형태론

수학에서, 특히 범주론에서, 형태론은 한 수학적 구조에서 같은 유형의 다른 수학적 구조로 구조를 보존하는 지도입니다.형태론의 개념은 현대 수학의 많은 부분에서 재발합니다.집합론에서 형태론은 함수입니다; 선형 대수학에서 선형 변환; 그룹 이론에서 그룹 동형화; 분석과 위상, 연속 함수 등입니다.

범주 이론에서, 형태론은 광범위하게 유사한 아이디어입니다: 관련된 수학적 객체들은 집합될 필요가 없고, 그들 사이의 관계는 지도가 아닌 다른 것일 수 있습니다.주어진 범주의 객체들 사이의 형태는 함수 구성과 유사한 연관 연산을 허용해야 한다는 점에서 맵과 유사하게 행동해야 함에도 불구하고.범주 이론의 형태론은 동형론의 ^[1]추상화입니다.

형태론과 그것들이 정의되는 구조(대상이라고 함)에 대한 연구는 범주 이론의 중심입니다.형태론의 많은 용어들과 그것들의 기초가 되는 직관은 구체적인 범주에서 비롯되는데, 여기서 물체들은 단지 몇 가지 추가적인 구조로 설정되고 형태론은 구조 보존 기능입니다.범주 이론에서 형태론은 때때로 화살표라고도 불립니다.

정의.

범주 C는 두 개의 클래스로 구성됩니다. 하나는 객체이고 다른 하나는 형태입니다.모든 형태론과 관련된 두 가지 객체가 있습니다. 소스와 대상입니다. $X$ 에서 $Y$ 까지의 $모피즘$ f는 $소스$ X와 $대상$ Y를 갖는 모피즘이며, 일반적으로 $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ $({displaystyle$ f $\displaystyle$ X $\to$ Y} ${\textstyle X\,{\overset {f}{\longrightarrow }}\,Y,}$ X ${\textstyle X\,{\overset {f}{\longrightarrow }}\,Y,}$ ${\textstyle X\,{\overset {f}{\longrightarrow }}\,Y,}$ Y $,$ {\ $textstyle$ X $\,{\overset {f}{\longrightarrow }},Y$ 후자의 형태가 교환 다이어그램에 더 적합합니다.

많은 일반적인 범주의 경우 객체는 집합이고(종종 추가 구조와 함께) 형태론은 객체에서 다른 객체로의 함수입니다.따라서, 형태론의 근원과 대상은 각각 도메인과 코도메인이라고 불립니다.

형태론은 합성이라고 불리는 부분 이진 연산을 갖추고 있습니다.f와 g의 두 형태의 구성은 f의 대상이 g의 근원일 때 정확하게 정의되며, g∘ f (또는 때때로 단순히 gf)로 표시됩니다.g ∘ f의 소스는 f의 소스이고, g ∘ f의 목표는 g의 타겟입니다.구성은 두 가지 공리를 만족합니다.

신원: 모든 물체 X에 대해, X → X는 X 위에 동일한 모피즘이라고 불리는 모피즘_X id가 존재하며, 모든 모피즘 f: A → B에 대해 우리는 id ∘ f = f = f ∘ id를_A 가지고_B 있습니다.
연상: 모든 조성이 정의될 때마다, 즉, f의 목표값이 g의 근원이고, g의 목표값이 h의 근원일 때, h ∘ (g ∘ f ) = (h ∘ g) ∘ f

구체적인 범주(대상들이 집합되어 있고, 아마도 추가적인 구조를 가지고 있고, 형태는 구조 보존 기능인 범주)에 대해, 정체성 형태론은 단지 정체성 함수일 뿐이며, 구성은 단지 평범한 함수의 구성일 뿐입니다.

형태의 구성은 종종 교환 다이어그램으로 표현됩니다.예를들면,

X에서 Y까지의 모든 형태의 집합은 Hom(X,Y) 또는 단순히 Hom(X,Y)으로 표시되며_C X와 Y 사이의 홈 집합이라고 합니다.어떤 저자들은 Mor(X,Y), Mor(X,Y) 또는 C(X,Y)를_C 씁니다.홈 집합이라는 용어는 형태론의 집합이 집합일 필요가 없기 때문에 잘못된 이름입니다; 홈(X, Y)이 모든 물체 X와 Y에 대한 집합인 범주를 국부적으로 작은 것이라고 합니다.홈 세트가 설정되지 않을 수 있기 때문에 일부 사용자는 "홈 클래스"라는 용어를 사용하는 것을 선호합니다.

도메인과 코도메인은 사실상 형태론을 결정하는 정보의 일부입니다.예를 들어, 형태론이 함수인 집합의 범주에서 두 함수는 서로 다른 코도메인을 가지면서 순서쌍 집합(같은 범위를 가질 수 있음)과 같을 수 있습니다.두 기능은 범주 이론의 관점에서 구별됩니다.따라서 많은 저자들은 홈 클래스 홈(X, Y)이 분리되어야 한다고 요구합니다.실제로, 이것은 문제가 되지 않습니다. 왜냐하면 만약 이 분리가 유지되지 않는다면, 형태론에 도메인과 코도메인을 추가함으로써 보장될 수 있기 때문입니다. (예를 들어, 순서가 있는 삼중의 두 번째와 세 번째 구성 요소)

어떤 특별한 형태들은

단동형과 에피모피즘

형태론 f: X → Y는 모든 형태론₁ g, g₁₂: Z → X에 대해 f₂ ∘ g = f₂ ∘ g가 g = g를 의미하는₁ 경우 단형론이라고 합니다. 단형론은 줄여서 모노라고 할 수 있고,^[2] 우리는 단형론을 형용사로 사용할 수 있습니다.모피즘 f는 왼쪽 역을 가지거나, 모피즘 g: Y → X가 있으면 g ∘ f = id인_X 분할 단동형입니다.따라서 f ∘ g: Y → Y는 등전위입니다. 즉, (f ∘ ²g) = f ∘ (g ∘ f) ∘ g = f ∘ g입니다.왼쪽 역 g는 수축 ^[2]off라고도 합니다.

