호지 이론

수학에서, Hodge 이론은 W. V. D.의 이름을 따서 명명되었다. 호지(Hodge)는 부분 미분방정식을 이용하여 매끄러운 다지관 M의 코호몰로지 집단을 연구하는 방법이다. 주요 관찰은 M에 대한 리만계측지계를 감안할 때, 모든 코호몰로지계급은 표준적인 대표성을 가지고 있는데, 이것은 측정지표의 라플라시안 운영자 밑에서 사라진다. 그런 형식을 조화라고 한다.

이 이론은 1930년대에 호지(Hodge)에 의해 대수 기하학을 연구하기 위해 개발되었으며, 데 람 코호몰로지(De Rham cohomology)에 관한 조르주 드 람(Georges de Rham)의 연구를 바탕으로 만들어졌다. 주요 애플리케이션은 다음 두 가지 설정으로 구성된다. 리만 다지관과 칼러 다지관. Hodge의 일차적인 동기인 복잡한 투영 품종에 대한 연구는 후자의 경우를 포괄한다. 호지 이론은 특히 대수학 주기 연구와의 연결을 통해 대수 기하학에서 중요한 도구가 되었다.

호지 이론은 본질적으로 실제 숫자와 복잡한 숫자에 의존하는 반면, 수 이론에서는 질문에 적용될 수 있다. 산술적인 상황에서 p-adic Hodge 이론의 도구는 고전적인 Hodge 이론에 대한 대체적인 증명 또는 유사한 결과를 제공했다.

역사

대수 위상 분야는 1920년대에 아직 초기였다. 그것은 아직 코호몰로지 개념을 개발하지 않았고, 미분양과 위상 사이의 상호작용이 제대로 이해되지 않았다. 1928년, Ellie Cartan은 Sur les nombres de Betti des espaces de groupes closing이라는 제목의 노트를 발표했는데, 그가 차등 형태와 위상이 연결되어야 한다고 제안했지만 증명하지는 못했다. 그것을 읽자마자, 당시 학생이었던 조르주 드 람은 즉시 영감에 사로잡혔다. 1931년 논문에서 그는 지금 데 람의 정리라고 불리는 눈부신 결과를 증명했다. 스톡스의 정리에 의해, 단일한 체인을 따라 미분 형태의 통합은 어떤 콤팩트한 매끄러운 다지관 M, 이선형 쌍을 유도한다.

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R})\time H_{\text{d.R}}^{k}(M;\mathbf {R} )\\mathbf {R}에 \mathbf {R}.}$

원래 말한 바와 같이 드 럼의 정리는 이것이 완벽한 짝짓기이며, 따라서 왼쪽의 각 용어는 서로 벡터 공간 이중이라고 주장한다. 현대 언어에서, de Rham의 정리는 실제 계수를 가진 단일한 코호몰로지들이 de Rham 코호몰로지에게 이형적이라는 진술처럼 표현되는 경우가 더 많다.

${\displaystyle H_{\text{sing}^{k}(M;\mathbf {R})\cong H_{\text{d)R}}^{k}(M;\mathbf {R} )}$

드 람의 원래 진술은 푸앵카레 이원화의 결과물이다.^[1]

이와는 별도로, 1927년 솔로몬 렙체츠의 논문은 위상학적 방법을 사용하여 리만의 이론들을 재론했다.^[2] 현대 언어에서 Ω과₁ Ω이₂ 대수 곡선 C의 홀로모르픽 차이라면, 그들의 쐐기 생산물은 반드시 0이다. C는 단지 하나의 복잡한 차원만을 가지고 있기 때문이다. 결과적으로, 그들의 코호몰로지 클래스의 컵 생산물은 0이며, 이것이 명백하게 만들어졌을 때, 렙체츠에게 리만 관계에 대한 새로운 증거를 주었다. 덧붙여 Ω이 0이 아닌 홀로모르픽 차이라면$,{\displaystyle \sqrt{}}$ - ${\displaystyle 1\Omega \Omega \stackrel{}{}}$Ω의 ${\$는 양의 부피 형태로서$$, 렙체츠가 리만의 불평등을 재추상할 수 있었다. 1929년, W. V.D. 호지는 렙체츠의 논문을 알게 되었다. 그는 대수학적 표면에 유사한 원리가 적용되는 것을 즉시 관찰했다. More precisely, if ω is a non-zero holomorphic form on an algebraic surface, then ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ is positive, so the cup product of ${\displaystyle \omega }$ and ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ must be non-zero. Ω 자체는 0이 아닌 코호몰로지 클래스를 나타내야 하므로 그 기간이 모두 0일 수는 없다. 이것으로 세베리의 문제가 해결되었다.^[3]

