Ext functor

수학에서 Ext functors는 Hom functor의 파생된 functor이다.토르 펑터와 함께 엑스는 호몰로지 대수학의 핵심 개념 중 하나로, 대수적 위상에서 나온 사상이 대수적 구조의 불변수를 정의하는데 사용된다.집단의 코호몰로지, 리 알헤브라스, 연상 알헤브라는 모두 엑스트라는 용어로 정의될 수 있다.그 이름은 첫 번째 Ext 그룹¹ Ext가 한 모듈의 확장을 다른 모듈로 분류한다는 사실에서 유래되었다.

아벨 그룹들의 특수한 경우, 엑트는 라인홀드 바어(1934년)에 의해 소개되었다.사무엘 아일렌베르크와 손더스 맥레인(1942)이 이름을 지어 위상(코호몰로지 범용계수 정리)에 적용했다.어떤 링 위에 있는 모듈들에 대해 엑스는 1956년 책 Homological Algebra에서 Henri Cartan과 Eilenberg에 의해 정의되었다.^[1]

정의

R을 링으로 하고 R-모드를 R에 대한 모듈의 범주로 삼아라. (좌측 R-모듈 또는 우측 R-모듈을 의미하기 위해 이것을 취할 수 있다.)고정 R-모듈 A의 경우, R-모드의 B에 대해 T(B) = Hom_R(A, B)을 허용한다. (여기 Hom_R(A, B)은 A에서 B까지의 R-선형 지도의 아벨 그룹이다. R이 동일하다면 이것은 R-모듈이다.)이것은 R-Mod에서 아벨리아 그룹 Ab의 범주에 이르는 왼쪽 정확한 functor로 오른쪽 파생 functor RT를ⁱ 가지고 있다.Ext 그룹은 에 의해 정의된 아벨 그룹이다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T),}$

정수 i의 경우정의에 따르면, 이 방법은 다음과 같다: 모든 주입 분해능을 취한다.

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\cdots,}$

용어 B를 제거하고 코체인 콤플렉스를 형성한다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \cdots.}$

각 정수 i에 대해 Extⁱ
_R(A, B)는 위치 i에서 이 콤플렉스의 코호몰로지다.그것은 내가 부정적으로 생각할 때 0이다.예를 들어 Ext⁰
_R(A, B)는 지도 Hom_R(A⁰, I) → Hom_R(A, B)의 커널로, Hom_R(A, B¹)과 이형이다.

대체 정의는 고정 R-모듈 B에 대해 Functor G(A)=Hom_R(A, B)을 사용한다.이것은 반대편 범주(R-Mod)^op에서 Ab까지 왼쪽 정확한 펑터로 볼 수 있는 반전형 펑터다.Ext 그룹은 오른쪽 파생 펑터 RG로ⁱ 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

즉, 투사적 해상도를 선택하십시오.

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to 0,}$

A라는 용어를 제거하고 코체인 콤플렉스를 형성한다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \cdots.}$

그러면 Extⁱ
_R(A, B)는 위치 i에서 이 콤플렉스의 코호몰로지 이다.

Cartan과 Eilenberg는 이러한 구성들이 투영적 또는 주입적 분해능의 선택과 무관하며, 두 구성 모두 동일한 Ext 그룹을 산출한다는 것을 보여주었다.^[2]더욱이 고정 링 R의 경우 Ext는 각 변수(A에서는 대조, B에서는 공변량)의 펑터(functor)이다.

정류 링 R과 R-모듈 A와 B의 경우, Extⁱ
_R(A, B)는 R-모듈(이 경우_R 홈(A, B)이 R-모듈이라는 것을 사용)이다.비전속 링 R의 경우, 엑스트ⁱ
_R(A, B)는 일반적으로 아벨 그룹일 뿐이다.만약 R이 링 S에 대한 대수라면(특히 S가 정류적이라는 것을 의미), 엑스트ⁱ
_R(A, B)는 적어도 S-모듈이다.

