있다.

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=(D,C,B,A)=(D.\,}$

변수들의 순열은 다음과 같다(주기 표기법에서).

$[\displaystyle 1,\ (A,B)(C,D),\ (A,C) (B,D),\ (A,D)(B,C)]}$

우리는 4개의 변수의 순열을 4개의 변수의 함수에 대한 대칭 그룹₄ S의 작용으로 고려할 수 있다. 위의 네 가지 순열은 교차 비율을 변경하지 않고 그대로 두므로 이 작용에 따라 교차 비율의 스태빌라이저 K를 형성하며, 이는 교차 비율의 궤도에 있는$$ S $4{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{4}/K}$의 효율적인 작용을 유도한다. K의 네 순열은 S의₄ 클라인 4그룹을 실현하며, S $4{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{4}/K}$는 대칭군 S에₃ 이형이다.

따라서 4개 변수의 다른 순열은 다음과 같은 6개의 값을 주기 위해 교차율을 변경하는데, 이는 6개 요소 그룹 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$의 궤도$(\$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{정렬}}}$

λ의 함수로서 뫼비우스 그룹 PGL(2, Z)을 형성하는 함수 구성의 뫼비우스 변환의 예들이다. 6개의 변형들은 조화 집단으로₃ 알려진 하위그룹을 형성하고, 다시 S에 대해 이형성을 띤다. 그것들은 PGL(2, Z)의 비틀림 요소들이다. Namely, ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$, ${\displaystyle 1-\lambda \,}$, and ${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ are of order 2 with respective fixed points −1, 1/2, and 2 (namely, the orbit of the harmonic cross-ratio). Meanwhile, the elements ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$ and ${\displaystyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$ are of order 3 in PGL(2, Z), and each fixes both values ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$ of the "most symmetric" cross-ratio.

조화군은 group 1/ 1, λ 1 - λ에 의해 생성된다. {0, 1, ∞}에 대한 그것의 작용은 S와₃ 함께 이형성을 부여한다. 또한 언급된 6개의 뫼비우스 변환으로 실현될 수 있으며,^[6] 이는 (정수 항목으로 정의되기 때문에) 어떤 분야에서도 S를₃ 투영적으로 표현하며, 항상 충실하고/주절적이다(두 용어가 1/1로만 차이가 나지 않기 때문이다). Over the field with two elements, the projective line only has three points, so this representation is an isomorphism, and is the exceptional isomorphism ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)}$. In characteristic 3, this stabilizes the point ${\displaystyle -1=[-1:1]}$$$, which corresponds to the orbit of the harmonic cross-ratio being only a single point, since ${\displaystyle 2=1/2=-1}$. Over the field with 3 elements, the projective line has only 4 points and ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)}$, and thus the representation is 정확히 고조파 교차 비율의 스태빌라이저로, $내장{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$4 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 4$${\$displaystyle \matrm$ {$S} _{3}\hookrightarrow \matrum {S}$_${4}$는 포인트의 스태빌라이저${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}${\$displaystystyle -1}$이다$.$

예외 궤도

λ의 특정 값의 경우 대칭성이 더 크므로 교차 비율에 대해 가능한 값이 6개 미만일 것이다. 이러한 λ의 값은 리만 구에 대한₃ S 작용의 고정점(위의 6개 기능에서 부여됨) 또는 동등하게 이 순열군에서 비삼각적 스태빌라이저를 가진 점에 해당한다.

첫 번째 고정점 세트는 {0, 1, ∞}이다. 그러나 점 A, B, C, D가 모두 구별되는 경우에는 교차 비율이 결코 이러한 값을 떠맡을 수 없다. 이러한 값은 좌표 쌍이 서로 접근함에 따라 한계값이다.

${\displaystyle(Z,B;Z,D)=(A,Z;C,Z)=0}$

${\displaystyle (Z,Z;C,D)=(A,B;Z,Z)=1}$

$[\displaystyle (Z,B;C,Z)=(A,Z;Z,D)=\inful.}$

두 번째 고정점 세트는 {-1, 1/2, 2.}이다. 이러한 상황은 고전적으로 고조파 교차율이라고 불리며 투영적인 고조파 결합체에서 발생한다. 실제의 경우 다른 예외적인 궤도는 없다.

