실제형태(거짓말이론)

거짓말군과 거짓말대수
고전파 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n)
단순 거짓말 그룹 고전적인 가n 나n 다n 라n 특출난 사2 바4 마6 마7 마8
기타 거짓말 그룹 원형 로렌츠 푸앵카레 등각군 미분동형 고리 유클리드의
거짓말대수 리 군-리 대수 대응 지수지도 연접표 살상형태 색인 단순 리 대수 루프 대수학 아핀 리 대수
반단순 리 대수 Dynkin 다이어그램 대뇌하목 근계 웨일군 실물 복잡화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표상이론 거짓말그룹대표 거짓말 대수 표현 반단순 리 대수의 표현 이론 고전적인 리 군들의 표현 최고중량정리 보렐-바일-보트 정리
물리학의 거짓말군 입자물리학과 표현이론 로렌츠 군 표현 푸앵카레 그룹 표현 갈릴레이 군의 표현
사이언티스트 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카르탕 헤르만 바일 클로드 체발리 하리쉬찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
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수학에서 실수 형태의 개념은 실수와 복소수 분야에 걸쳐 정의된 객체와 관련이 있습니다. 실수 리 대수 g는₀ 복소₀ 리 대수 g의 복소화일 때 실수 리 대수 g의 실수 형태라고 합니다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbbb {R}\mathbb {C}.}$

실수 형태의 개념은 복소 리 군에 대해서도 정의될 수 있습니다. 복잡한 반단순 리 군과 리 대수의 실제 형태는 엘리 카르탕에 의해 완전히 분류되었습니다.

리 군과 대수 군에 대한 실수형

Lie 그룹과 Lie 대수 사이의 Lie 대응 관계를 사용하여, 실제 형태의 개념을 Lie 그룹에 대해 정의할 수 있습니다. 선형 대수군의 경우, 복소화와 실수 형태의 개념은 대수기하학의 언어로 자연스러운 설명을 가지고 있습니다.

분류

복소 반단순 리 대수가 Dynkin 다이어그램에 의해 분류되는 것처럼, 반단순 리 대수의 실제 형태는 Satake 다이어그램에 의해 분류되는데, Satake 다이어그램은 복소 형태의 Dynkin 다이어그램에서 일부 정점을 검은색(채움)으로 라벨링하고 다른 일부 정점을 화살표로 쌍으로 연결하여 특정 규칙에 따라 얻습니다.

복소 반단순 리 대수학의 구조 이론에서 기본적인 사실은 이러한 모든 대수학은 두 개의 특별한 실수 형태를 가지고 있다는 것입니다: 하나는 콤팩트한 실수 형태이고 리 대응 아래 콤팩트한 리 군에 대응합니다(그 사타케 다이어그램은 모든 정점이 검게 표시됨). 그리고 다른 하나는 분할된 실수 형태이며 압축에서 가능한 한 멀리 떨어져 있는 Lie 그룹에 해당합니다(Satake diagram에는 검게 칠해진 정점이 없고 화살표도 없습니다). 복소 특수 선형군 SL(n,C)의 경우, 콤팩트 실수형은 특수 유니터리군 SU(n)이고 분할 실수형은 실수 특수 선형군 SL(n,R)입니다. 반단순 리 대수의 실제 형태의 분류는 엘리 카르탕에 의해 리만 대칭 공간의 맥락에서 이루어졌습니다. 일반적으로 실제 형태는 두 가지 이상일 수 있습니다.

g가₀ 실수 영역에 대한 반단순 리 대수라고 가정하자. Cartan의 기준에 따르면 Killing form은 퇴화되지 않으며, 대각선 엔트리 +1 또는 -1과 함께 적절한 기준으로 대각선화될 수 있습니다. 실베스터의 관성 법칙에 따라 양의 엔트리 수, 즉 양의 관성 지수는 쌍선형 형태의 불변량, 즉 대각선화 기저의 선택에 의존하지 않습니다. 이것은 0과 g의 차원 사이의 숫자로, 그것의 지수라고 불리는 실제 리 대수의 중요한 불변량입니다.

실제 형태 분할

유한 차원 복소 반단순 리 대수 g의 실수 형태 g는 각각의 카르탕 분해 g = k ⊕ p에서 공간 p가 g의 최대 아벨리아 서브 대수, 즉 그 카르탕 서브 대수를 포함한다면 분할 또는 정상이라고 합니다. 엘리 카르탕은 모든 복소 반단순 리 대수 g가 동형 사상까지 유일한 분할 실수 형태를 갖는다는 것을 증명했습니다.^[1] 모든 실제 형태 중에서 최대 지수를 가지고 있습니다.

분할 형식은 검게 칠해진 정점이 없고 화살표가 없는 Satake 다이어그램에 해당합니다.

컴팩트리얼폼

실제 Lie 대수 g는₀ Killing 형태가 음의 정 확인, 즉 g의₀ 지수가 0이면 콤팩트라고 합니다. 이 경우 g = k는 콤팩트 리 대수입니다. 리 대응 하에서 콤팩트 리 대수는 콤팩트 리 군에 해당한다고 알려져 있습니다.

콤팩트 형식은 모든 정점이 검게 칠해진 사타케 다이어그램에 해당합니다.

컴팩트 리얼 폼 구축

일반적으로 콤팩트 실수 형태의 구축은 반단순 리 대수의 구조 이론을 사용합니다. 고전적인 리 대수의 경우 더 명확한 구성이 있습니다.

g를₀ 전치 맵 아래 닫힌 R 위의 행렬들의 실수 리 대수라고 하자,

${\displaystyle X\ to {X}^{t}}$

그런₀ 다음 g는 스큐 대칭 부분 k와₀ 대칭 부분 p의₀ 직접적인 합으로 분해됩니다. 카르탕 분해는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\opplus {\mathfrak {p}_{0}}$

g의₀ 착화 g는 g와₀ ig의₀ 직접적인 합으로 분해됩니다. 행렬의 실벡터 공간

${\displaystyle {\mathfrak {u}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\opplusi{\mathfrak {p}_{0}}$

는 복소 리 대수 g의 부분 공간으로, 연산자 아래에서 닫혀 있으며 스큐-헤르미트 행렬로 구성되어 있습니다. 다음으로₀ u는 g의 실제 Lie 부분대수이고, 그 Killing 형태는 음의 확실하며(이를 콤팩트 Lie 대수로 함), u의₀ 복잡도는 g입니다. 따라서₀ u는 g의 콤팩트한 형태입니다.

참고 항목

• 복잡화(거짓말 그룹)

메모들

참고문헌