편자기상관함수

휴론호 깊이의 신뢰구간^[1] 편자기상관함수

시계열 분석에서 편자기상관함수(PACF)는 고정 시계열의 부분 상관 관계를 자체 지연 값과 함께 제공하며, 모든 짧은 지연에서 시계열 값을 회귀 분석합니다.다른 시차를 제어하지 않는 자기 상관 함수와 대비됩니다.

이 함수는 자동 회귀(AR) 모델에서 지연의 범위를 식별하는 것을 목적으로 하는 데이터 분석에서 중요한 역할을 합니다.이 함수의 사용은 시계열 모델링에 대한 박스-젠킨스 접근법의 일부로 도입되었다. 따라서 부분 자기상관 함수를 표시하면 AR(p) 모델 또는 확장 ARIMA(p,d,q) 모델에서 적절한 지연 p를 결정할 수 있다.

정의.

$z_{t}$ $z_{t}$ t $z_{t}$ {\ $displaystyle z_{t$ 에서 $lag$ k $(\$ \ $phi _{k,$ k $\phi _{k,k}$ 의 편자기상관은 $z_{t}$ $z_{t}$ $z_{t}$ { $displaystyle z_{t}$ 와 $z_{t}$ $z_{t+k}$ + $z_{t+k}$ (\ $displaystyle z_{t+k$ $사이$ 의 자기상관이다. $z_{t+1}$ t $z_{t+1}$ + $({$ 에서 $z_{t}$ $z_{{t+1}}$ $z_{t+k-1}$ t $z_{t+k-1}$ + $z_{t+k-1}$ - $({$ 을 $z_{{t+k-1}}$ (를) 제거했습니다 $.$ $1$ 로 z $z_{t+k}$ $t$ {\displaystyle $z_{t$ 와 $z_{t+k}$ z t + k $(\$ displaystyle $z_{t+k}$ z_{ $t+k})$ $z_{t+k}$ 의 자기 상관관계는 1 $(\displaystyle$ 1 $1$ ) ~ $k-1$ - $k-1$ (\^[2] $displaystyle k-1$ 에 의해 설명되지 않습니다.

\displaystyle \phi _{1,1}=\operatorname {corr}(z_{t+1},z_{t}),{\text{ for }k=1,}

\displaystyle \phi _{k,k}=\operatorname {corr}(z_{t+k}-{t}-{\hat {z}}_{t}), {\text{ for }k\geq 2,})

여기서 z

{\hat {z}}_{t+k}

^

{\hat {z}}_{t+k}

+

{\hat {z}}_{t+k}

{

{\hat {z}}_{t+k}

displaystyle

{

z

}

_ {

{\hat {z}}_{t}

t

+

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

k

} 、

{\hat {z}}_{t}

t

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

+

{\hat {z}}_{t}

}

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

、

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

. . , z t +

}

（ \

displaystyle \

{ t + 1 }

、 z _

{ t + 2 } 、 z _ { t +

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

} 、 z

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

t

+ 1

}

의

선형

\{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}

조합입니다.

z_{t}

z t {\

displaystyle z_{t

정지 프로세스의 경우 z

{\hat {z}}_{t+k}

^

{\hat {z}}_{t+k}

+

{\hat {z}}_{t+k}

{

displaystyle {z}_{t+k}}

와

{\hat {z}}_{t+k}

z

{\hat {z}}_{t}

^

{\hat {z}}_{t}

{

display

style

{z}_{t}

는

{\hat {z}}_{t}

{\hat {z}}_{t+k}

.^[3]

계산

정상 시계열의 이론적인 편 자기 상관 함수는 더빈-을 사용하여 계산할 수 있습니다.Levinson 알고리즘:

\displaystyle \phi _{n,n}=phfrac {rho (n)-\sum _{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k}}

1\leq k\leq n-1

서 1

1\leq k\leq n-1

1\leq k\leq n-1

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

n

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

1\leq k\leq n-1

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

k -

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

n

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

- 1,

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

n -

\phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}

, n - k

-

_ { n ,

k

} - \

phi _

{ n ,

n

} \

phi

_ { n - 1 , k } \ phi _ { n - 1, n -

k

1\leq k\leq n-1

} } \ phi _ { n - { n - 1 \

le

_ { n - k } } 。

위의 공식을 표본 자기 상관과 함께 사용하여 주어진 ^[7]^[8]시계열의 표본 편 자기 상관 함수를 찾을 수 있습니다.

예

다음 표에는 여러 ^[6]^[9]모형의 편 자기 상관 함수가 요약되어 있습니다.

