표준 변환

해밀턴 역학에서 표준 변환은 해밀턴 방정식의 형태를 보존하는 표준 좌표(q, p, t) → (Q, P, t)의 변화다.이것은 때때로 형태 불변으로 알려져 있다.해밀턴 자체의 형태를 보존할 필요는 없다.정론적 변환은 그 자체로 유용하며, 해밀턴-자코비 방정식(보존량 계산에 유용한 방법)과 리우빌의 정리(그 자체로 고전적 통계 역학의 기초)의 기초를 형성하기도 한다.

라그랑지 역학은 일반화된 좌표를 기반으로 하기 때문에 좌표 q → Q의 변환은 라그랑지 방정식의 형태에 영향을 주지 않으며, 따라서 레전드르 변환에 의해 동시에 운동량을 변화시켜도 해밀턴 방정식의 형태에는 영향을 주지 않는다.

${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot{Q}_{i}}}.}$

따라서 좌표 변환(점 변환이라고도 함)은 표준 변환의 한 유형이다.그러나 기존의 일반화된 좌표, 순간 및 심지어 시간이 결합되어 새로운 일반화된 좌표와 순간들을 형성할 수 있기 때문에 표준 변환의 등급은 훨씬 더 넓다.시간을 명시적으로 포함하지 않는 표준적 변환을 제한된 표준적 변환이라고 한다(많은 교과서가 이 유형만을 고려한다).

명확성을 위해 우리는 여기서 발표를 미적분학과 고전역학으로 제한한다.등각다발, 외부파생물, 복합다지관 등 보다 진보된 수학에 익숙한 독자는 관련 공감각형주의 기사를 읽어야 한다.(캐논적 변환은 공감각형의 특수한 경우)그러나 현대 수학 서술에 대한 간략한 소개는 이 글의 끝에 포함되어 있다.

표기법

q와 같은 굵게 표시된 변수는 예를 들어 회전 중인 벡터처럼 변환할 필요가 없는 N 일반화된 좌표 목록을 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {q} \equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots,q_{N-1},q_{N}\right).}$

변수나 리스트 위에 점이 있으면 시간 파생상품(예:

${\daptyle {\dot {q}}}}\equiv {\frac {d\mathbf {q}{dt}}.}$

좌표수가 같은 두 목록 사이의 도트 제품 표기법은 예를 들어 해당 구성 요소의 제품 총합에 대한 속기다.

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$

도트 제품("내부 제품"이라고도 함)은 두 좌표 목록을 단일 숫자 값을 나타내는 하나의 변수로 매핑한다.

직접접근법

해밀턴 방정식의 함수 형태는

${\daptystyle {\begin{p}{\dot {\mathbf {p}}}}}-{\frac {q}\\\dot {\mathbf {q}}}}{\partial \mathbf {q}{pmathbf}}{p}}}}{partial }}}}}}}}}}}}.$

정의상, 변환된 좌표는 유사한 역학을 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}$

여기서 K(Q, P)는 반드시 결정해야 하는 새로운 해밀턴인(가밀턴인이라고도^[1] 함)이다.

일반적으로 변형(q, p, t) → (Q, P, t)은 해밀턴 방정식의 형태를 보존하지 않는다.(q, p)와 (Q, P) 사이의 시간 독립적 변환에 대해서는 다음과 같이 변환이 표준적으로 제한되는지 확인할 수 있다.제한된 변환은 (정의에 따라) 명시적인 시간 의존성이 없기 때문에, 새로운 일반화된 좌표_m Q의 시간 파생은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\dot{Q}}_{m}&, ={\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{q}}}\cdot{\dot{\mathbf{q}}}+{\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{p}}}\cdot{\dot{\mathbf{p}}}\\&, ={\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{q}}}\cdot{\frac{H\partial}{\partial \mathbf{p}}}-{\frac{\partial Q_{m}}{\partial \mathbf{p}. }}\cdot{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q}}\\&=\lbrace Q_{m}, H\rbrace \end{aigned}}}}}$

여기서 {⋅, ⋅}은(는) 포아송 괄호다.

우리는 또한 공극 모멘텀_m P에 대한 정체성을 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial P_{m}}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}}$

변환이 표준적이라면 이 두 가지가 같아야 하며, 그 결과 방정식이 발생한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({\frac{\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf{q},\mathbf{p}}&=-\left({\frac{\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf{Q},\mathbf{P}};=\left({\frac{\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathb,\mathbf{p}}및 \\\left({\frac{\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf{q}.f{Q},\mathbf {P} }\end{aigned}}}$

일반화된 모멘텀a_m P에 대한 유사한 주장은 다른 두 세트의 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}({\frac{\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf{q},\mathbf{p}}&=\left({\frac{\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf{Q},\mathbf{P}};=-\left({\frac{\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathb,\mathbf{p}}및 \\\left({\frac{\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf{q}.f{Q},\mathbf {P} }\end{aigned}}}$

이는 주어진 변환이 표준적인지 여부를 확인하기 위한 직접적인 조건이다.

