마를로 추기경

수학에서 마를로 추기경은 어떤 종류의 큰 추기경이다.마를로 추기경들은 처음에 폴 마를로(1911, 1912, 1913)에 의해 묘사되었다.모든 대형 추기경들과 마찬가지로, ZFC에 의해 이러한 종류의 마를로 추기경들 중 어떤 것도 존재한다는 것을 증명할 수 없다(ZFC가 일관된다고 가정한다).

${\$ $displaystyle \kappa$ $}}$ 에 강하게 액세스할 $\kappa$ 수 없고 U = {\ $displaystyle \cappa$ $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ 집합 U = { $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ λ $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ 는 강하게 $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ 수 없는 $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ ${\displaysty U=\\\\lambda \mid \text{}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$ text가 \clamba \에 고정되어 있는 $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ 경우 $\kappa$ Mah

cardinal ${\displaystyle \kappa$ $}$ 이(가) 약하게 액세스할 수 없고 $\kappa$ $\kappa$ ${\$ $displaystyle \$ $kappa }$ 보다 약하게 액세스할 수 없는 추기경 세트가 $\kappa$ $\kappa$ 에서 정지되어 $\kappa$ 있으면 추기경 $\kappa$ {\displaystymahlo}라고 부른다 $\kappa$ $\kappa$

마흘로 추기경이라는 용어는 원래 마흘로가 고려했던 추기경들이 약하게 마흘로 추기경들이었지만 지금은 대개 "강력한 마흘로 추기경"이라는 뜻이다.

Mahlo 추기경을 위한 최소 조건

만약 κ이 한계 서수이고 κ보다 작은 정규 서수 세트가 κ에서 정지해 있다면, κ은 약하게 마흘로이다.

이를 입증하는 데 있어 가장 큰 어려움은 κ이 규칙적이라는 것을 보여주는 것이다.우리는 그것이 규칙적이지 않다고 가정하고 우리에게 다음과 같은 μ를 주는 클럽 세트를 건설할 것이다.

μ = cf(μ) > cf(μ) < μ > 모순이다.

만약 κ이 규칙적이지 않다면 cf(() < κ. cf(κ)+1로 시작하고 κ을 한계로 하는 엄격히 증가되고 연속적인 cf(κ)시퀀스를 선택할 수 있었다.그 순서의 한계는 κ의 클럽일 것이다.그래서 그 한계들 중에는 반드시 일정한 μ가 있어야 한다.따라서 μ는 cf(cf)-시퀀스의 초기 반복의 한계다.따라서 그 공완성은 κ의 공완성보다 적고 동시에 그것보다 크다; 이것은 모순이다.따라서 κ이 규칙적이지 않다는 가정, 즉 κ은 규칙적이어야 한다.

$\aleph _{0}$ 한 $\aleph _{0}$ 속성이 있는 because 0 {\ $displaystyle \aleph _{0}$ 이하의 고정 세트는 존재할 수 없다. {2,3,4,...}}은(는) Ω으로 클럽이지만 정규 서수수를 포함하지 않으므로 κ은 계산할 수 없다.그리고 그것은 일반 추기경들의 규칙적인 제한이다. 그래서 그것은 약하게 접근할 수 없다.그런 다음 one 이하의 헤아릴 수 없는 한계 추기경 세트를 클럽 세트로 사용하여 고정된 세트가 취약한 접근 불가한 것으로 간주될 수 있음을 보여준다.

만약 κ이 약하게 마를로이고 또한 강한 한계라면, κ은 마를로다.

κ은 약하게 접근할 수 없고 강한 한도가 있어 강하게 접근할 수 없다.

우리는 κ 이하의 헤아릴 수 없는 강한 한계 추기경들의 집합이 κ의 클럽이라는 것을 보여준다.μ는₀ 임계값보다 크고 Ω이₁ 되도록 한다.각 유한 n에 대해 강한 한계치 추기경이기^μ_n 때문에 μ = 2보다 작은 μ_n+1 = 2로 한다.그렇다면 그들의 한계는 강한 한계 추기경이며 규칙성으로는 κ 미만이다.헤아릴 수 없는 강한 한계 추기경의 한계도 헤아릴 수 없는 강한 한계 추기경이다.그래서 그들 세트는 κ의 클럽이다.그 클럽 세트를 intersect 미만의 약한 접근 불가능한 추기경들의 고정 세트와 교차시켜 κ 이하의 강력한 접근 불가능한 추기경들의 고정 세트를 얻는다.

예: Mahlo 추기경 κ이 accessible-inaccess(hyper-inaccess)임을 보여줌

"하이퍼 액세스 불가"라는 용어는 모호하다.이 절에서 추기경 κ은 (1-inaccessible의 더 일반적인 의미와는 반대로) κ-inaccessible이면 hyper-inaccessible이라고 불린다.

κ이 마를로라고 가정하자.우리는 α에 대한 트랜스피나이트 유도로 진행하여 α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α κ에 대해 접근하기 어렵다는 것을 보여준다. κ은 마를로 is이므로 접근하기 어렵고, 따라서 0-inaccession은 동일한 것이다.

만일 κ이 α-inaccessible인 경우, β < α에 대한 β-inaccessible이 임의로 κ에 가까운 β-inaccessible이 있다.그러한 β-inaccessibles의 동시 한계 집합은 일부 임계값보다 크지만 β-inaccessibles는 κ보다 작다고 간주한다.κ에서는 한이 없다(β < α Ω-times를 위해 β-inaccessibles를 통해 회전하는 상상을 매회 더 큰 추기경을 선택하는 상상을 한 다음 규칙성에 의해 κ 미만인 한계를 취한다(α if if if κ κ κ κ κ κ κ κ).폐업하였으므로 κ의 클럽이다.그래서 κ의 마를로네스에 의해 접속이 불가능한 것을 포함하고 있다.그 접근 불가능한 것은 사실상 α-inaccessible이다.그래서 κ은 α+1-inaccessible이다.

