원시순열군

수학에서, 비어 있지 않은 유한 집합 X에 작용하는 순열 그룹 G는 G가 X에 대해 트랜스적으로 작용하면 원시라고 불리고 G-action 보존의 유일한 파티션은 단일 집합으로 또는 X 단일 톤 집합으로 이루어진 사소한 파티션이다.그렇지 않으면 G가 전이적이고 G가 비전위적인 파티션을 보존하는 경우 G를 부정사라고 한다.

원시 순열 집단이 전이적인 반면, 모든 순열 집단이 원시적인 것은 아니다.가장 간단한 예는 칸막이를 대각선으로 보존하는 사각형의 정점에 작용하는 클라인 4그룹이다.한편, 순열 그룹이 사소한 파티션만 보존하는 경우, 2-element 세트에 작용하는 사소한 그룹의 경우를 제외하고, 전이적이다.이는 비전이성 작용의 경우 G의 궤도가 G가 보존하는 비경쟁적 파티션을 형성하거나, 그룹 작용이 사소한 경우 X의 모든 비경쟁적 파티션(X ≥ 3)이 G에 의해 보존되기 때문이다.

이 용어는 Evariste Galois에 의해 그의 마지막 편지에서 소개되었는데, 그는 갈루아 집단이 원시적인 방정식에 프랑스어 équation preiment라는 용어를 사용했다.^[1]

특성.

갈루아는 "원초적"이라는 용어를 소개한 것과 같은 편지에서 다음과 같은 정리를 기술했다.^[2]

G가 유한 집합 X에 작용하는 원시적인 해결 가능한 집단이라면, X의 순서는 소수 p의 힘이다.또한 X는 p 원소가 있는 유한장 위의 아핀 공간과 동일할 수 있으며, G는 아핀 그룹의 하위그룹으로서 X에 작용한다.

G가 작용하는 세트 X가 유한하면 그 카디널리티를 G의 정도라고 한다.

갈루아의 이 결과의 유의점은 p가 홀수 소수일 경우 p(${\displaystyle p}$- 1${\displaystyle }$)의 해결 가능한 transitive 그룹의 순서가 $p{\displaystyle (}$p - 1)의 구분자$($p${\displaystyle .}$p-${\displaystyp p(p-1$)$}}$ 사실$$ 모든 원시적 수준의 전이적 그룹은 (G에 의해 고정된 칸막이의 요소 수는 p의 구분자여야 하기 때문에),${\displaystyle }p{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle -}$1 $){\displaystyle$ p$(p-1)$는 p 요소가 있는 아핀 공간의 아핀 그룹의 카디널리티다.

따라서 p가 3보다 큰 소수인 경우 대칭 그룹과 도 p의 교번 그룹은 p (${\displaystyle }p{\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$) .${\displaystyle p(p-1$)보다 크기 때문에 해결할 수 없다$.$$}}$ 아벨-루피니 정리는 이것과 대칭 갈루아 집단을 가진 다항식이 있다는 사실에서 비롯된다.

원시성의 동등한 정의는 G의 모든 전이 작용이 G의 최대 부분군 H에 대해 코스메트의 G/H 설정에서 G의 표준 작용에서 발생하는 작용에 이형성이라는 사실에 의존한다. 그룹 작용은 G의 최대 부분군 H에 대해 G/H에 이형성이면 원시적이고, 그렇지 않으면 임형성이 있다(있는 경우).H가 적절한 부분군인 G의 적절한 부분군 K).이러한 충동적인 행동은 유도된 표현의 예들이다.

1937년 로버트 카마이클은 소학도의 원시 집단의 수를 다음과 같이 말했다.

정도	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	OEIS
숫자	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	A000019

학위 16의 원시 집단이 많이 있다.카마이클이 지적하듯이,^{[pages needed]} 대칭과 교대 그룹을 제외한 이들 그룹은 모두 2-element 유한장 상공의 4차원 공간에 있는 아핀 그룹의 하위 그룹이다.

예

• 세트 $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X=\{1,2,3\}$에 작용하는$$ 대칭 그룹 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 순열을 고려하십시오.

${\displaystyle \eta ={\pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}.}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$와$$and {\$displaystyle \eta}$에 의해 생성된 그룹은 모두 원시적이다$$.

• 이제 대칭 그룹 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 세트${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2,3}$, ${\displaystyle 4\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$와 순열 {\displaystyle \} {\displaystyle \{1,2,4$\}}$

${\displaystyle \pmatrix}{\pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}.}$

The group generated by ${\displaystyle \sigma }$ is not primitive, since the partition ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ where ${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$ and ${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$ is preserved under ${\displaystyle \sigma }$, i.e. ${\displaystyle \sigma (X_{}}$${\displaystyle 1_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$및$$ $\sigma {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$

• 모든 상위 계층은 원시적이다.
• The symmetric group ${\displaystyle S_{n}}$ acting on the set ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ is primitive for every n and the alternating group ${\displaystyle A_{n}}$ acting on the set ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ is primitive for every n > 2.

참고 항목

• 블록(permutation group 이론)
• 요르단의 정리(대칭군)
• 오난-스콧 정리(O'Nan-Scott)는 유한한 원시 집단을 다양한 유형으로 분류한 것이다.

참조

• 로니 두갈, 콜바 M2500도 미만의 원시 순열 그룹, 대수학 저널 292(2005), 1번, 154–183.
• GAP 데이터 라이브러리 "Primitive Permution Groups".
• Carmichael, Robert D, 유한 질서의 그룹 이론 소개.1937년 보스턴의 긴1956년 뉴욕 도버 출판사에서 재인쇄.
• Todd Rowland. "Primitive Group Action". MathWorld.