점의 힘

초등 평면 기하학에서 점의 힘은 주어진 원으로부터 주어진 점의 상대적 거리를 반영하는 실제 수이다. Jakob Steiner 1826에 의해 소개되었다.^[1]

특히 중심 O ${\displaystyle O}$ 및 $반지름$ r ${\displaystyle r}$을(를) 가진 $원{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$에 대해$$ 점 P의$$${\displaystyle }$ $($ ${\displaystyle$ P$} 파워$ \$Pi(P)}$은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Pi(P)=PO ^{2}-r^{2}.}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 원 외부에 있는$$ 경우 ( )> 0 ${\displaystyle \Pi (P)>0$
$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 원에 있으면 ${\displaystyle \mathrm{then}(P)}$= 0 ${\displaystyle \Pi(P)=0$$}$ 및
$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 원 안에 있으면$$ < 0 ${\displaystyle \Pi(P)<0$

피타고라스의 정리 때문에 숫자 $\pi {\displaystyle \mathrm{}(P}$) ${\displaystyle \Pi(P)}$은 도표에 나타난 단순한 기하학적 의미를 갖는다. $원{\displaystyle }$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}(P)}$ ${\displaystyle \Pi(P)}$ 바깥쪽의$$ $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ P$}$에 대한 점 P ${\displaystyle$ c}의$$제곱 접선$$$$ $거리$ $PT {\displaystyle$ P${\displaystyle \}}$이다$.$

$\pi {\displaystyle \mathrm{}(P)}$ ${\displaystyle \Pi(P$의 아이솔린인 동력이 동일한 점은 원 c ${\displaystyle c}$에 동심원이다$.$

Steiner는 예를 들어 다음과 같이 원의 여러 진술에 대한 증거를 위해 점의 힘을 사용했다.

• 네 개의 원을 같은 각도로 교차시키는 원의 결정.^[2]
• 아폴로니우스의 문제 해결
• 말파티 서클의 건설:^[3] 주어진 삼각형에 대해 세 개의 원을 결정하는데, 원은 서로 닿고 삼각형의 두 변은 각각 서로 닿는다.
• 말파티 문제의 구면 버전:^[4] 삼각형은 구형이다.

원의 발동을 위한 필수 도구는 두 개의 원의 급진적인 축과 세 개의 원의 급진적인 중심이다.

원 세트의 동력도는 그 평면을 동력을 최소화하는 원이 일정한 영역으로 나눈다.

보다 일반적으로 프랑스의 수학자 에드몽 라구에르(Edmond Laguerre)는 어떤 대수적 곡선에 관해서도 비슷한 방법으로 점의 힘을 정의했다.

기하학적 특성

선두에 언급된 속성 외에도 다음과 같은 추가 특성이 있다.

직교원

$원{\displaystyle }$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 외부의 임의 $지점{\displaystyle }$ P ${\displaystyle$ P}에 $대해{\displaystyle }$ 원 c ${\displaystyle$ $c$$}$에 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {개}_{}}$의${\displaystyle {}_{}}$접선 ${\displaystyle {지점\mathrm{}}_{}}$T 1, T 2 {\$displaystyty$ T_${1},T_{2$$\}\}:$ P$$ {\$displaystysty$}와 $동일$한 거리를 가지고$$ 있다. 따라서 원$$$o{\displaystyle }$ {\$p{\displaystyle }$$$o {\$displaystyp o$$}$$Le P}$ ~ T$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}도$$T ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 통과하고$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 직교로$$ 교차한다.

• 중심 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 및$$ 반지름 $\pi {\displaystyle \sqrt{\mathrm{}(P}}$ ${\displaystyle \sqrt{)}}$ ${\$이(가) 있는 원은 $원{\displaystyle }$ c ${\displaysty c}$ 직교와 교차한다$$.