리우빌의 정리

직접적인 조건들은 위상 공간의 부피가 표준적 변환, 즉, 표준적 변환에 의해 보존된다는 것을 기술하는 리우빌의 정리를 증명할 수 있게 해준다.

${\daystyle \int \mathbf {q} \,\mathbf {d} \mathbf {p} =\int \mathbf {Q} \mathrm {d} \mathbf {P}}$

미적분학으로 볼 때, 후자의 적분은 자코비안 J의 전 시간과 같아야 한다.

${\daystyle \int \mathbf {Q} \,\mathbf {d} \mathbf {P} =\int J\,\mathrm {d} \mathbf {q} \mathbf {p} }$

여기서 Jacobian은 부분파생상품의 행렬의 결정인자로, 우리는 다음과 같이 쓰고 있다.

${\displaystyle J\equiv {\frac {\partial(\mathbf {Q},\mathbf {P})}{\partial(\mathbf {q},\mathbf {p})}}}}$

야코비안 산출물의 "분할" 재산 활용

${\displaystyle J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}$

반복 변수를 제거하면

${\displaystyle J\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}}}{\partial (\mathbf {p} )}}}}\right.}$

위의 직접 조건을 적용하면 J = 1이 된다.

함수 접근 생성 중

(q, p, H)와 (Q, P, K) 사이의 유효한 변환을 보장하기 위해, 우리는 간접 생성 함수 접근방식을 이용할 수 있다.두 변수 모두 해밀턴의 원칙을 따라야 한다.That is the Action Integral over the Lagrangian ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Q$$P}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$ respectively, obtained by the Hamiltonian via ("inverse") Legendre transformation, both must be stationary (so that one can use the Euler–Lagrange equations to arrive at equations of the above-mentioned and designated form; as it is shown for example here):

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}$

두 변수 정수 등가치를 모두 만족시키는 한 가지 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$

Lagrangians는 한 사람은 언제나 일정한 λ에 들어가서 총 시간 미분.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{추가하여 번식시킬 수 있어서 유일무이하지 않고 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}dG/dt과 운동(참고:[1] 보)의 같은 방정식을 낸다

일반적으로 스케일링 계수 λ은 1과 동일하게 설정된다; λ 1을 확장 표준 변환이라고 하는 표준 변환. dG/dt를 유지하지 않으면 문제가 사소한 것으로 간주될 것이고 새로운 표준 변수가 이전 표준 변수와 다를 자유가 별로 없을 것이다.

여기서 G는 하나의 오래된 표준 좌표(q 또는 p), 하나의 새로운 표준 좌표(Q 또는 P) 및 (아마도) 시간 t의 생성 함수다.따라서 (이 네 가지 유형의 혼합물이 존재할 수 있지만) 변수의 선택에 따라 4가지 기본 유형의 생성 함수가 있다.아래와 같이 생성함수는 이전 표준 좌표에서 새로운 표준 좌표로의 변환을 정의하게 되며, 그러한 변환(q, p) → (Q, P)는 표준적인 것으로 보장된다.

1타입 발생함수

유형 1 생성 함수 G는₁ 구형 및 신형 일반화된 좌표에만 의존한다.

${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q},\mathbf {Q},t)}$

암묵적 변환을 도출하기 위해 정의 방정식을 위에서 확장한다.

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$

신좌표와 구좌표는 각각 독립적이므로 다음의 2N + 1 방정식은 반드시 고정되어야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

이러한 방정식은 다음과 같이 변환(q, p) → (Q, P)를 정의한다.N 방정식의 첫 번째 집합

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{1}:{1}{\partial \mathbf {q}}}}$

새로운 일반화된 좌표 Q와 이전 표준 좌표(q, p) 사이의 관계를 정의한다.이상적으로는 이러한 관계를 반전시켜 각 Q에_k 대한 공식을 구 표준 좌표의 함수로 얻을 수 있다.Q 좌표에 대한 이 공식들을 두 번째 N 방정식으로 대체

${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}{1}{\partial \mathbf {Q}}}}$

기존의 표준 좌표(q, p) 측면에서 새로운 일반화된 모멘트 a P에 대해 유사한 공식을 산출한다.그런 다음 두 공식을 모두 반전시켜 새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로서 이전 표준 좌표(q, p)를 얻는다.역공식을 최종 방정식으로 대체

${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{1}{\partial t}}$

새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로 K에 대한 공식을 산출한다.