모델	PACF
화이트 노이즈	편 자기 상관은 모든 시차에 대해 0입니다.
자기 회귀 모형	AR(p) 모형에 대한 편 자기 상관은 p보다 작거나 같은 시차에 대해 0이 아니며 p보다 큰 시차에 대해 0이 아닙니다.
이동 평균 모델	$\phi _{1,1}>0$ , 1 $\phi _{1,1}>0$ > $\phi _{1,1}>0$ { $display$ \ $phi$ _ { $1$ , $1 }$ > 0 $\phi _{1,1}>0$ 인 경우 편자기상관은 0으로 진동합니다.
이동 평균 모델	$\phi _{1,1}<0$ 1, $\phi _{1,1}<0$ < $\phi _{1,1}<0$ $\style$ \ $phi$ _ ${1,1}$ < $0$ 일 경우 편자기상관은 기하학적으로 0으로 감소합니다.
자기 회귀 이동 평균 모형	ARMA(p, q) 모형의 편 자기 상관은 기하학적으로 0으로 감소하지만 p보다 큰 지연 후에만 감소합니다.

편 자기 상관 함수의 동작은 자기 회귀 및 이동 평균 모형에 대한 자기 상관 함수의 동작을 반영합니다.예를 들어 AR(p) 계열의 편자기상관함수는 지연q를 가진 MA(q) 계열의 자기상관함수와 마찬가지로 지연p 후에 차단된다.또한 AR(p) 공정의 자기 상관 함수는 MA(q) ^[3]공정의 편 자기 상관 함수와 마찬가지로 사라집니다.

자기 회귀 모형 식별

시뮬레이션 AR(3) 시계열의 신뢰 구간을 사용한 표본 편 자기 상관 함수

편 자기 상관은 자기 회귀 ^[7]모형의 순서를 식별하는 데 일반적으로 사용되는 도구입니다.앞에서 설명한 바와 같이 AR(p) 공정의 편 자기 상관은 ^[6]^[9]p보다 큰 지연에서 0입니다.AR 모형이 적절한 것으로 확인되면 순서를 식별하는 데 도움이 되도록 표본 편 자기 상관도를 조사합니다.

AR(p) 시계열의 경우 p보다 큰 시차의 편 자기 상관은 거의 독립적이며 평균이 ^[10]0인 정규 분포입니다.따라서 선택한 z-score를 ${\sqrt {n}}$ {n ${\sqrt {n}}$ 로 나누어 신뢰 구간을 구성할 수 있습니다. 신뢰 구간을 벗어나는 부분 자기 상관 관계가 있는 지연은 AR 모델의 순서가 지연보다 크거나 같을 수 있음을 나타냅니다.부분 자기 상관 함수를 표시하고 신뢰 구간의 선을 그리는 것이 AR 모형의 순서를 분석하는 일반적인 방법입니다.순서를 평가하기 위해 그림을 검토하여 편 자기 상관 관계가 모두 신뢰 구간 내에 있는 시차를 찾습니다.이 지연은 AR 모델의 ^[2]주문일 가능성이 높습니다.

레퍼런스

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[:3-2] "6.4.4.6.3. Partial Autocorrelation Plot". www.itl.nist.gov. Retrieved 2022-07-14.

[:4-3] Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer Texts in Statistics. Cham: Springer International Publishing. pp. 97–99. doi:10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN 978-3-319-52451-1.

[4] Durbin, J. (1960). "The Fitting of Time-Series Models". Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 28 (3): 233–244. doi:10.2307/1401322. ISSN 0373-1138.

[5] Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer Texts in Statistics. Cham: Springer International Publishing. pp. 103–104. doi:10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN 978-3-319-52451-1.

[:1-6] Enders, Walter (2004). Applied econometric time series (2nd ed.). Hoboken, NJ: J. Wiley. pp. 65–67. ISBN 0-471-23065-0. OCLC 52387978.

[:0-7] Box, George E. P.; Reinsel, Gregory C.; Jenkins, Gwilym M. (2008). Time Series Analysis: Forecasting and Control (4th ed.). Hoboken, New Jersey: John Wiley. ISBN 9780470272848.

[8] Brockwell, Peter J.; Davis, Richard A. (1991). Time Series: Theory and Methods (2nd ed.). New York, NY: Springer. pp. 102, 243–245. ISBN 9781441903198.

[:2-9] Das, Panchanan (2019). Econometrics in Theory and Practice : Analysis of Cross Section, Time Series and Panel Data with Stata 15. 1. Singapore: Springer. pp. 294–299. ISBN 978-981-329-019-8. OCLC 1119630068.

[10] Quenouille, M. H. (1949). "Approximate Tests of Correlation in Time-Series". Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological). 11 (1): 68–84. doi:10.1111/j.2517-6161.1949.tb00023.x.

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