제로 샤프

집합 이론의 수학적 훈련에서, 0^# (zero sharp, 또한 0#)은 괴델 구성 가능 우주에서 불분명한 존재와 질서의 불분명한 존재에 관한 진정한 공식의 집합이다.흔히 정수의 부분집합(Gödel numbering 사용) 또는 유전적으로 유한한 집합의 부분집합 또는 실수로 인코딩된다.그 존재는 자명 집합론의 표준적 형태인 ZFC에서는 증명할 수 없지만, 적절한 큰 추기경 공리에서 따른다.실버의 1966년 논문에서 공식의 집합으로 처음 소개되었고, 후에 실버(1971년)로 출판되어 where에 의해 표기되었고, Solovay(1967년, p.52년)에 의해 재발견되었는데, 그는 이를 자연수의 부분집합으로 간주하고 표기 O를^# 도입하였다(1967년, p.52년). (자본 문자 O로, 이것은 나중에 숫자 '0'으로 바뀌었다.

대략적으로, 만약 0이^# 존재한다면, 집합의 우주 V는 구성 가능한 집합의 우주 L보다 훨씬 큰 반면, 만약 그것이 존재하지 않는다면, 모든 집합의 우주는 구성 가능한 집합에 의해 근사하게 계산된다.

정의

제로 샤프는 실버와 솔로베이에 의해 다음과 같이 정의되었다.각 양의 정수에 대해 추가 상수 기호 c₁, c₂, ...가 있는 집합 이론의 언어를 고려하십시오.그 다음 0은^# c가_i 헤아릴 수 없는 추기경 ℵ으로_i 해석되는 구성 가능한 우주에 관한 참된 문장의 괴델 숫자의 집합으로 정의된다(여기서 ℵ은_i 구성 가능한 우주가 아니라 전체 우주에서 ℵ을_i 의미한다).

이 정의에는 미묘한 점이 있다: 타르스키의 정의하기 어려운 정리로는 일반적으로 세트 이론의 언어에서 세트 이론의 공식의 진리를 정의할 수 없다.이를 해결하기 위해 실버와 솔로베이는 램지 추기경과 같은 적당한 큰 추기경의 존재를 가정했고, 이 추가적인 가정으로 구성 가능한 우주에 대한 진술의 진리를 정의할 수 있다는 것을 보여주었다.보다 일반적으로, 0작품의^# 정의는 일부 L에_α 대해 헤아릴 수 없는 불분명한 집합이 있다는 것을 전제로 하고, "0이^# 존재한다"는 구절은 이를 속기하는 방법으로 사용된다.

0의^# 정의에는 몇 가지 사소한 차이가 있는데, 그 속성에 큰 차이가 없다.괴델 번호 매기기에는 여러 가지 다른 선택이 있는데, 0은^# 이 선택에 달려 있다.자연수의 부분집합으로 간주되는 대신 0을^# 언어의 공식집합으로, 또는 유전적으로 유한한 집합의 부분집합으로, 또는 실수로 인코딩하는 것도 가능하다.

존재를 암시하는 문장

0이^# 존재함을 암시하는 램지 추기경의 존재 조건은 약해질 수 있다.Ω-Erdős₁ 추기경의 존재는 0의^# 존재를 암시한다.이는^# 0의 존재는 모든 계산 가능한 α에 대한 α-Erdős 추기경이 존재함을 의미하기 때문에 그러한 추기경들은 0의^# 존재를 증명하기 위해 사용될 수 없다는 것을 의미하기 때문에 가장 가능한 것에 가깝다.

장문휴의 추측은 0의^# 존재를 내포하고 있다.

존재와 동등한 진술

쿠넨은 괴델 구성 가능한 우주 L에 대한 비종교적인 초등생 임베딩이 존재하는 경우에만 0이^# 존재한다는 것을 보여주었다.

도널드 A. 마틴과 레오 해링턴은 0의^# 존재가 라이트페이스 분석 게임의 결정성과 동등하다는 것을 보여주었다.실제로 범용 라이트페이스 분석 게임의 전략은 튜링 등급이 0과^# 동일하다.

0의^# 존재는 구성 가능한 우주 L에서 규칙적인 추기경으로서 Ω에_ω 해당한다는 것은 젠센의 커버 정리로부터 따온 것이다.

은은 구성 가능한 우주에서 헤아릴 수 없는 불분명한 일련의 존재는 0의^# 존재와 동등하다는 것을 보여주었다.

존재와 비존재의 결과

그 존재는 세트이론적 우주 V의 모든 헤아릴 수 없는 추기경들이 L에서 불분명한 존재로서 L에서 실현되는 모든 큰 추기경 공리를 만족한다는 것을 암시한다(완전히 불가항력적인 것 등).0의^# 존재는 구성성: V = L의 공리와 모순된다는 것을 따른다.

만약^# 0이 존재한다면, 그것은 구성 불가능한¹
₃ Δ의 정수 집합의 예일 것이다.이것은 모든 σ과¹
₂ π¹
₂ 정수의 집합이 구성 가능하기 때문에 어떤 의미에서는 비구성 집합에 대한 가장 단순한 가능성이다.

반면에 0이^# 존재하지 않는다면 구성 가능한 우주 L은 핵심 모델, 즉 고려된 우주의 큰 추기경 구조에 근접한 표준적 내부 모델이다.이 경우 젠센의 커버링 보조정리에는 다음과 같은 조건이 붙는다.

모든 비할 수 없는 집합 x 서수의 경우 x ⊂ y와 y가 x와 동일한 카디널리티를 갖는 구성 가능한 y가 있다.

이 깊은 결과는 로널드 젠슨 덕분이다.강제력을 사용하면 x를 마운트할 수 없는 조건을 제거할 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있다.예를 들어, $\omega _{1}$ 1 $\omega _{1}$ {\ $displaystyle \omega_{1$ }을 보존하고 $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ 2 $\omega _{2}$ {\ $displaystyle \omega_{2}}$ 을 공완성 $\omega$ {\ $displaystyle \omega}$ 의 $\omega _{2}$ 서수로 접는 Namba 강제성을 고려한다 $.$ ${\$ $displaystystyle \oome$ $}$ 은 $G$ $\omega _{2}^{L}$ 2 $\omega _{2}^{L}$ 에 대해 $\omega$ oencompinalong $\omega$ coencompinalongfinalongfinalong ohinalongfinalong oon. $_{2}^{L}}}$ 과 $\omega _{2}^{L}$ (와) L 위에 일반적임.그런 다음 $\omega _{2}^{L}$ 2 $\omega _{2}^{L}$ {\ $displaystyle$ $\omega _{1}$ \ $omega_{2}^{L}}($ V에서는 계산할 수 없음, $\omega _{1}$ 1 {\ $displaystyle$ \ $omega_{1}$ 가 보존되므로 $\omega _{1}$ ) L에 설정된 것은 $G$ ${\displaystystyle G}$ 을(으)를 포함할 수 없으며, $G$ $\omega _{2}$ $\omega _{2}$ ${\$ }}은 $\omega _{2}$ 일반 추기경이기 때문이다.

다른 날카로운 소리

x가 임의의 집합인 경우, x는^# L 대신 L[x]를 사용한다는 점을 제외하고 0과^# 유사하게 정의된다.구성 가능한 우주의 상대적 구성성에 대한 섹션을 참조하십시오.

참고 항목

0^†, 구성 가능한 우주가 측정 가능한 추기경이 있는 더 큰 내측 모델로 대체되는 0과^# 유사한 집합이다.

참조

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Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
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