실제로 이 절차는 발생 기능이 보통 간단하기 때문에 들리는 것보다 쉽다.예를 들어 보자.

${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$

이로 인해 순간의 일반화된 좌표와 그 반대의 좌표가 스와핑된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}$

그리고 K = H. 이 예는 해밀턴 공식에서 좌표와 모멘텀이 얼마나 독립적인지를 보여준다. 이 값은 등가 변수다.

2형 발생함수

타입 2 생성 함수 G는₂ 기존의 일반화된 좌표와 새로운 일반화된 모멘텀에 의해서만 달라진다.

${\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q},\mathbf {P},t)}$

여기서${\displaystyle }$- ${\displaystyle Q\mathbf{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle P\mathbf{}}$ ${\$ -$\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$항은$$ 아래 방정식의 오른쪽을 변경하기 위한 범례 변환을 나타낸다.암묵적 변환을 도출하기 위해 정의 방정식을 위에서 확장한다.

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$

기존 좌표와 새로운 모멘텀a는 각각 독립적이므로 다음의 2N + 1 방정식은 반드시 고정되어야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

이러한 방정식은 다음과 같이 변환(q, p) → (Q, P)를 정의한다.N 방정식의 첫 번째 집합

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}:{\partial \mathbf {q}}}}$

새로운 일반화된 순간 P와 오래된 표준 좌표들 (q, p) 사이의 관계를 정의한다.이상적으로는 이러한 관계를 반전시켜 구 표준 좌표의 함수로서 각 P에_k 대한 공식을 얻을 수 있다.두 번째 N 방정식으로 P 좌표에 대한 이 공식의 대체

${\displaystyle \mathbf{Q} ={\frac {\partial G_{2}}:{\partial \mathbf {P}}}}$

새로운 일반화된 좌표 Q에 대해 이전 표준 좌표(q, p) 측면에서 유사한 공식을 산출한다.그런 다음 두 공식을 모두 반전시켜 새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로서 이전 표준 좌표(q, p)를 얻는다.역공식을 최종 방정식으로 대체

${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}$

새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로 K에 대한 공식을 산출한다.

실제로 이 절차는 발생 기능이 보통 간단하기 때문에 들리는 것보다 쉽다.예를 들어 보자.

${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g}(\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P}}}$

여기서 g는 N 함수의 집합이다.이는 일반화된 좌표의 점 변환을 초래한다.

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}:{\partial \mathbf {P}}}}}}}}}=\mathbf {q}'t)}$

3타입 발생함수

타입 3 생성 함수 G는₃ 기존의 일반화된 모멘텀a와 새로운 일반화된 좌표에만 의존한다.

${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p},\mathbf {Q},t)}$

여기서 $q{\displaystyle \mathbf{}p\mathbf{}}$ ${\$ 용어는$$ 아래 방정식의 왼쪽을 변경하기 위한 범례 변환을 나타낸다.암묵적 변환을 도출하기 위해 정의 방정식을 위에서 확장한다.

${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$

신좌표와 구좌표는 각각 독립적이므로 다음의 2N + 1 방정식은 반드시 고정되어야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

이러한 방정식은 다음과 같이 변환(q, p) → (Q, P)를 정의한다.N 방정식의 첫 번째 집합

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p}}}}$

새로운 일반화된 좌표 Q와 이전 표준 좌표(q, p) 사이의 관계를 정의한다.이상적으로는 이러한 관계를 반전시켜 각 Q에_k 대한 공식을 구 표준 좌표의 함수로 얻을 수 있다.Q 좌표에 대한 이 공식들을 두 번째 N 방정식으로 대체

${\displaystyle \mathbf{P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q}}}}$

기존의 표준 좌표(q, p) 측면에서 새로운 일반화된 모멘트 a P에 대해 유사한 공식을 산출한다.그런 다음 두 공식을 모두 반전시켜 새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로서 이전 표준 좌표(q, p)를 얻는다.역공식을 최종 방정식으로 대체

${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{3}{\partial t}}$

새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로 K에 대한 공식을 산출한다.

실제로 이 절차는 발생 기능이 보통 간단하기 때문에 들리는 것보다 쉽다.

4타입 발생함수

유형 4 생성 함수 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}p\mathbf{}}$, ${\displaystyle P\mathbf{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p},\mathbf {P} ,t)$는 이전 및 새로운 일반화된 모멘텀에만 의존한다$$.