복합적인 경우 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$± ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$/ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ $[\$일 때 가장 대칭적인 교차 ratio가 발생하며$,$ 이는 교차 ratio의 유일한 두 값이며, 순열의 기호에 따라 작용한다.

혁신적 접근 방식

교차 비율은 선의 투영적 변환에서 불변한다. 복잡한 투사선, 즉 리만 구의 경우 이러한 변형을 뫼비우스 변환이라고 한다. 일반적인 뫼비우스 변환은 그 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}\,\quad {\mbox{a,b,c,d\in \mbox{\mbox{\mbox{}, }}}}}$

이러한 변신은 리만 구, 뫼비우스 그룹에 작용하는 그룹을 형성한다.

십자수의 투영적 불변성은 다음을 의미한다.

${\displaystyle(f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3}),f(z_{4})=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

크로스 레이티오는 모든 뫼비우스 변환이 일반화된 원들을 일반화된 원들에 매핑한다는 사실을 반영하여 4개의 포인트가 콜린어(colinear) 또는 컨사이클릭(concyclic)일 경우에만 실제적이다.

뫼비우스 집단의 작용은 단순히 리만 구체의 구별되는 지점의 3배 집합에 대해 전이적이다: (z₂, z, z)의₃₄ 구별되는 지점의 3배 순서가 주어진다면, 그것을 3배(1, 0, ∞)에 매핑하는 독특한 뫼비우스 변환 f(z)가 있다. 이러한 변환은 (z, z₂, z, z₃₄, z)는 (f(z), 1; 0, ),)가 같아야 하고, 다시 f(z)와 같아야 하기 때문에, 우리는 cross-ratio를 사용하여 쉽게 설명할 수 있다.

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

교차율의 불변성에 대한 대안적 설명은 한 선의 투영적 변환 그룹이 번역, 동음이의 및 승법적 역전에 의해 생성된다는 사실에 근거한다. 차이점_j z - z는_k 번역에서 불변함

$z+a} 디스플레이 스타일 z\mapsto z+a}$

여기서 a는 지면 F에서 상수다. 또한, 균등화하에서는 분할 비율이 불변한다.

$bz(표시 스타일 z\mapsto bz)$

F에서 0이 아닌 상수 b에 대해 따라서, 교차 비율은 아핀 변형 하에서 불변한다.

잘 정의된 반전 매핑을 얻으려면 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

아핀 선은 무한대의 점으로 증강되어야 하며, ∞로 표시되어야 하며, 투영 선 P(F¹)를 형성해야 한다. 각 어핀 매핑 f : F → F는 그 자체로 P¹(F)를 무한대로 고정시키는 매핑으로 고유하게 확장될 수 있다. 지도 T는 0과 ∞을 교환한다. 투영 그룹은 T에 의해 생성되며, 첨부 매핑은 P¹(F)로 확장된다. 사례 F = C, 복합면에서는 뫼비우스 그룹이 된다. 크로스 레이티오는 T에도 불변하므로 P¹(F)를 그 자체로 투영하는 어떤 계획적 매핑에서도 불변한다.

동일순서설명

If we write the complex points as vectors ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}}$ and define ${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$, and let ${\displaystyle (a,b)}$ be the dot product of ${$$\displaystyle a}$과$($와) b ${\displaystyle b}$을(를) 함께 사용하면 교차비의 실제 부분이 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{ x_{23} ^{2} x_{14} ^{2}}}}$

이는 반전 ${\displaystyle x^{}}$ μ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\mu }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{}}}{}}$ 2 ${\$ x$^{\mu }\오른쪽$ 화살표${\frac {x^{}}}{{x^{}}}{$ x $^{2$

상상 부분은 반드시 ${\displaystyle \mathrm{2차원}}$ 교차 제품 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ b${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ b$=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{$1}$b_{$2}}:

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}}}}}{x_{23}}}{{2}}}:{2}}:$

링 호모그래피

교차 비율의 개념은 덧셈, 곱셈, 역행의 링 작동에만 의존한다(반지에서는 주어진 요소의 역이 확실하지는 않지만). 교차 비율에 대한 하나의 접근방식은 0, 1, 무한대로 세 개의 지정된 점을 취하는 동음이의어로 해석한다. 인버스와 관련된 제한사항 하에서, 링을 통한 투사 라인에서 링 연산을 통해 그러한 매핑을 생성할 수 있다. 네 점의 교차 비율은 네 번째 점에서의 이 동음이의 평가다.

미분-기하학적 관점

그 이론은 네 가지 점들이 가까이 다가옴에 따라 미분적분학의 양상을 띠게 된다. 이것은 슈바르츠 파생상품의 이론으로 이어지며, 보다 일반적으로 투영적인 연결고리로 이어진다.

고차원 일반화

교차 비율은 특히 공선성을 비롯한 점의 구성의 다른 기하학적 특성 때문에 더 높은 차원에 대한 단순한 방법으로 일반화되지 않는다. – 구성 공간은 더 복잡하고, 점의 구별되는 k-tuple은 일반 위치에 있지 않다.

투사선의 투사 선형 그룹은 3-변환성(다른 3개의 점에 매핑할 수 있음)이고, 실제로 간단히 3-변환성(삼중삼중삼중삼중의 고유한 투사지도가 있음)이며, 따라서 4개의 점 집합의 고유한 투사불변성이 되는 반면, 기본이 있다. 고차원의 기하학적 불변제 The projective linear group of n-space ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$ has (n + 1)² − 1 dimensions (because it is ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$ projectivization removing one dimension), but 다른 차원에서는 투사 선형 그룹이 2-transitive에 불과하다 – 세 개의 콜린어 포인트를 3개의 콜린어 포인트에 매핑해야 하기 때문이다(투사 선에서 제한되지 않음). 따라서 n개의² 고유한 불변성을 제공하는 "투사 교차 비율"이 없다.

예를 들어, 5개의 점이 원뿔을 결정하지만 6개의 일반적인 점이 원뿔에 놓여 있지 않기 때문에 원뿔에 어떤 6-tuple의 점이 있는지 여부도 투영 불변성이다. 일반적 위치에서 점의 궤도를 연구할 수 있다 - 라인에서 "일반적 위치"는 구별되는 것과 같은 반면, 상위 차원에서는 논의된 바와 같이 기하학적 고려를 필요로 한다. 그러나 위에서 나타내듯이, 이것은 더 복잡하고 덜 유익하다.

그러나 아벨-자코비 지도와 세타 함수를 이용하여 양속 리만 표면에 대한 일반화가 존재한다.

참고 항목

• 힐버트 미터법

메모들

참조

• Lars Ahlfors(1953,1966,1979) Complex Analysis, 1판, 25페이지, 2판 및 3판, 78페이지, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1.
• 빅토르 블뢰셰(2009) "야콥 슈타이너의 시스템아티스 엔트위켈룽: 고전 기하학의 절정" 수학 지능 지수 31(1) : 21–9.
• John J. Milne(1911) Cambridge University Press, History Note와 함께 Ratio 지오메트리에 관한 기초 논문.
• Dirk Struik(1953) 분석 및 투영 기하학 강의, 7페이지 애디슨 웨슬리.
• I. R. 샤파레비치 & A. 레미조프(2012) 선형 대수 및 기하학, 스프링거 ISBN 978-3-642-30993-9

외부 링크

• MathPages – Kevin Brown은 Pascal의 미스틱 헥사그램에 대한 기사에서 십자형 비율에 대해 설명한다.
• 크로스 라티오(Cross-Ratio at the Knot)
• Weisstein, Eric W. "Cross-ratio". MathWorld.
• Ardila, Federico. "The Cross Ratio" (video). youtube. Brady Haran. Archived from the original on 2021-12-12. Retrieved 6 July 2018.