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 중심으로 한 원의$$ 반지름 ${\displaystyle \rho }$이(가) $\pi {\displaystyle \sqrt{\mathrm{}(P}}$ $){\$과(도표 참조)가 다른$$ 경우, 코사인 법칙을 적용하는 두 원 사이의$$ 교차각 ${\displaystytype \varphi$}을 얻게 된다$$.

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi = PO ^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}- PO ^{2}}:{2\rho r}={\frac {\rho ^{2}-\Pi(P)}{2\rho r}}}}}}}}}}$

(${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ 원 접선에 대한 정규 분임)

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 파란색 원 안에 있으면$$ )< 0 ${\displaystyle \Pi(P)<0}$ 및 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(가) 항상 ${\displaystyle {90}^{˚}}$ ${\$와 다르다$$$.$

각도 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 주어진$$ 경우, 2차 방정식을 풀어서$$ 반지름 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을 얻는다.

${\displaystyle {\rho \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \rho }$ r ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \phi }$ - ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle \mathrm{P}}$ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r$\cos $\varphi -\Pi$ (P$)=0}$.

교차 초점 정리, 교차 화음 정리

교차하는 초점 정리 및 화음 정리에서 점의 힘은 불변성의 역할을 한다.

• 교차 세컨트 정리: For a point ${\displaystyle P}$ outside a circle ${\displaystyle c}$ and the intersection points ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ of a secant line ${\displaystyle g}$ with ${\displaystyle c}$ the following statement is true: ${\displaystyle P$$S_{1} \cdot PS_{2$} $=\Pi(P$ 따라서 $제품$은 g ${\displaystyle g}$ $선$에 독립적이다$.$ g ${\displaystyle g}$이(가) 접선된$$ $경우{\displaystyle {}_{}}$ P${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}이고$$ 문장은 접선-정리다.
• 교차 코드 정리: For a point ${\displaystyle P}$ inside a circle ${\displaystyle c}$ and the intersection points ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ of a secant line ${\displaystyle g}$ with ${\displaystyle c}$ the following statement is true: ${\displaystyle$$PS_{1} \cdot PS_{2} =-\Pi(P$ 따라서 제품은 $g선{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$과(와) 독립적이다$.$

과격축

Let ${\displaystyle P}$ be a point and ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ two non concentric circles with centers ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ and radii ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$. Point ${\displaystyle P}$ has the power ${\displaystyle \Pi _{$$원$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 i$}(P$$)\}.$ $\pi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( P ) =$$π 2 ( ${\displaystyle P}$) {\$displaystyle \Pi$_{1}($P)=\Pi _{2}(P)}$가 있는 모든 $점$의 $집합$은 급진축이라고 하는 선이다$$. 원형의 가능한 공통점을 포함하고 있으며$,$ $선{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{O\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ O ${\displaystyle \stackrel{}{2_{}}}$의 ${\$}}.

세컨트 정리, 화음 정리: 공통증거부

탄젠트-세컨트 정리를 포함한 두 가지 이론은 균일하게 증명될 수 있다.

$P{\displaystyle }$: ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$→ ${\$ P$:{\vec{p}}}$을(를) 포인트로$$ 하고, $c{\displaystyle }$: ${\displaystyle x^{\mathrm{}}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 0 ${\displaystyle$ c$:{\x}^{2}-r^{2}=$$0{\displaystyle \stackrel{}{}}$$}$ 원과$$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$ 임의$$ 단위 벡터로 한다. The parameters ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ of possible common points of line ${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ (through ${\displaystyle P}$) and circle ${\displaystyle c}$ can be determined by inserting the parmetric equation into the circle's 방정식:

${\displaystyle({\vec{p}+t{\vc{v}})^{2}-r^{2}=0\not \rightarrow \i1}{2}+2t\;{\vec{p}\cdot {\v}+{\vec{p}^{2}-r^{2}=0\ .}$

비에타의 정리로부터 다음과 같은 것을 알게 된다.

