투사적 단일군

수학에서 투사적 단일 그룹 PU(n)는 중심 U(1)의 오른쪽 곱에 의한 단일 그룹 U(n)의 몫으로, 스칼라로 내장되어 있다.추상적으로, 투사직교 그룹이 실제 투사 공간의 등거리 그룹인 것처럼, 복합 투사 공간의 홀로모르픽 등거리 그룹이다.

행렬의 관점에서 U(n)의 원소는 복잡한 n×n 단일 행렬이며, 중심 원소는 e에^iθ ID 행렬을 곱한 대각 행렬이다.따라서 PU(n)의 요소는 일정한 위상 θ에 의한 곱셈에 따른 단일 행렬의 동등성 등급에 해당한다.

추상적으로 보면, 에르미트 공간 V가 주어진 그룹 PU(V)는 투영 공간 P(V)의 자동형 그룹에 있는 단일 그룹 U(V)의 이미지다.

투영 특수 단일군

투영 특수 유니터리 그룹 PSU(n)는 직교 사례와 대조적으로 투영 유니터리 그룹과 동일하다.

U(n), SU(n), 그들의 센터, 그리고 투사적인 단일 집단 사이의 연결은 오른쪽에 보여진다.

특수 단일 집단의 중심은 통합의 n번째 뿌리의 스칼라 행렬이다.

${\displaystyle Z(\mathrm {SU}(n))=\mathrm {SU}(n)\cap Z(\mathrm {U}(n))\cong \mathbf {Z} /n}$

자연도

${\displaystyle \mathrm {PSU}(n)=\mathrm {SU}(n)/Z(n)\mathrm {PU}(n)=\mathrm {U}(n)로}$

제2차 이형성 정리에 의해 이형성(異形性)이다. 따라서

${\displaystyle \mathrm {PU}(n)=\mathrm {PSU}(n)=\mathrm {SU}/(\mathbf {Z}/n)}$

특수 유니터리 그룹 SU(n)는 프로젝트적인 유니터리 그룹의 n-폴드 커버다.

예

n = 1에서 U(1)는 아벨리아어이므로 중심과 동일하다.따라서 PU(1) = U(1)/U(1)는 사소한 그룹이다.

At n = 2, ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)}$, all being representable by unit norm quaternions, and ${\displaystyle \mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)}$ via:

${\displaystyle \mathrm {PU}=\mathrm {PSU}(2)=\mathrm {SU}/(\mathbf {Z} /2)\cong \mathrm {Spin}(3)=\mathrm {SO}(3)}$

유한장

One can also define unitary groups over finite fields: given a field of order q, there is a non-degenerate Hermitian structure on vector spaces over ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$ unique up to unitary congruence, and correspondingly a matrix group denoted ${\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}$ or $$${\displaystyle \mathrm{U}}$( ${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {U}(n,q^{2})$ 및$$ 마찬가지로 특수하고 투영적인 단일 그룹.편의를 위해 이 글은 $U{\displaystyle \mathrm{}(n}$ ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {U}(n,q^{2})$ 규칙을$$ 사용한다.

Recall that the group of units of a finite field is cyclic, so the group of units of ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$ and thus the group of invertible scalar matrices in ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}$ is the cyclic group of order ${\displaystyle q^{2}-1.}$ The c$U{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {U}(n,q$$^{$2$})$의 순서가 q +${\displaystyle 1^{}}$이며, c ${\displaystyle q^{}}$ + 1 =${\displaystyle 1}$.$$${\displaystyle c^{q+1}=1$$}$인 ${\displaystyle {}_{}}$인 단일 행렬인 스칼라 ${\displaystyle {행렬}_{}}$로 구성된다$.$$}}$ 특수 단일 그룹의 중심에는$$ gcd(n, q + 1)가 주문되어 있으며, n을 나누는 주문도 있는 단일 스칼라로 구성되어 있다.

The quotient of the unitary group by its center is the projective unitary group, ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}$ and the quotient of the special unitary group by its center is the projective special unitary group ${\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).$$}$ In most cases (n ≥ 2 and ${\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}$), ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}$ is a perfect group and ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}$ is a finite 단순 그룹(Grove 2002, Thm. 11.22 및 11.26)

PU(H)의 위상

PU(H)는 원 묶음을 분류하는 공간이다.