Hodge는 이러한 기법이 더 높은 차원 품종에도 적용되어야 한다고 생각했다. 그의 동료 피터 프레이저는 데 람의 논문을 그에게 추천했다. 드 람의 논문을 읽으면서 호지는 리만 표면에 있는 홀로모픽 1형식의 실제와 상상의 부분들이 어떤 의미에서 서로 이중적이라는 것을 깨달았다. 그는 더 높은 차원에 유사한 이중성이 있어야 한다고 의심했다; 이 이중성은 현재 호지 스타 운영자로 알려져 있다. 그는 또한 각 공동유전계급이 외부 파생상품 운영자 아래에서 그것과 그것의 이중으로 소멸되는 부동산과 함께 뛰어난 대리인을 가져야 한다고 추측했다; 이것들은 이제 조화형식이라고 불린다. 호지는 1930년대의 대부분을 이 문제에 바쳤다. 그가 가장 일찍 출판한 증거물 시도는 1933년에 나타났지만, 그는 그것을 "극도의 실패"라고 여겼다. 당대 가장 뛰어난 수학자 중 한 명인 헤르만 바일은 자신이 호지의 증거가 정확한지 아닌지를 판단할 수 없다는 것을 알게 되었다. 1936년에 호지는 새로운 증거를 발표했다. 호지는 새로운 증거를 훨씬 우월하다고 여겼지만, 보넨블러스트에 의해 심각한 결함이 발견되었다. 독립적으로 헤르만 바일, 고다이라 구니히코는 호지의 증거를 수정하여 오류를 고쳤다. 이것은 조화 형태와 코호몰로지 계급 사이에 호지가 추구하는 이형성을 확립했다.

돌이켜 보면 존재 정리의 기술적 어려움은 실제로 어떤 유의미한 새로운 사상을 필요로 하지 않고, 단지 고전적인 방법의 신중한 확장만을 요구했던 것이 분명하다. 호지의 주요한 공헌이었던 진짜 참신함은 조화적 통합의 개념과 대수 기하학과의 관련성에 있었다. 테크닉에 대한 이러한 개념의 승리는 호지의 위대한 전임자 베른하르트 리만의 작품에서도 비슷한 에피소드를 연상시킨다.

—M. F. 아티야, 윌리엄 발랑스 더글라스 호지, 1903년 6월 17일 – 1975년 7월 7일, 왕립 학회 동료들의 전기적 회고록, 1976년 22권, 페이지 169–192.

실제 다지관을 위한 호지 이론

드 람 코호몰로지

호지 이론은 드 람 콤플렉스를 참조한다. M을 매끄러운 다지관이 되게 하라. 자연수 k의 경우 Ω^k(M)을 M의 도 k의 부드러운 미분 형태의 실제 벡터 공간으로 한다. 데 람 콤플렉스는 미분 연산자의 순서다.

${\displaystyle 0\to \Oomega ^{0}(M)\x오른쪽 화살표 {d_{0}\Oomega ^{1}\오메가 ^{d_{n-1}\cdots \x오른쪽 화살표 {d_{n-1}{n-1} \x오른쪽 화살표 {d_{n},}}}}$

여기서 d는_k Ω^k(M)으로 외부 파생 모델을 나타낸다. d_k+1 ∘ d_k = 0(또한 d² = 0으로 표기됨)이라는 의미에서 코체인 콤플렉스다. De Rham의 정리에서는 실제 계수를 가진 M의 단일한 코호몰리가 De Rham 콤플렉스에 의해 계산된다고 한다.

${\displaystyle H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im}d_{k-1}.}$

호지 이론의 연산자

M에서 리만 메트릭스 g를 선택하고 다음을 기억하십시오.