${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle p^{\mathrm{}}}$→ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\pi }}$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vc}^{2}-r^{2}=\Pi(P)}$. ($v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$

${\displaystyle \mathrm{\pi }}$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \Pi (P)}$은 $원{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$에 $대한$ P ${\displaystyle P}$의 힘이다$.$

${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\vec{v}} =$1} 때문에$$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \cdot {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \pi }$( P${\displaystyle }$) ${\$ = $t_{1}t_{2}=\Pi($$P$$)\backslash \},$ 만약 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$이 원 밖에$$ 있다면,

${\displaystyle PS_{1} \cdot PS_{2} =-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$, if ${\displaystyle P}$ is inside the circle (${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ have different signs !).

$t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$선$ g ${\displaystyle g}$은 접선이고$$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}(P}$) ${\displaystyle \Pi(P)}$ 포인트 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $P$$}$의 접선 거리의 제곱을$$ $원{\displaystyle }$ c ${\\displaystyle$ c$}$에 지정한다$.$

유사점, 두 원의 공통력

유사점

유사점들은 스타이너가 원을 조사하는 데 필수적인 도구다.^[5]

동그라미 두 개 주기

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ }$.

$동음이의어{\displaystyle {}_{}}$(유사성) ${\$1}를 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle c_{$1}에$$ 매핑하는 $2$$\{$1$},$ r $1{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle r_{1}}}$에 $확장{\displaystyle {}_{}}$(졸츠) ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$$${\$${1}, 중심$ $:$${\vec {z}}}$ on the line ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$, because ${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$. If center ${\displaystyle Z}$ is between ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ the scale factor is ${\displaystyle$$s=-{\tfrac{r_{$2}}{$r_{1$}:{1$\}\}$ 다른 경우 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle r\frac{{}_{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$}:{1}:{1$\}\}\}\}.$ 어떤 경우라도:

${\displaystyle \sigma ({\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$)${\displaystyle }$= z${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$+ s${\displaystyle (m_{\mathrm{}}}$→ 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$2$\}\}.$

$s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± r ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\$ {$r_{2}}:{r_{1$}:{1$}}}$을(를$$) $삽입$하고${\displaystyle \stackrel{}{}}$z$$→ {\$displaystyle {\vec{$z}}의$$ 산출량을 계산하는 방법:

${\displaystyle \stackrel{}{z}}$→${\displaystyle }$= r ${\displaystyle \frac{{}_{}{\stackrel{}{}}_{}}{}}$→ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{}_{}{\stackrel{}{}}_{}}{}}$→ ${\displaystyle \frac{1_{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ r ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\${r_{$1}{\vec{m}_{2}\mp r_{2}{\vec$ {{$m}}}}{r_{1$}}}}}{r_${1}\mp r_{2$

포인트

• ${\displaystyle E:{\vec {e}={\frac {r_{1}{\vec {r}-{2}-r_{2}{\vec {m}-{1}{r_{1}-r_{2}}:}$

외부 유사점이라고 불리며

• ${\displaystyle I}{\vec{i}={\frac {r_{1}{\vec {r_{m}+r_{2}{\vec {{m}}{1}{1}{r_{1}+r_{2}{2}{\vec}}{1}}+r_{2}}}}}$

내면의 유사점

$M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}분의$$ $경우{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$= ${\displaystyle I}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 받는다$.$
In case of ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$: ${\displaystyle \ E}$ is the point at infinity of line ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ and ${\displaystyle I}$ is the center of ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$.
$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle r_{1}= EM_{1} }}$의 경우 내부$$ E ${\displaystyle$ E$}($두 원 모두 공통 접선 라인의 같은 쪽에 있음)에서 원이$$ 서로 닿는다.
$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= I ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle r_{1}= IM_{1} }}$의 경우 바깥쪽$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 지점에서 원이 서로 닿는다(두 원 모두 공통 접선 라인의 서로 다른 쪽에 있음).