Ext의 속성

다음은 Ext 그룹의 기본 속성 및 계산 중 몇 가지 입니다.^[3]

• 모든 R-모듈 A 및 B에 대한 Ext⁰
  _R(A, B) ≅ Hom_R(A, B)

• R-모듈 A가 투영적(예: 무료)이거나 B가 주입적인 경우 Extⁱ
  _R(A, B) = 모든 i > 0에 대한 0.

• 대화 내용에는 다음 사항도 포함되어 있다.
  • 만약¹
    _R Ext(A, B)가 모든 B에 대해 0이면, A는 투영적이다(따라서 Extⁱ
    _R(A, B)는 모든 i > 0에 대해 0).
  • 만약¹
    _R Ext(A, B)가 모든 A에 대해 0이면, B는 주입형(따라서ⁱ
    _R Ext(A, B)는 모든 i > 0에 대해 0이다.

• ${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (A}$, B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathb {Z}^{i}(A,B)=0}$ 모든 i ≥ 2 및 모든 아벨리아 그룹 A와 B에 대해$$.^[4]

• 만약 R이 정류 링이고 u in R이 0 divisor가 아니라면,

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{case}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\\0&{\text{otherwise,}}\end{case}}}$

모든 R-모듈 B에 대해.여기서 B[u]는 B의 u-torsion 부분군, {x ∈ B: ux = 0}을 나타낸다.R을 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정수로 취하면, 이 계산을 사용하여 정밀하게 생성된 아벨 그룹 A의 ${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_{}^{}}$ Z ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$) ${\displaysty \operatorname {Ext} _{\mathb {Z}$^1}{$1}(A,B)$을 계산할 수 있다.

• 앞의 예를 일반화하면, 첫 번째 모듈이 코즐 콤플렉스를 사용하여 어떤 규칙적인 시퀀스에 의한 정류 링의 몫일 때 Ext 그룹을 계산할 수 있다.^[5]예를 들어, R이 필드 k에 대한 다항식 링 k[x₁,...,x_n]인 경우 Ext^*
  _R(k,k)는 Ext의¹ n개 생성기에서 외부 대수 S over k이다.게다가 Ext^*
  _S(k,k)는 다항 링 R이며, 이는 Koszul 이중성의 예다.

• 파생 펑터의 일반적인 특성에 의해 Ext에 대한 두 가지 기본적인 정확한 시퀀스가 있다.^[6]첫째, R-모듈의 짧은 정확한 시퀀스 0 → K → L → M → 0은 폼의 긴 정확한 시퀀스를 유도한다.

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

모든 R-모듈 A를 위해또한 0 → K → L → M → 0의 짧은 정확한 순서는 폼의 긴 정확한 순서를 유도한다.

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

모든 R-모듈 B에 대해.

• Ext는 첫 번째 변수에 직접 합(잠재적으로 무한)을, 두 번째 변수에 있는 제품을 제품에 사용한다.^[7]즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• A를 정류형 노메트리안 링 R 위에 정밀하게 생성된 모듈로 두십시오.Ext는 R의 모든 승법적으로 닫힌 세트 S, 모든 R-모듈 B, 그리고 모든 정수 i에 대해 로컬리제이션으로 통한다.^[8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}{I}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\왼쪽(S^{-1}A, S^{-1}B\rig)}$

Ext 및 확장

연장의 등가

Ext 그룹은 모듈의 확장에 대한 그들의 관계에서 그들의 이름을 따왔다.R-모듈 A와 B를 고려할 때, A by B의 확장은 R-모듈의 짧은 정확한 시퀀스다.

$B\to B\to A\to 0.}$

두 개의 확장자

$B\to B\to A\to 0}$

$B'to B'to B'\to A\to 0}$

(A by B의 확장으로서) 만약 역행도가 있다면, 등가라고 한다.

5개의 보조정리법은 가운데 화살표가 이형화라는 것을 암시한다는 점에 유의한다.A by B의 연장은 사소한 연장과 같은 경우 분할이라고 한다.