무한 차원 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 작용하는 행렬에도 동일한 구조를 적용할 수 있다$.$

렛 U(H)는 무한 차원 힐버트 공간의 유니터리 운영자들의 공간을 나타낸다.f: X → U(H)가 콤팩트 공간 X를 유니터리 그룹에 연속적으로 매핑하는 경우, 그 이미지의 유한 치수 근사치와 간단한 K-이론적 트릭을 사용할 수 있다.

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

하나의 지점에 대한 사소한 지도에 대한 동음이의어임을 보여주기 위함입니다.이는 U(H)가 약하게 계약가능하다는 것을 의미하며, 추가 논거를 통해 실제로 계약가능하다는 것을 알 수 있다.이는 행렬의 결정요인에 의해 주어진 U(1)에 대한 동종비례적 연속 매핑을 승인할 수 없는, 포함 지도에 따른 유한차원 사촌 U(n)와 그들의 한계 U(u)와는 대조적으로 순전히 무한 치수 현상이라는 점에 유의한다.

무한차원 유니터리 그룹 $U{\displaystyle \mathrm{}}$($){\displaystyle \mathrm {U}({\mathcal{H})$의 중심은 유한 치수 사례에서와 같이 U(1)로$$, 한 위상에 의한 곱셈을 통해 다시 유니터리 그룹에 작용한다.단일 집단이 0 행렬을 포함하지 않기 때문에, 이 작용은 자유롭다.따라서 $U{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm {U}({\mathcal{H$})은 U(1) 액션을 가진 계약 가능한 공간이며, U(1) 궤도의 공간은 U(1)의 분류 공간인 BU(1)로 식별한다.

PU(H)의 호모토피 및 (co)호몰로지

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ is defined precisely to be the space of orbits of the U(1) action on ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$, thus ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ is a realization of the classifying space BU(1).특히 이소모르피즘을 사용하면서

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

X 공간의 호모토피 그룹과 U(1) 원의 호모토피 유형과 결합된 BX 분류 공간의 호모토피 그룹 사이

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U}(1)={\begin{case}\mathbf {Z} &k=1\0&k\neq 1\end{case}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{P}}$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm {PU}({\mathcal {H})$의 호모토피 그룹을 찾음

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU})({\mathcal {H}))={\begin{case}\mathbf {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{case}}}$

따라서 Eilenberg-MacLane 공간 K(Z, 2)의$$ 대표로 $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$(${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$PU}({\mathcal$ {$H})$을(를) 식별한다.

따라서 $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$PU}({\mathcal$ {$H})}$은(는) K(Z, 2)를 나타내는 무한 차원 복합 투영 공간과 동일한 호모토피 유형이어야 한다$$.이것은 특히 그들이 이형동성 동종학 및 동종학 그룹을 가지고 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbf {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

표현

부선 표현

SO(3)가 2차원 표현을 하지 않는 것처럼, 일반적으로 PU(n)는 n차원 표현을 하지 않는다.

PU(n)는 SU(n)에 대해 조정된 동작을 가지고 있으므로 (n 2 -${\displaystyle {}^{}1}$) ${\displaystyle (n^{2}-1)}$ -차원 표현을$$ 가지고 있다$.{\displaystyle }$n = 2인 경우 이는 SO(3)의 3차원 표현에 해당한다.조정 작용은 PU(n)의 요소를 단계별로 다른 U(n) 요소의 동등성 등급으로 생각함으로써 정의된다.그런 다음, 이러한 U(n) 대표자 중 어느 한 명에게든 조정 조치를 취할 수 있으며, 모든 단계가 모든 것과 함께 진행되므로 취소한다.그러므로 그 행동은 대표자의 선택과 독립적이기 때문에 그것은 잘 정의된다.

투영적 표현

많은 애플리케이션에서 PU(n)는 어떤 선형적 표현에서 작용하지 않고, 대신에 투영적 표현에서 작용하며, 이것은 한 사람이 작용하는 벡터와 독립된 단계까지의 표현이다.이것들은 양자역학에서 유용하다. 물리적 상태는 위상까지만 정의되기 때문이다.예를 들어, 거대 페르미온 상태는 투영적 표현에 따라 변하지만 소그룹 PU(2) = SO(3)의 표현에 따라 변하지는 않는다.