추가 정보:

• 원이 분리되어 있는 경우(디스크에는 공통점이 없음) $외부{\displaystyle }$ 공통 접선은 E ${\displaystyle E}$에서, $내부{\displaystyle }$ 접선은 I ${\displaystyle I}$에서 만난다$.$
• 한 원이 다른 원 안에 포함된 경우 $E{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E,I}$ 지점이 두$$ 원 안에 있다.
• $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ 쌍은 투영적 고조파 결합물이다. 이들의 교차 비율은${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$M ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E,}$ I${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$이다$.$

몽의 정리에는 다음과 같이 되어 있다. 세 개의 분리된 원의 바깥쪽 유사점은 선 위에 놓여 있다.

두 원의 공통력

Let ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ be two circles, ${\displaystyle E}$ their outer similarity point and ${\displaystyle g}$ a line through ${\displaystyle E}$, which meets the two circles at four points ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$. From the defi닝 $특성{\displaystyle }$E {\$displaystyle$ E$}$을(를) 얻음$$

${\displaystyle {\frac {EG_{1}{{1}{EG_{2}}}{{\frac {r_{1}:{1}}={\frac {EH_{1}{1}}{EH_{2}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \rightarrow \ EG_{1} \cdot EH_{2} = EH_{1} \cdot EG_{2} \}$

그리고 제2차 정리(위 참조)에서 두 방정식

${\displaystyle EG_{1} \cdot EH_{1} =\Pi _{1}(E),\quad EG_{2} \cdot EH_{2} =\Pi _{2}(E).}$

이 세 방정식을 조합하면 다음과 같다.

${\displaystyle \Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)=EG_{1} \cdot EH_{1} \cdot EG_{2} \cdot EH_{2} }}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \=EG_{1} ^{2}\cdot EH_{2} ^{2}\cdot EH_{1} ^{1}\}$

따라서 다음과 같다.

• ${\displaystyle EG_{1} \cdot EH_{2} = EG_{2} \cdot EH_{1} ={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}\ }$ (independent of line ${\displaystyle g}$ !).

내부 유사점 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 대한 아날로그 문장도 참이다$$.

The invariants ${\displaystyle \ {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}\ }$ are called by Steiner common power of the two circles (gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte).^[6]

$포인트$의 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $H$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 포인트는 반호몰로지 포인트다. $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$G ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$${1},$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}쌍은 동음이의어다.^[7][8]

두 원과 접하는 원의 결정

E ${\displaystyle E}$을(를) 통해 두 번째 시간 동안$:$

${\displaystyle EH_{1} \cdot EG_{2} = EH'_{1} \cdot EG'_{2} }$

세컨트 정리로부터 다음과 같은 것을 얻는다.

4포인트 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}\prime ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$_{1$},$G'$_{2$}}개가 원 위에 놓여$$ 있다.

그리고 유사하게:

네 점 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}}개도 원 위에 놓여$$ 있다.

세 개의 원의 급진적인 선들이 급진적인 선에서 만나기 때문에(논문: 급진적인 선 참조), 사람은 다음과 같은 것을 얻는다.

H ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}^{}\prime ,}G\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}^{}}}$의 ${\$ 주어진 두 원의 급진적인 축에서 만난다$$.

하단 세컨트(도표 참조)를 상단 세컨트 쪽으로 이동하면 빨간색 원이 두 개의 주어진 원과 접하는 원이 된다. 접선 원의 중심은 $M{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ H ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}¯,}$ ${\displaystyle M\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ G ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}}}${ 선${\$ {$M_{1}H_{1$}{1}:{1$}:{\overline {M_{2}G_{2}}:}$ 라인의 절편이다$.$ $H$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{H\mathrm{}}_{}^{}}}$ $1$${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}^{}\prime ,}G\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}}}$ G ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}_{}^{}}}$$$′${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}^{}\{}}$ ${{\$ {$H_{1}H'_{1$}:{1$},{\overline {G_{2}G'_{2}}:$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,$$G ${\displaystyle 2_{}}$에서$접선이 된다$ 접선은 과격한 $라인{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}($도표 노란색)에서 절편한다.