$0\patchstyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0}$

A by B에 의한 확장자의 동등성 등급과¹
_R Ext(A, B)의 요소 사이에는 일대일 일치성이 있다.^[9]사소한 확장은 Ext¹
_R(A, B)의 제로 요소에 해당한다.

Baer 확장자 합계

Baer sum은 Ext¹
_R(A, B)에 있는 아벨 그룹 구조에 대한 명시적인 설명으로, A에 의한 B에 의한 확장의 동등성 등급 집합으로 간주된다.^[10]즉, 두 개의 확장자를 지정함

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}{}E{\xrightarrow[{g}]{}}}}}}:{}A\to 0}$

그리고

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}{}E'{\xrightarrow[{g'}}}{}}}}}}}}}}A\to 0,}$

$먼저{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ 위에 풀백을 형성하십시오$.$

$\displaystyle \Gamma =\왼쪽\{(e,e')\in E\oplus E'\; \;g(e)=g'(e')\right\}.}$

그런 다음 몫의 모듈을 형성하십시오.

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b)\;\;b\in B\}.}$

E와 E의 Baer 합은 확장이다.

$B\to B\to A\to 0,}$

where the first map is ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$ and the second is ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$.

확장의 등가성까지, Baer sum은 유사하며, 사소한 확장자를 ID 요소로 가지고 있다.연장 0 → B → E → A → 0의 음은 동일 모듈 E를 포함하는 확장이지만 동형성 B → E는 음성으로 대체된다.

아벨 범주 내 Ext 건설

요네다 노부오는 아벨 범주 C에 있는 물체 A와 B에 대한 아벨 그룹 Extⁿ
_C(A, B)를 정의했다. 이는 C가 투사량이 충분하거나 주입량이 충분할 경우 결의안의 정의와 일치한다.첫째, Ext⁰
_C(A,B) = Hom_C(A, B)다음으로 Ext¹
_C(A, B)는 Baer sum 아래에 아벨 그룹을 형성하며, A by B에 의한 확장의 등가 등급 집합이다.마지막으로, 상위 Ext 그룹 Extⁿ
_C(A, B)는 정확한 시퀀스인 n-extension의 동등성 클래스로 정의된다.

$\displaystyle 0\to B\to X_{n}\cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

두 확장자를 식별하는 관계에서 생성된 동등성 관계에서

${\displaystyle {\begin}\xi :0&\to X_{n}\cdots \to X_{1}\to 0\\\\xi ':0&\to X'_{n}\cdots \to X_{1}\to 0\end{n}}}}}.$

{1, 2, ..., ${\displaystyle n_{}^{}}$의 모든 m에 대해$$ $지도{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle m_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m${$ {\displaystyle X_{$m}\to X'_{m}$이 존재하여 모든 결과 제곱이 통근되는 경우, 즉 A와 B에 있는 정체성인 체인 맵 → → ξ이 있는 경우.

The Baer sum of two n-extensions as above is formed by letting ${\displaystyle X''_{1}}$ be the pullback of ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X'_{1}}$ over A, and ${\displaystyle X''_{n}}$ be the pushout of ${\displaystyle X_{n}}$ and ${\displaystyl$e $X'_{n}}$는 B 밑이다.^[11]그러면 확장자의 Baer 합은

$\displaystyle 0\to B\to X'_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n1}\cdots \to X_{2}\oplus X'_{1}\to A\to.}$

파생 카테고리 및 요네다 제품

중요한 점은 아벨 범주 C의 Ext 그룹은 파생 범주 D(C)인 C와 연관된 범주에서 형태론의 집합으로 볼 수 있다는 것이다.^[12]파생 범주의 대상은 C에 있는 개체의 복합체다.구체적으로 말하자면

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C}^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C}}}}})(A,B[i]),}}$

여기서 C의 물체는 0도에 집중된 복합체로 간주되며, [i]는 복합 i를 왼쪽으로 이동시키는 것을 의미한다.이 해석에서, 때때로 요네다 제품이라고 불리는 이린라인 맵이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

단순히 파생된 범주에 있는 형태론의 구성이다.