$\displaystyle \Oomega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k})T^{*}(M)\right.}$

The metric yields an inner product on each fiber ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))}$ by extending (see Gramian matrix) the inner product induced by g from each cotangent fiber ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ to its ${\displaystyle k^{th}}$ exterior product: $\bigwedge {\displaystyle {}^k}$(${\displaystyle T}$ p ${\displaystyle {}_{}^{}}$( M${\displaystyle }$)${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*})(M$ . 그런 다음 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle k^{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Oomega ^{k}(M)}$ 내측$$ 제품은 g와 연관된$$ 볼륨 형식 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 대해 M을 통한 특정 k-폼 쌍의 점괘 내측 제품의 적분으로 정의된다. 명시적으로, ${\displaystyle \Omega }$ ,${\displaystyle }$∈${\displaystyle {\Omega }^{}}$k (${\displaystyle M}$ )$${\$displaystyle \omega ,\tau \in \Oomega$^{$k}(M)}$을(를) 지정하면$$,

$\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega,\tau \langle \angle \omega :=\int_{M}\langle \langle \omega(p)\langle _{p}\sigma .}$

당연히 위의 내부 제품은 규범을 유도한다. 규범이 어떤 고정된 k-형태에 한정되어 있을 때:

$\displaystyle \langle \omega,\omega \angle =\ \ \omega \ ^{2}<\infully ,}$

그 다음 통합은 M에서 점-현상 규범을 통해 주어진 지점에서 평가되는 실제 가치의 사각형 통합 기능이다.

$\displaystyle \\omega(p)\ _{p:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M)}$

이러한 내부 제품에 대해서는 d의 조정 연산자를 고려하십시오.

$\displaystyle \delta :\Oomega ^{k+1}(M)\to \Oomega ^{k}(M).}$

그 다음에 형태에 관한 라플라시안(Laplacian)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$

이것은 2차 선형 미분 연산자로, R의ⁿ 기능에 대한 라플라시안(Laplacian)을 일반화한다. 정의에 따르면, M의 형태는 그것의 라플라크가 0이면 조화롭다.

${\displaystyle {\mathcal{H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\\Alpha \in \Oomega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}}}$

라플라시안은 수학물리학에 처음 등장했다. 특히 맥스웰 방정식은 진공에서 전자기 전위는 외부 파생상품 dA = F를 갖는 1형식 A라고 하며, 여기서 F는 ΔA = 0 on spacetime, 치수 4의 Minkowski 공간으로 보는 것과 같은 전자기장을 나타내는 2형식이다.

Every harmonic form α on a closed Riemannian manifold is closed, meaning that dα = 0. As a result, there is a canonical mapping ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )}$. 호지 정리에는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 벡터 공간의 이형성이라고 명시되어 있다.^[4] 즉, M의 각 실제 코호몰로지 클래스는 독특한 조화 대표성을 가지고 있다. 구체적으로는 고조파 대표자는 주어진 코호몰로지 클래스를 나타내는 최소 L 규범의² 고유한 폐쇄형이다. 호지 정리는 1940년대에 고다이라 등에 의해 완성된 호지의 초기 주장과 함께 타원적 부분 미분 방정식 이론을 이용하여 증명되었다.

예를 들어, 호지 정리는 닫힌 다지관의 실제 계수를 가진 코호몰로지 집단이 유한한 차원임을 암시한다. (적용, 이를 증명할 다른 방법이 있다.) 실제로 연산자 Δ는 타원이고, 닫힌 다지관의 타원 연산자의 낟알은 항상 유한차원 벡터 공간이다. 호지 정리의 또 다른 결과는 닫힌 다지관 M의 리만 메트릭스가 M 모듈로 토션의 적분 코호몰리온에 대한 실제 가치의 내적 산출물을 결정하는 것이다. 예를 들어 일반 선형 그룹 GL(H^∗(M, Z))에서 M의 등측도 그룹의 이미지는 유한하다(격자의 등측도 그룹은 유한하기 때문이다).

호지 정리의 변형은 호지 분해다. 이것은 닫힌 리만 다지관의 어떤 미분형 Ω의 독특한 분해가 형태상의 3부분의 합으로 존재한다는 것을 말한다.

${\displaystyle \omega =d\build +\buildren \buildren,}$

여기서 γ은 고조파: Δ = = 0.^[5] 차등 형태에 대한 L² 메트릭의 관점에서, 직교 직계 합 분해는 다음과 같다.

${\displaystyle \Oomega ^{k}(M)\cong \operatorname {im}d_{k-1}\oplus \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}{\delta ^{k}(M)}}$

호지 분해는 드 람 콤플렉스에 대한 헬름홀츠 분해의 일반화다.