λ ≤ κ이 한계 서수이고 and이 모든 α < λ에 대해 α-inaccessible인 경우, 모든 β < λ도 일부 α < λ에 대해서는 α 미만이다. 따라서 이 경우는 사소한 것이다.특히 κ은 κ-inaccess가 불가능하여 hyper-inaccess가 가능하다.

κ이 초접속가능성의 한계로서 따라서 1-하이퍼 접근불가능하다는 것을 보여주기 위해서는 α < 모든 μ에 대해 α-inaccessible인 추기경 μ의 대각선 집합이 κ에서 곤봉임을 보여줄 필요가 있다.임계값보다 높은 0-inaccessible을 선택하고 α라고₀ 한다.그런 다음 α-inaccessible₀, α라고₁ 부른다.이것을 계속 반복하고 일정한 지점에 도달할 때까지 한계치에서 한계치, 즉 μ라고 부른다.그 다음 μ는 필요한 성질(모든 α < μ에 대해 α-inaccessible의 동시 한계)을 가지며, 정규성에 의해 α 미만이다.그러한 추기경의 한계도 재산을 가지고 있기 때문에 그 세트는 κ의 클럽이다.κ의 Mahlo-ness에 의해, 이 세트에는 접속이 불가능하고 하이퍼 접속이 가능하다.그래서 κ은 1-hyper-inaccess이다.우리는 이 같은 클럽 세트를 κ 이하의 고정 세트와 교차시켜 κ 이하의 고정된 초임액세트를 얻을 수 있다.

κ이 α-하이퍼-액세스할 수 없다는 나머지 증명은 α-액세스할 수 없다는 증명을 모방한다.그래서 κ은 하이퍼하이퍼 액세스 가능 등..

α-마흘로, 하이퍼 마흘로, 그리고 대단히 마흘로 추기경들

α-마흘로라는 용어는 모호하고 서로 다른 저자들이 불평등한 정의를 내린다.한 가지 정의는 추기경 κ이 강하게 접근할 수 없고 모든 서수 β<α>에 대해 m 이하의 β-마흘로 추기경 세트가 κ에서 정지해 있는 경우에 어떤 서수 α에 대해서는 α-마흘로라고 부른다는 것이다.그러나 "강력하게 접근할 수 없다"는 조건은 "강력하게 접근할 수 없다" 또는 "약하게 접근할 수 없다"와 같은 다른 조건들로 대체되기도 한다.와 같은 다른 조건으로 대체되기도 한다.We can define "hyper-Mahlo", "α-hyper-Mahlo", "hyper-hyper-Mahlo", "weakly α-Mahlo", "weakly hyper-Mahlo", "weakly α-hyper-Mahlo", and so on, by analogy with the definitions for inaccessibles, so for example a cardinal κ is called hyper-Mahlo if it is κ-Mahlo.

중요한 κ은 크게 Mahlo 또는 κ+-Mahlo 만일이 κ의 S{α ∈{\displaystyle \in}에 ordinals의 집합 S매핑 하는 Mahlo 작업에 따라서 닫히는 전력은 집합 위에 정상(i.e.고 닫히대각선 교차로 밑에 중대한.)κ-complete 필터는 들어갈 수 없다:α과 S∩α s은 무수한 cofinality다tα}의 아티오나리

접근하기 어려운 마흘로, 약하게 마흘로, α-마흘로, 크게 마흘로 등의 성질은 우리가 내적 모델로 우주를 대체하면 보존된다.

모든 반사 추기경들은 마를로보다 확실히 더 일관성 있는 힘을 가지고 있지만, 접근이 불가능한 반사 추기경들은 일반적으로 마를로에는 없다. https://mathoverflow.net/q/212597를 참조하라.

마를로 작전

X가 서수의 종류인 경우, 우리는 αxX가 α로 고정되도록 할 수 없는 공완성의 서수 α로 구성된 서수 M(X)의 새로운 부류를 형성할 수 있다.이 M작전을 Mahlo작전으로 부른다.그것은 마를로 추기경을 정의하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, X가 정규 추기경급이라면 M(X)은 힘없는 마를로 추기경급이다.α에 탑재할 수 없는 공완성이 있는 조건은 닫힌 결합되지 않은 α 하위 집합이 교차점에서 닫히도록 보장하고 따라서 필터를 형성한다; 실제로 X의 요소는 이미 탑재할 수 없는 공완성을 가지고 있는 경우가 많은데, 이 조건은 중복적이다.어떤 저자는 α가 X에 있다는 조건을 덧붙이기도 하는데, 실제로는 자동적으로 만족되는 경우가 많아 거의 차이가 없다.

고정된 고정되지 않은 정기 추기경 κ의 경우, Mahlo 연산은 station modulo의 모든 하위 집합에 대한 부울 대수학 연산을 유도한다.

Mahlo 작업은 다음과 같이 완전하게 반복할 수 있다.

M⁰(X) = X
M^α+1(X) = M(M^α(X))
α가 한계 서수라면 M(X^α)은 β<α에 대한 M^β(X)의 교차점이다.

이러한 반복된 마흘로 작전은 접근성이 강한 추기경 등급부터 α-마흘로 추기경 등급을 산출한다.

또한 정의를 통해 이 프로세스를 대각선으로 만드는 것도 가능하다.

M^Δ(X)은 β<α에 대해 M^β(X)에 있는 서수 α의 집합이다.

그리고 물론 이 대각화 과정도 반복될 수 있다.대각선화된 마흘로 작전은 하이퍼 마흘로 추기경 등을 배출한다.