유사한 고려사항으로 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$도표 참조)에서 주어진 원을 충족하는 두 번째 접선 원이 생성된다.$$

주어진 원에 대한 모든 접선 원은 다양한 선 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ g$}$을(를) 통해 찾을 수 있다$.$

센터의 위치

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 중심이고$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \rho }$ 원 반지름이$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{G\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle H_{1},G_{2$}} 지점에서 주어진 원에 접하는 경우$:$

${\displaystyle \rho = XM_{1} -r_{1}= XM_{2} -r_{2}}:$

${\displaystyle \rightarrow \ XM_{2} - XM_{1} =r_{2}-r_{1}.}$

그러므로: 중심은 과볼라 위에 놓여있다.

Foci $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

꼭지점 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$r ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$

중심 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{M\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$

선형 편심 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{M{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ M ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\$und$$

${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ = M ${\displaystyle \frac{1{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{M\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}{}^{}}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$- r ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$)${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{2\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\$} $^{2$}-{1$}{$1}}-{1}}^{2$}-(r_{1}){4$

외부 접선 원에서의 고려사항은 아날로그 결과를 초래한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 중심이고$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$ 원 반지름이$$ $G{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle G_{1},H_{2$}} 지점에서 주어진 원에 접하는 경우$:$

${\displaystyle \rho = XM_{1} +r_{1}= XM_{2} +r_{2}}}$

${\displaystyle \rightarrow \ XM_{2} - XM_{1} =-(r_{2}-r_{1}).}$

중심은 같은 하이퍼볼라 위에 놓여 있지만, 오른쪽 가지에 놓여 있다.

아폴로니우스의 문제도 참조하십시오.

구체와 관련된 힘

원에 대한 점의 힘의 개념은 구체로 확장될 수 있다.^[9] 세컨트와 화음의 이론은 구체에도 해당하며, 원의 경우와 같이 문자 그대로 증명될 수 있다.

다르부스 제품

한 점의 힘은 두 원 사이의 다르복스 제품의 특수한 케이스로, 이 제품은 다음과^[10] 같이 주어진다.

${\displaystyle \left A_{1}A_{2}\right ^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

여기서 A와₁ A는₂ 두 원의 중심이고 r과₁ r은₂ 그 반지름이다. 한 점의 힘은 반지름 중 하나가 0인 특별한 경우에 발생한다.

두 원이 직교하면 Darboux 제품은 사라진다.

두 원이 교차하면 Darboux 제품은

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

여기서 φ은 교차각이다(직교 원 단면 참조).

라구에르 정리

라구에르어는 n의 대수곡선에 관한 점 P의 힘을 지름 d의 n번째 힘으로 나눈 원점으로부터 원곡선을 통과하는 거리의 산물로 정의했다(Laguerre 1905). 라구에르 는 이 숫자가 직경과 독립적이라는 것을 보여주었다(Laguere 1905). 대수 곡선이 원일 경우 이는 이 글의 나머지 부분에 정의된 원에 대한 점의 검정력과 완전히 동일하지는 않지만 d의² 인수에 의해 그것과 다르다.

참조

• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1: 323–392.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (in French), Gauthier-Villars et fils, p. 20
• Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 161–184.
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Springer, ISBN 978-3-540-11658-5

추가 읽기

• Ogilvy C. S. (1990), Excursions in Geometry, Dover Publications, pp. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter H. S. M., Greitzer S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington: MAA, pp. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Miflin ed.), New York: Dover Publications, pp. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 포인트의 파워와 관련된 미디어가 있다.

• 제이콥 스타이너와 컨버전스에서의 포인트의 힘
• Weisstein, Eric W. "Circle Power". MathWorld.
• 커트 더 코튼에서의 교차 코드 정리
• 화음과 상호작용 애니메이션의 교차
• 인터랙티브 애니메이션과 교차하는 세컨트 정리