타원 복합체의 호지 이론

아티야와 보트는 타원형 콤플렉스를 드 람 콤플렉스의 일반화로 정의했다. 호지 정리는 다음과 같이 이 설정으로 확장된다. E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 볼륨 폼 dV로 닫힌 매끄러운 다지관 M에 메트릭을 장착한 벡터 번들로 한다$$. 라고 가정해 보자.

${\displaystyle L_{i}:\감마(E_{i})\to \감마(E_{i+1})로$

이러한 벡터 번들의 C 섹션에^∞ 작용하는 선형 미분 연산자 및 유도 시퀀스

${\displaystyle 0\to \Gamma(E_{0})\to \Gamma(E_{1})\cdots \to \Gamma(E_{N})\to 0}$

타원형 콤플렉스다. 직접 합계 소개:

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {E}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\i}\\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}^{\bullet }\to {\mathcal {E}^{\bullet }\ended}}}}$

L을^∗ L의 부호로 한다. 타원 연산자 Δ = LL^∗ + LL을^∗ 정의한다. 드 람 사례에서와 같이, 이것은 조화 섹션의 벡터 공간을 산출한다.

${\displaystyle {\mathcal{H}=\{e\in {E}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}}}$

$H{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$→ H ${\$까지 직교 투영으로 하고$$ G를 Δ의 그린 연산자로 한다. 그러면 호지 정리는 다음과 같은 주장을 펼친다.^[6]

1. H와 G는 정리가 잘 되어 있다.
2. ID = H + ΔG = H + Δ
3. LG = GL, L^∗G = GL^∗
4. 콤플렉스의 코호몰로지(Cohomology)는 각 코호몰로지 클래스가 고유한 고조파 대표성을 가지고 있다는 점에서 $H{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle H({}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) { H(E j${\displaystyle {}_{}}$ ${$ (E j ) \$displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal{H}(E_{j$

이 상황에도 호지 분해 작용이 있어, 드 람 콤플렉스에 대해 위의 진술을 일반화한다.

복합 투영 품종 호지 이론

X를 매끄러운 복잡한 투영 다지관으로 하자. 즉, X는 어떤 복잡한 투영 공간 CP의^N 폐쇄된 복합 하위 관리형이다. Chow의 정리에 의해 복잡한 투영 다지관은 자동적으로 대수학으로 규정된다: 그것들은 CP에^N 있는 동종 다항식의 소멸에 의해 정의된다. CP에^N 대한 리만니안 표준지표는 복합구조와 호환성이 강한 X에 리만니안 지표를 유도해 X를 케흘러 다지관으로 만든다.

복합다지관 X와 자연수 r의 경우 (복잡한 계수를 가진) X의 모든 C^∞ r 형식은 p + q = r의 형식(p, q)의 합으로 고유하게 작성할 수 있으며, 각 용어가 형식을 취하며, p + q = r의 한정된 합으로 국소적으로 작성할 수 있는 형식을 의미한다.

${\displaystyle f\,dz_{1}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdz_{p}\cdots \{w_{q}}}}}}}$

F^∞ 함수와 z 및_s w 홀로모르프_s 함수와 함께. Kahler 다지관에서는 고조파 형태의 (p, q) 성분이 다시 조화된다. 따라서, 모든 소형 Kahler 매니폴드 X에 대해, Hodge 정리는 복잡한 벡터 공간의 직접적인 합계로서 복잡한 계수를 가진 X의 코호몰로지 분해를 제공한다.^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C})=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

이 분해는 사실 Kahler 측정지표의 선택과는 무관하다(그러나 일반 콤팩트 복합다지관의 경우 유사한 분해는 없다). 한편, 호지 분해는 진실로 복잡한 다지관으로서 X의 구조에 의존하는 반면, 그룹 H^r(X, C)는 X의 기저 위상학적 공간에만 의존한다.

Hodge 분해의 피스^p,q H(X)는 복합 다지관으로서 X에만 의존하는 일관성 있는 피복 코호몰로지 그룹으로 식별할 수 있다(Kahler 메트릭의 선택에 의존하지 않음).^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Oomega ^{p}),}$

여기서 Ω은^p X에 있는 홀로모르픽 p-폼의 껍질을 의미한다. 예를 들어, H^p,0(X)는 X에 있는 홀로모르픽 p-폼의 공간이다. (X가 투영적이라면, Serre의 GAGA 정리는 X의 모든 것에 대한 홀로모르픽 p-폼이 사실상 대수학이라는 것을 암시한다.)

