섬유다지관

차동 기하학에서, 서로 다른 다지관의 범주에서, 섬유화된 다지관은 굴절성 침하이다.

즉, 각 지점 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y\in U}$에서 접선 매핑과 같은 처참하게 다른 매핑절망적이거나 동등하게, 그 ${\displaystyle \mathrm{순위}}$는 희미한 ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \dim B$와 같다$.$$}$^[1]

역사

위상에서는 1932년 허버트 세이퍼트의 논문에서 섬유(독일어로 파사르)와 섬유 공간(게페서터 라움)이라는 단어가 처음으로 등장했지만 그의 정의는 매우 특수한 경우에 한정되어 있다.^[2]그러나 오늘날 섬유 공간의 개념과 가장 큰 차이점은 현재 세이퍼트에게 섬유(위상적) $공간{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E$}의 기초 공간(위상적 공간)이라고 불리는 것이 구조의 일부가 아니라$$ $E{\displaystyle }$. {\$displaystyle$ E$.}$의 몫의 공간으로 파생되었다는 점이다.$$ 광섬유 공간의 첫 번째 정의는 1935년 하슬러 휘트니가 구면공간이라는 이름으로 주었지만 1940년 휘트니는 구면다발로 이름을 바꾸었다.^[3][4]

벡터다발, 주성다발, 위상섬유, 섬유다지관이 특수한 경우인 섬유화된 공간의 이론은 세이퍼트, 홉프, 펠드바우, 휘트니, 스텐로드, 에흐레스만, 세레, 그 밖의 다른 것에 기인한다.^{[5][6][7][8][9]}

형식 정의

$E$ ${\displaystyle E}$ 및 B$$ ${\displaystyle B}$이$(가)$ 서로 다른 다지관과 ${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle E}$→ B ${\displaystyle \pi$:$E\to B}$은(는) 굴절성 침하로 섬유 다지관이라고 불린다.^[10]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$을(를) 총 공간이라고 하고, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 베이스라고 한다.

예

• 모든 다른 섬유 묶음은 섬유로 된 다지관이다.
• 모든 다른 커버 공간은 분리된 섬유를 가진 섬유로 된 다지관이다.
• 일반적으로 섬유로 된 다지관은 섬유 묶음이 될 필요가 없다. 섬유마다 위상이 다를 수 있다.An example of this phenomenon may be constructed by taking the trivial bundle ${\displaystyle \left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)}$ and deleting two points in two different fibers over the base manifold ${\displaystyle S^{1}.}$ The result is a new fibered manifold whe2개를 제외한 모든 섬유들이 연결되어 있다.

특성.

• 임의의 굴절적 침하${\displaystyle \pi }$ : ${\displaystyle E}$→ B ${\displaystyle \pi$:$E\to B}$이(가$)$ ${\displaystyle \mathrm{열려}}$ 있음: 각 열린 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ E${\displaystyle }$, ${\displaystyle V\subseteq E}$에 대해 집합$$ $set{\displaystyle }$ ${\displaystyle (V}$ )${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$이(가) $B{\displaystyle }$. ${\displaystystyle B$에서 열려 있음$}$
• 각 섬유 $\pi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ B ${\displaystyle \pi ^{-1(b)\subseteq$ E$,b\in B}$는 치수$$${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle E}$ -${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \dim B$.의$$ $E{\displaystyle }$ ${\\\displaystystytype E}$의 폐쇄된 하위 관리이다$.$$}$^[11]
• 섬유로 된 다지관은 국부적인 부분을 허용한다.각 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y\in E$$}$에 대해 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\pi (y)}$의 열린 근린 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $U$$}$이(${\displaystyle 가}$) 있으며$$ 매끄러운 $매핑{\displaystyle }$ s${\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ E ${\displaystysty s:$${\displaystyle \mathrm{\pi s}}$가 $있는$ U${\displaystyle \backslash }$$to$ E$}$ = ${\displaystyle {Id}_{}}$ U ${\$ $및$ s${\displaystyle (\pi }$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$. ${\displaysty s(\pi (y)=y.$$}$
• 추측 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ B ${\디스플레이$ 스타일 $\pi$:$로컬$ 섹션$s가 존재$하는 경우에만 E\to B$}$은(는) 섬유화된 다지관이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle B}$→ E ${\displaystyle s:$$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 B\$to$ E$}($$$$with{\displaystyle }$s ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle {ID}_{}}$ B ${\$가 각 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystystyle y\in E.}$를 통과함