${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p},\mathbf {P},t)}$

여기서 $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle -Q\mathbf{}}$ ${\displaystyle P\mathbf{}}$ {\$displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$용어는$$ 아래 방정식의 양쪽을 변경하기 위한 범례 변환을 나타낸다.암묵적 변환을 도출하기 위해 정의 방정식을 위에서 확장한다.

${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$

신좌표와 구좌표는 각각 독립적이므로 다음의 2N + 1 방정식은 반드시 고정되어야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}$

이러한 방정식은 다음과 같이 변환(q, p) → (Q, P)를 정의한다.N 방정식의 첫 번째 집합

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}{\partial \mathbf {p}}}}$

새로운 일반화된 순간 P와 오래된 표준 좌표들 (q, p) 사이의 관계를 정의한다.이상적으로는 이러한 관계를 반전시켜 구 표준 좌표의 함수로서 각 P에_k 대한 공식을 얻을 수 있다.두 번째 N 방정식으로 P 좌표에 대한 이 공식의 대체

${\displaystyle \mathbf{Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P}}}}$

새로운 일반화된 좌표 Q에 대해 이전 표준 좌표(q, p) 측면에서 유사한 공식을 산출한다.그런 다음 두 공식을 모두 반전시켜 새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로서 이전 표준 좌표(q, p)를 얻는다.역공식을 최종 방정식으로 대체

${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{4}{\partial t}}$

새로운 표준 좌표(Q, P)의 함수로 K에 대한 공식을 산출한다.

표준 변환으로서의 동작

운동 그 자체(또는 동등하게, 시간 기원의 변화)는 규범적 변환이다.If ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )}$ and ${\displaystyle \mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )}$, then Hamilton's principle is automatically satisfied

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}$

유효한 궤적$({\displaystyle q\mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, p${\displaystyle }$( ${\displaystyle t\mathbf{}}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t)})$은 엔드포인트에 관계없이 항상 해밀턴의 원칙을 충족해야 하기 때문이다.

예

• The translation ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} }$ where ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ are two constant vectors is a canonical transformation. 실제로 ${\displaystyle {}^{}}$ matrix는 동일체로서 I T J I${\displaystyle }$= ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle$ I$^{\text{$$T}}JI=J}$.
• Set ${\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)}$ and ${\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)}$, the transformation ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} }$ where ${\displaystyle R\in SO(2)}$ is a rotation matrix of order 2 is canonical.특수 직교 행렬은 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$ R${\displaystyle }$= I ${\displaystyle$ R$^{\text{$$T}}R=I}$ 자코비안이 동정심이 있다는 것을 쉽게 알 수 있다$$.이 예제는 차원 2에서만 작동한다는 점에 유의하십시오. $S{\displaystyle O}$ (${\displaystyle 2}$ )$${\$displaystyle SO(2)}$은(는) 모든 행렬이 공통적인 유일한 특수 직교 그룹입니다.
• 변환$({\displaystyle Q}$ (${\displaystyle q}$ , p )${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$ (${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle p}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle q}$+ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle (Q($q,$p), P(q,p)=(q+f($$p),$$p$ 여기서 $)$는 $($p$){\$$displaystystyle p}$의 임의 함수다$.$Jacobian 매트릭스는 실제로 다음과 같이 주어진다: =[ 1 ) 0 ${\${bmatrix$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

현대 수학 서술

수학적 용어로 표준 좌표는 표준적인 단일 형식을 다음과 같이 쓸 수 있는 시스템의 위상 공간(코탄젠트 번들)에 있는 좌표다.

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,dq^{i}}}$

완전 미분(미분형)까지.표준 좌표 세트와 다른 표준 좌표 세트 사이의 변수의 변화는 표준 변환이다.일반화된 좌표 q의 색인은 위(${\displaystyle {qi}_{}}$ {\$$$displaystyle q^{i})$와 같이 첨자가 아닌 위(${\displaystyle {qi}^{}}$ ${\$로 여기에 기록된다.$$위첨자는 일반화된 좌표의 역변형 변환 특성을 전달하며, 좌표가 위력으로 상승되고 있음을 의미하지는 않는다.더 자세한 내용은 동형사상 기사에서 찾을 수 있다.

역사

표준 변환의 첫 번째 주요 적용은 1846년 찰스 들로나이(Charles Delaunay)에 의해 지구-문-선(Earth-Moon-Sun) 체계의 연구에서 이루어졌다.이 저작은 1860년과 1867년에 프랑스 과학 아카데미에 의해 한 쌍의 대본이 메무아르로 출판되는 결과를 낳았다.

참고 항목

• 동일체형성
• 해밀턴-자코비 방정식
• 리우빌의 정리(해밀턴어)
• 마티외 변환
• 선형 표준 변환

참조

• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2d ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated by Bell, S. J.; Sykes, J. B. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.