Hodge number h^p,q(X)는 복합 벡터 공간 H^p.q(X)의 치수를 의미한다. 이것들은 매끄러운 복잡한 투영 다양성의 중요한 불변제들이다; 그것들은 X의 복잡한 구조가 지속적으로 변화할 때 변하지 않는다. 그러나 그것들은 일반적으로 위상학적 불변제가 아니다. 호지수의 특성으로는 Hodge 대칭 h^p,q = h (H^p,q(X)가 H^q,p(X)의 복합 결합체이기 때문에)와^{q,pp,qn−p,n−q} h = h(Sere 이중성에 의한)가 있다.

매끄러운 복합 투영 품종(또는 소형 Kahler 매니폴드)의 Hodge 번호는 Hodge 다이아몬드(복합 치수 2의 경우 표시)에 나열할 수 있다.

		h2,2
	h2,1		h1,2
h2,0		h1,1		h0,2
	h1,0		h0,1
		h0,0

예를 들어, g속들의 모든 매끄러운 투영곡선은 호지 다이아몬드를 가지고 있다.

	1
g		g
	1

다른 예로, 모든 K3 표면은 호지 다이아몬드를 가지고 있다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

X의 베티 번호는 주어진 행에 있는 호지 숫자의 합이다. 호지 이론의 기본적인 적용은 매끄러운 복잡한 투영 품종(또는 콤팩트 칼러 다지관)의 홀수 베티 숫자 b가_2a+1 호지 대칭에 의해 짝수라는 것이다. 이는 일반적으로¹ 소형 복합 다지관의 경우, S × S와³ 다르고 따라서₁ b = 1을 갖는 Hopf 표면의 예에서 알 수 있듯이 사실이 아니다.

"켈러 패키지"는 호지 이론을 기반으로 하는 매끄러운 복잡한 투영 품종(또는 소형 케흘러 다지관)의 코호몰로지(cohomology)에 대한 강력한 제한이다. 그 결과 렙체츠 하이퍼플레인 정리, 하드 렙체츠 정리, 호지-리만 이린 관계 등이 있다.^[9] 비아벨라 호지 이론과 같은 호지 이론과 확장 또한 콤팩트 케흘러 다지관의 가능한 기본 집단에 강한 제약을 준다.

대수 사이클과 호지 추측

X를 매끄럽고 복잡한 투영적인 품종이 되게 하라. A complex subvariety Y in X of codimension p defines an element of the cohomology group ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$. Moreover, the resulting class has a special property: its image in the complex cohomology ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ lies in the middle piece of the Hodge 분해, ${\displaystyle H^{}}$ $p{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p{}^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{p,p}(X)}$. The Hodge conjecture predicts a converse: every element of ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ whose image in complex cohomology lies in the subspace ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ should have a positive integral multiple that is a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-linear combination of X의 복잡한 하위 변수의 종류 (그러한 선형 조합을 X의 대수 주기라고 한다.)

중요한 점은 Hodge 분해는 복잡한 계수를 가진 코호몰로지(cohomology)의 분해로서, 일반적으로 적분(또는 이성적) 계수를 가진 코호몰로지(cohomology)의 분해에서 나오지 않는다는 것이다. 그 결과, 교차로

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathb {Z} )/{\text{torsion})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathb {C} )}}$

Hodge number $h{\displaystyle {}^{}}$ ,${\displaystyle p^{}}$ , p {\$displaystyle h^{2p}(X,\mathb {Z})/}$ 비틀림$$ 전체 그룹 $,$ p ${\$보다 훨씬 작을 수 있다. 요컨대, 호지 추측에 의하면 X의 복잡한 하위분리의 가능한 "형상"은 X의 호지 구조(복합형 코호몰로지 및 복합형 코호몰로지 분해의 조합)에 의해 결정된다고 예측한다.

렙셰츠(1,1)-테오렘은 호지 추측이 p = 1(짝수 통합적으로, 즉 진술서에 양의 적분 배수가 필요하지 않음)에 대해 진실이라고 말한다.

버라이어티 X의 호지 구조는 X의 호몰로지 클래스에 대한 X의 대수적 차등형식의 통합을 설명한다. 이런 의미에서, 호지 이론은 미적분학의 기본적인 문제와 관련이 있다: 일반적으로 대수적 함수의 적분에는 "공식"이 없다. 특히 마침표로 알려진 대수함수의 확실한 통합은 초월수가 될 수 있다. 호지 추측의 어려움은 일반적으로 그러한 통합에 대한 이해 부족을 반영한다.