섬유 좌표

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 그대로 두십시오.$$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$은$($는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$(resp. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -dension$$) 다지관이다.섬유 다지관$({\displaystyle E}$ ,${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle B}$) ${\디스플레이$ 스타일$(E,\pi ,B)}$은(는) 섬유 차트를 허용한다$$.$E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 차트$({\displaystyle V}$, ${\displaystyle \psi }$) ${\displaystyle(V,\psi )}$이(가) 섬유 차트이거나, 굴절적 하류 ${\displaystyle \pi }$: E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ → B ${\displaystyle \pi$:$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 차트$({\displaystyle U}$, ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle (U,\varphi )}$이(가) 있는 경우$$$,$ $U{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle U=\pi (V)}$ 및

어디에

위의 섬유 차트 조건은 다음과 같이 동등하게 표현될 수 있다.

어디에 첫 $번째{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 좌표에$$ 대한 투영이다.차트$({\displaystyle U}$, ${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle (U,\varphi )}$은(는) 분명히 고유하다$$.In view of the above property, the fibered coordinates of a fiber chart ${\displaystyle (V,\psi )}$ are usually denoted by ${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$ where ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$${\displaystyle \sigma$$\in \{1,\ldots ,m\},}$${\displaystyle m=p-n}$ the coordinates of the corresponding chart ${\displaystyle (U,\varphi )}$ on ${\displaystyle B}$ are then denoted, with the obvious convention, by ${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$ where ${\displaystyle$$i\in \{1,\ldots,n\}.$$}$

반대로, 추측 $jection{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi$:$E\to B}$은(는) 섬유로 된 지도책을 승인한$$ 다음, $then{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :$$E\to B}$은(는) 섬유로 된 다지관이다.

로컬 사소한 부분화 및 섬유 번들

$E{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E\to B}$을(를) 섬유 다지관으로 하고$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 아무 다지관으로$$ 두십시오.그런 다음${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 스타일 \$left\{$지도와 함께$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 $U_{\\alpha }\오른쪽\}}$

다음과 같은 사소한 것 지도라고 한다.$V{\displaystyle }$. ${\displaystyle V.}$과(와) 관련된 로컬 단순화

A fibered manifold together with a manifold ${\displaystyle V}$ is a fiber bundle with typical fiber (or just fiber) ${\displaystyle V}$ if it admits a local trivialization with respect to ${\displaystyle V.}$ The atlas ${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\$$right)\right\}}$을(를) 묶음 지도책이라고 한다$$.

참고 항목

• 대수섬유공간
• 연결부(섬유 다지관) – 섬유 다지관 작동
• 커버 공간 – 다른 공간과 매핑되는 토폴로지 공간, 로컬에서 별도의 복사본처럼 보이는 공간
• 섬유 번들 – 현지의 사소한 조건을 만족시키는 지속적인 분사
• 진동 – 섬유 번들의 개념 일반화
• 내추럴 번들
• 준진동 – 수학의 개념
• Seifert 섬유 공간 – 위상 공간

메모들

참조

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on March 30, 2017, retrieved June 15, 2011
• Krupka, Demeter; Janyška, Josef (1990), Lectures on differential invariants, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Saunders, D.J. (1989), The geometry of jet bundles, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory. World Scientific. ISBN 981-02-1587-8.

역사적

• Ehresmann, C. (1947a). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Top. Alg. Paris (in French). C.N.R.S.: 3–15.
• Ehresmann, C. (1947b). "Sur les espaces fibrés différentiables". C. R. Acad. Sci. Paris (in French). 224: 1611–1612.
• Ehresmann, C. (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". C. R. Acad. Sci. Paris (in French). 240: 1755–1757.
• Feldbau, J. (1939). "Sur la classification des espaces fibrés". C. R. Acad. Sci. Paris (in French). 208: 1621–1623.
• Seifert, H. (1932). "Topologie dreidimensionaler geschlossener Räume". Acta Math. (in French). 60: 147–238. doi:10.1007/bf02398271.
• Serre, J.-P. (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Applications". Ann. of Math. (in French). 54: 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485.
• Whitney, H. (1935). "Sphere spaces". Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 21 (7): 464–468. Bibcode:1935PNAS...21..464W. doi:10.1073/pnas.21.7.464. PMC 1076627. PMID 16588001.
• Whitney, H. (1940). "On the theory of sphere bundles". Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 26 (2): 148–153. Bibcode:1940PNAS...26..148W. doi:10.1073/pnas.26.2.148. MR 0001338. PMC 1078023. PMID 16588328.

외부 링크

• McCleary, J. "A History of Manifolds and Fibre Spaces: Tortoises and Hares" (PDF).