왼쪽 역이 있는 형태는 항상 단모형이지만, 그 반대는 일반적으로 사실이 아닙니다. 단모형은 왼쪽 역이 되지 않을 수 있습니다.구체적인 범주에서 왼쪽 역함수는 주입식입니다.따라서 구체적인 범주에서 단모형은 항상은 아니지만 종종 주입적입니다.주사가 되는 조건은 단동형이 되는 조건보다 강하지만 분할 단동형이 되는 조건보다 약합니다.

단동형에 대해, 만약 g ∘ f = g₂ ∘ f가 모든 형태₁ g, g₂: Y → Z에 대해 g = g를₂ 의미한다면₁₁, 형태 f: X → Y는 에피모피즘이라고 불립니다.에피모피즘은 줄여서 에피라고 할 수 있고,^[2] 우리는 서사시를 형용사로 사용할 수 있습니다.모피즘 f는 오른쪽 역을 가지거나 모피즘 g: Y → X가 있으면 f ∘ g = id인_Y 분할 에피모피즘입니다.오른쪽 역 g는 ^[2]off 구간이라고도 합니다.오른쪽 역을 갖는 형태는 항상 에피모피즘이지만, 에피모피즘이 오른쪽 역을 갖지 못할 수 있기 때문에 일반적으로 그 반대는 사실이 아닙니다.

단동형 f가 왼쪽 역 g로 분할되면, g는 오른쪽 역 f를 갖는 분할 에피모피즘입니다.구체적인 범주에서 오른쪽 역함수는 추정적입니다.따라서 구체적인 범주에서 에피모피즘은 항상은 아니지만 종종 주관적입니다.사영이 되는 조건은 에피모피즘이 되는 조건보다 강하지만 분할 에피모피즘보다 약합니다.집합의 범주에서 모든 추측에 구간이 있다는 진술은 선택 공리와 같습니다.

에피모피즘과 단모피즘 둘 다인 형태론을 바이모피즘이라고 합니다.

동형어

morphism f: X → Y는 f ∘ g = id와_Y g ∘ f = id와_X 같은 morphism g: Y → X가 존재하는 경우 동형이라고 합니다.만약 형태론이 왼쪽 역과 오른쪽 역을 모두 가지고 있다면, 두 역은 같고, 따라서 f는 동형이며, g는 단순히 역 off라고 불립니다.역형태론이 존재한다면, 독특합니다.역 g는 또한 역 f를 갖는 동형입니다.그들 사이에 동형이 있는 두 물체는 동형 또는 등가물이라고 합니다.

모든 동형화가 이형성인 반면, 이형성이 반드시 이형성인 것은 아닙니다.예를 들어, 교환 고리 범주에서 Z → Q는 동형이 아닌 이형성입니다.그러나, 에피모피즘과 스플릿 단동형, 또는 단동형과 스플릿 에피모피즘 모두인 모든 형태는 반드시 동형이어야 합니다.모든 이형성이 동형인 집합과 같은 범주를 균형 범주라고 합니다.

내동형과 자기동형

형태론 f: X → X(즉, 출처와 대상이 동일한 형태론)는 X의 내형론입니다.분할 내형성은 f가 g ∘ h = id로 분해 f = h ∘ g를 인정하는 경우 동일한 내형성 f입니다.특히, 범주의 카루비 외피는 모든 동일한 형태론을 분할합니다.

자기형태론은 내동형론이자 동형론인 형태론입니다.모든 범주에서 물체의 자기 형태는 항상 물체의 자기 형태 그룹이라고 불리는 그룹을 형성합니다.

예

군, 고리, 모듈 등과 같이 대수학에서 일반적으로 고려되는 대수적 구조에 대하여, 형태론은 보통 동형론이며, 동형론, 자기 동형론, 내형론, 에피모피즘, 단형론의 개념은 위에서 정의한 것과 같습니다.그러나, 반지의 경우, (예를 들어, 정수를 유리수에 포함시킬 때) 주관적이지 않은 반지의 에피모피즘이 있지만, 종종 "추상"의 동의어로 간주됩니다.
위상 공간의 범주에서, 형태론은 연속 함수이고 동형론은 동형론이라고 불립니다.동형이 아닌 비동형사체(즉, 집합의 동형사체)가 있습니다.
매끄러운 다양체의 범주에서, 형태론은 매끄러운 함수이고 동형론은 미분 동형론이라고 불립니다.
작은 범주의 범주에서 형태론은 함수입니다.
함수 범주에서 형태는 자연스러운 변환입니다.

자세한 예는 범주 이론을 참조하십시오.

참고 항목

메모들

^ "morphism". nLab. Retrieved 2019-06-12.
^ ^a ^b ^c ^d 제이콥슨 (2009), 15페이지

레퍼런스

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 이제 무료 온라인 에디션(4.2)으로 제공MB PDF).

외부 링크

"Morphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] "morphism". nLab. Retrieved 2019-06-12.

[jacobson:morphisms-2] 제이콥슨 (2009), 15페이지

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