방랑 세트

역동적인 체계와 에고다이컬 이론이라고 불리는 수학의 그 분야들에서, 방황 집합의 개념은 그러한 시스템 안에서 움직임과 혼합에 대한 어떤 생각을 공식화한다.역동적인 시스템이 0이 아닌 측정의 방황 세트를 가지고 있을 때, 그 시스템은 소멸된 시스템이다.이것은 푸앵카레 재발 정리의 사상이 적용되는 보수적 체제와는 정반대다.직관적으로, 방황 세트와 방탕 사이의 연결은 쉽게 이해된다: 만일 위상 공간의 일부가 시스템의 정상적인 시간 진화 동안 "떠돌아다니다" 그리고 다시는 방문되지 않는다면, 시스템은 소멸된다.방랑 집합의 언어는 방산계라는 개념에 정확하고 수학적 정의를 내리는 데 사용될 수 있다.위상공간에서 유랑세트의 개념은 1927년 버크호프에 의해 도입되었다.^{[citation needed]}

유랑 포인트

방랑 세트에 대한 일반적인 이산 시간 정의는 위상학적 공간 X의 지도$$ $f{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to$ X$}$로 시작한다.점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$은(는) x의 인접 U와 양의 정수 N이 있는 경우 유랑점이라고 하며$$ 모든 > N ${\displaystyle n>$에 대해 반복된 지도가 다음과 같이 교차되지 않는다.

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing.}$

핸더리 정의에서는 교차로에 0이 측정되어야 한다.정확히 말하면, 이 정의는 $X$가 측정 공간이어야 한다$.$ 즉, 보렐의 3중$({\displaystyle X}$,$$${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\$$displaystyle$ $(X$$,\$$Sigma$ $,\$$mu$ $)}$의 일부분이다$.$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

모든 > ${\displaystyle n>N$에 대해 마찬가지로 연속 시간 시스템에는 지도 $map{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:$$X\to X}$은(는) 시스템의 시간 진화 또는 흐름을 정의하며$$, 시간 진화 $연산자{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \$varphi $}$은(는) X:

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\barphi _{s}.}$

이러한 경우 방황 지점 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle x\in$ X$}$은(는) 인접 U와 시간 T를 가지며$$, 시간 T는 항상 t> ${\displaystyt t>T$ 시간 진화된 지도가 0:

$\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

이러한 단순한 정의는 위상학 집단의 집단행동에 완전히 일반화될 수 있다.$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \sigma }$ ,${\displaystyle }$μ ) ${\displaystyle \Oomega =(X$,\$Sigma$,\$mu )}$은 측정 공간, 즉 보렐 하위 집합에 정의된 측정값의 집합이다$$.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$을(를) 해당 세트에 대해 활동하는 그룹이 되도록 하십시오$$.점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle x\in \Oomega$ 집합

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

점 x의 궤적 또는 궤도라고 불린다.

원소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle x\in \Oomega}$에 x의 근린 U와 $identity{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 근린 V가 존재하여 다음과 같이$$ 유랑지점이라고 한다.

$\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\오른쪽)=0}$

모든 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \in }$ -${\displaystyle }$- ${\displaystyle V}${\$displaystyle \gamma \in \Gamma -V$에 대해.

비파괴점

뒤처지지 않는 점은 그 반대다.이산형 사례에서 x${\displaystyle \mathrm{containing}}$ X ${\displaystyle$ x$\in X}$은(는) x를 포함하는 모든 오픈 세트 U와 모든 N > 0에 대해 다음과 같은 n > N이 있는 경우 비완전적이다$$.

$\\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

유사한 정의가 연속 시간 및 이산 및 연속 그룹 작업에 대해 따른다.

방랑 세트 및 방산 시스템

방랑 세트란 방랑 포인트를 모아 놓은 것이다.보다 정확히 말하면, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$Oomega$$}$의 부분 집합 W는 W를 측정할 수 있고$$ $if{\displaystyle \mathrm{\gamma }}$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle e}$$$${\displaystyle \}}${\$displaystyle \Gamma }$의 작용에 따른 방랑 집합이다$.$

$\displaystyle \gamma W\cap W}$

측정값 0의 집합이다.

방랑 집합의 개념은 어떤 의미에서 푸앵카레 재발 정리에서 표현된 사상과 이중적이다.방황하는 양수 집합이 존재한다면 ${\displaystyle$\${\displaystyle \mathrm{Gamma}}$$}$의 작용은 ,라고$$ 하며, 역동적인 시스템$({\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle (\Oomega ,\Gamma )}$은 소멸계라고 한다.그런 방황의 집합이 없다면 그 작용은 ,라고 하며, 그 체계는 보수적인 시스템이다.예를 들어, 푸앵카레 재발 정리가 가지고 있는 어떤 시스템도, 정의상으로는, 방황하는 일련의 양의 척도를 가질 수 없으며, 따라서 보수적인 시스템의 한 예다.

방랑 세트 W의 궤적을 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\\gamma \in \gamma W.}$

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 작용은 궤도 $W{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$가 거의$$ 모든 곳에 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oba}$과 같은 양의 측정의 방황 세트 W가 존재하는 경우라고 한다$$$.$

${\displaystyle \Oomega -W^{*}}$

측정값 0의 집합이다.

홉프 분해는 노래 이외의 변형이 있는 모든 측정 공간은 불변 보수 세트와 불변 유랑 세트로 분해될 수 있다고 명시하고 있다.

참고 항목

• 방랑 영역 정리 없음

참조

• Nicholls, Peter J. (1989). The Ergodic Theory of Discrete Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• 알렉상드르 1세다닐렌코와 세자르 E. 실바(2009년 4월 8일).Ergodic 이론: 비유동 변환; Arxiv arXiv:0803.2424 참조.
• Krengel, Ulrich (1985), Ergodic theorems, De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3