요네다 제품도 좀 더 기초적인 용어로 설명할 수 있다.i = j = 0의 경우 제품은 범주 C에 있는 맵의 구성이다.일반적으로 제품은 두 개의 요네다 익스텐션을 함께 스플라이싱하여 정의할 수 있다.

대안으로 요네다 제품은 해상도 측면에서 정의될 수 있다.(이것은 파생 범주의 정의에 가깝다.)예를 들어 R-모듈 A, B, C와 함께 R을 링으로 하고 P, Q, T를 A, B, C의 투영적 해상도로 한다.Extⁱ
_R(A,B)는 체인 맵 P → Q[i]의 체인 호모토피 클래스 그룹으로 식별할 수 있다.요네다 제품은 체인 맵을 구성하여 다음과 같이 제공된다.

$P\to Q[i]\to T[i+j].}$

이 해석들 중 어느 것에 의해서도 요네다 제품은 연관성이 있다.그 결과 ${\displaystyle {Ext}_{}^{}}$ R${\displaystyle {}_{}^{}}$∗${\displaystyle {}_{}^{}(}$ (${\displaystyle A}$, A${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$는 모든 R-모듈 A에 대해 등급이 매겨진 링이다.For example, this gives the ring structure on group cohomology ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ since this can be viewed as ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$. Also by associativity of the Yoneda product: for any R-modules A and B, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ is a module over ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$.

중요특례

• Group cohomology is defined by ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$, where G is a group, M is a representation of G over the integers, and ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ is the group ring of G.

• 필드 k와 A-bimodule M에 대한 대수 A의 경우 Hochschild cohomology는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Lie algebra cohomology is defined by ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a Lie algebra over a commutative ring k, M is a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module, a$ND{\displaystyle }$ U ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$는 범용 봉합 대수학이다.

• 위상학적 공간 X의 경우, sheaf cohomology는 $H{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ,A}$) = ${\displaystyle {\mathrm{Ext}}^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle {}_{}}$X ,${\displaystyle A}$) . ${\displaystyle$ H$^{*(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathb {Z} _{X},A$)로 정의할 수 있다$.$$}$여기서$$ Ext는 X에 있는 아벨 그룹 셰브의 아벨리안 범주에서 취하며, ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\$ $\$$mathb {Z} _{X}$은(는) $로컬{\displaystyle \mathbb{}}$ 상수$$Z {\$displaystyle$ \$mathb {Z}$-값$$ 함수의 모음입니다$$.

• For a commutative Noetherian local ring R with residue field k, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ is the universal enveloping algebra of a graded Lie algebra π*(R) over k, known as the homotopy Lie algebra of R. (To be precise, when k has characteristic 2, π*(R) has to be viewed as an "adjusted Lie대수").^[13]안드레-퀼렌 코호몰로지 D*(k/R,k)부터 π*(R)까지 등급이 매겨진 리알헤브라의 자연 동형성이 있는데, k가 특성 0을 갖는다면 이형성이다.^[14]

참고 항목

• 지구 치수
• 결의안.
• 그로텐디크 군
• 그로텐디크 지역 이중성

메모들

참조

• Avramov, Luchezar (2010), "Infinite free resolutions", Six lectures on commutative algebra, Birkhäuser, pp. 1–108, doi:10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN 978-3-7643-5951-5, MR 2641236
• Baer, Reinhold (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift, 38 (1): 375–416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-04991-2, MR 0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), "Group extensions and homology", Annals of Mathematics, 43 (4): 757–931, doi:10.2307/1968966, JSTOR 1968966, MR 0007108
• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Methods of homological algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN 978-3-540-43583-9, MR 1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf algebras and derivations", Journal of Algebra, 64: 218–229, doi:10.1016/0021-8693(80)90143-X, MR 0575792
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
• Weibel, Charles A. (1999), "History of homological algebra" (PDF), History of topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 797–836, ISBN 9780444823755, MR 1721123