예: 부드러운 복잡한 투영 K3 표면 X의 경우, 그룹 H²(X, Z)는 Z에²² 이형이고, H^1,1(X)는 C에²⁰ 이형이다. 그들의 교차로에는 1에서 20 사이의 등급이 있을 수 있다. 이 등급은 Picard number of X라고 불린다. 모든 투사형 K3 표면의 모듈리 공간은 각각 복잡한 치수 19의 구성 요소 집합이 셀 수 있을 정도로 무한하다. Picard 번호 a를 가진 K3 표면의 하위 공간은 치수 20-a를 가지고 있다(^[10]Thus, 대부분의 투영 K3 표면의 경우 H²(X, Z)와 H^1,1(X)의 교차점은 Z에 이형이지만 "특수" K3 표면의 경우 교차점이 더 클 수 있다).

이 예는 복잡한 대수 기하학에서 호지 이론이 수행하는 몇 가지 다른 역할을 제시한다. 첫째, 호지 이론은 어떤 위상학적 공간이 매끄러운 복잡한 투영적 다양성의 구조를 가질 수 있는지에 대한 제한을 준다. 둘째, Hodge 이론은 주어진 위상학적 유형을 가진 매끄러운 복잡한 투영 품종의 모듈리 공간에 대한 정보를 제공한다. 가장 좋은 경우는 토렐리 정리가 유지될 때인데, 이는 그 다양성이 호지 구조에 의해 이형성에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 마지막으로, 호지 이론은 주어진 다양성의 대수 주기 차우 그룹에 대한 정보를 제공한다. 호지 추측은 차우 그룹부터 일반 코호몰로지까지의 사이클 맵의 이미지에 관한 것이지만, 호지 이론은 예를 들어 호지 구조에서 구축된 중간 자코비안을 이용하는 등 사이클 맵의 커널에 관한 정보를 제공하기도 한다.

일반화

피에르 델랭에 의해 개발된 혼합 호지 이론은 호지 이론을 반드시 매끄럽고 압축적인 것은 아니지만, 모든 복잡한 대수학 변종까지 확장시킨다. 즉, 어떤 복잡한 대수학 품종의 코호몰로지에는 보다 일반적인 형태의 분해, 즉 혼합된 호지 구조가 있다.

Hodge 이론과 단수 품종의 다른 일반화는 교차로 호몰로학에 의해 제공된다. 즉, 사이토 모리히코는 어떤 복잡한 투영 품종의 교차 호몰로지(필수적으로 매끄러운 것은 아님)가 매끄러운 경우와 마찬가지로 순수한 호지 구조를 가지고 있다는 것을 보여주었다. 사실, 케흘러 패키지의 전체는 교차로 호몰로지까지 확장된다.

복잡한 기하학의 근본적인 측면은 비이형 복합 다지관(모두 실제 다지관과 다름)의 연속적인 패밀리가 존재한다는 것이다. 필립 그리피스(Phillip Griffiths)의 호지 구조 변화 개념은 매끄러운 복잡한 투영 버라이어티 X의 호지 구조가 X가 변화할 때 어떻게 변하는지 설명한다. 기하학적 용어로, 이것은 다양한 종류와 관련된 기간 지도를 연구하는 것에 해당한다. 사이토의 호지 모듈 이론은 일반화다. 대략적으로, 버라이어티 X의 혼합 Hodge 모듈은 부드러우거나 압축할 필요가 없는 품종에서 발생하는 것처럼 X에 걸쳐 혼합된 Hodge 구조물이다.

참고 항목

• 전위론
• 세레 이중성
• 헬름홀츠 분해

메모들

참조

• Arapura, Donu, Computing Some Hodge Numbers (PDF)
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8. MR 0507725.
• Hodge, W. V. D. (1941), The Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
• Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction, Springer, ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
• Voisin, Claire (2007) [2002], Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511615344, ISBN 978-0-521-71801-1, MR 1967689
• Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, ISBN 0-387-90894-3, MR 0722297
• Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Differential Analysis on Complex Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 65 (3rd ed.), Springer, doi:10.1007/978-0-387-73892-5, hdl:10338.dmlcz/141778, ISBN 978-0-387-73891-8, MR 2359489