그룹의 투영적 표현은 두 번째 통합적 코호몰로지(cohomology)에 의해 분류된다. 이 경우

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU})(n)=\mathbf {Z} /n}$

또는

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU}({\mathcal {H})=\mathbf {Z}.}$

유한 사례의 동종학 그룹은 번들에 대한 긴 정확한 순서와 위의 사실에서 도출할 수 있으며, SU(n)가 PU(n) 위에 있는 Z/n 묶음이다.무한대 사례의 코호몰로지(cohomology)는 무한대 복합적 투영 공간의 코호몰로지(cohomology)와 함께 위와 같은 이형성(異形性)

따라서 PU(n)는 전혀 투영적인 표현을 즐기지 않는데, 그 중 첫 번째는 그것의 SU(${\displaystyle n\mathcal{}}$) 커버의 기본 표현인 반면, $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}(}$ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {PU}({\mathcal {H})}$는 셀 수 없이 무한하다$$.늘 그렇듯이 그룹의 투영적 표현은 그룹의 중앙 확장자에 대한 일반적인 표현이다.이 경우, 각 프로젝트적인 단일 집단의 첫 번째 프로젝트적 표현에 해당하는 중앙 확장 집단은 우리가 PU의 정의에서 U(1)의 몫을 취한 원래의 단일 집단일 뿐이다.

적용들

꼬인 K이론

무한투사적 단일집단의 부선 작용은 꼬인 K 이론의 기하학적 정의에 유용하다.여기서 프레드홀름 연산자 또는 무한 유니터리 그룹에 대한$$ 무한 차원 P ${\displaystyle \mathrm{U}}$(${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm {PU}({\mathcal {H})$의 조정 액션이 사용된다.

트위스트 H로 꼬인 K 이론의 기하학적 구조에서 $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$PU}({\mathcal$ {$H})$은 번들의 섬유로, 서로$$ 다른 트위스트 H는 서로 다른 섬유에 해당한다.As seen below, topologically ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ represents the Eilenberg–Maclane space K(Z, 2), therefore the classifying space of ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ bundles is the Eilenberg–Maclane space K(Z, 3).K(Z, 3) 또한 제3 적분 코호몰로지 그룹의 분류 공간이므로, $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle U(}$ H ) ${\displaystyle \mathrmat {PU}({\mathcal {H})$ 번들은$$ 제3 적분 코호몰로지별로 분류된다.결과적으로, 꼬인 K 이론의 가능한 트위스트 H는 정확히 세 번째 통합 코호몰로지 요소들이다.

순수 양-밀스 게이지 이론

글루온만 있고 근본 물질이 없는 게이지 이론인 순수 양-밀스 SU(n) 게이지 이론에서 모든 장은 게이지 그룹 SU(n)의 부호에서 변한다.SU(n)의 Z/n 중심은 중앙에 위치하여 SU(n) 값 필드로 통근하므로, 센터의 조정 동작은 사소한 것이다.따라서 게이지 대칭은 Z/n에 의한 SU(n)의 몫이며, PU(n)는 위에서 설명한 조정 작용을 사용하여 필드에 작용한다.

이 맥락에서, SU(n)와 PU(n)의 구별은 중요한 물리적 결과를 가진다.SU(n)는 단순하게 연결되지만, PU(n)의 기본 그룹은 Z/n, 순서 n의 순환 그룹이다.따라서 보조 스칼라가 있는 PU(n) 게이지 이론은 스칼라의 기대값이 소용돌이를 둘러싸면서 PU(n)의 비경쟁 사이클을 감는 비경쟁 코드 2개 항을 가질 것이다.따라서 이러한 변태들은 Z/n에도 전하를 가지고 있는데, 이는 서로 끌어당기고 n이 접촉하면 전멸한다는 것을 의미한다.그러한 소용돌이의 예는 더글러스-SU(n) 세이베르크-위튼 게이지 이론의 선커 문자열.

참조

• Grove, Larry C. (2002), Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189

참고 항목

• 유니터리 군
• 특수 단일군
• 유니터리 연산자
• 투영직교군