안티차인

수학에서, 순서가론의 영역에서, 반창고는 부분집합에서 어떤 두 개의 뚜렷한 원소가 비교할 수 없을 정도로 부분적으로 순서가 정해진 집합의 부분집합이다.

부분적으로 주문한 세트의 가장 큰 반창고 크기는 폭이라고 알려져 있다.딜워스의 정리로는, 이것은 또한 세트를 분할할 수 있는 최소 체인 수(전체적으로 순서가 정해진 서브셋)와 같다.다달리 부분적으로 순서가 정해진 집합의 높이(가장 긴 사슬의 길이)는 집합이 분할될 수 있는 최소 항적수(anticular)를 미르스키의 정리(Mirsky의 정리)에 의해 동일하다.

유한 부분 순서 집합에 있는 모든 반물질의 패밀리는 결합을 부여할 수 있고 운영을 충족시켜 분배 격자로 만들 수 있다.한정된 집합의 모든 하위 집합의 부분 순서가 정해진 시스템에 대해, 반점들을 슈페너 계열이라고 하며, 그들의 격자는 자유분산 격자이며, 디데킨드 수의 원소가 있다.보다 일반적으로 유한 부분 순서 집합의 반점 수를 세는 것은 #P-완전이다.

정의들

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 부분적으로 정렬된 집합으로$$ 두십시오.${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 순서가 지정된 집합의$$ ${\displaystyle a}$ $및{\displaystyle }$ $b$ ${\$$displaystyle b$$}$ 두 요소를 a${\displaystyle .}$ ${\$ b${\text{} 또는 }b\leq a.}$비교적 요소라고 하며, 두 요소가 비교되지 않으면$$ 비교 불가라고 $.$ 즉, x {\$displaystystyle$ $x}$와$}$는 비교가 비교되지$$ 않는다.$le{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \text{y}}$도 ${\displaystyle y}$도${\displaystyle x}$도${\displaystyle }$x도$$. {\$displaystyle x\leq$y{\$text{ 또는 }y\leq$ x$.}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 체인은 각 요소 쌍이 비교 가능한 부분 집합 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \subseteq }$ S ${\displaystyle C}$이다. 즉$$, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 완전히 순서 지정된다$$.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 안티케인은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 서브셋 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이며, 각$$ 요소 쌍은 비교할 수 없는 것이다. 즉, $A{\displaystyle .}$ ${\displaystystyle$ A$}$의 두 요소 사이에는 순서 관계가 없다($$그러나 일부 저자는 강한 안티케인을 의미하기 위해 "anticain"라는 용어를 사용한다.에서는 항균의 두 개별 요소보다 작은 포셋 요소가 없는 부분 집합.

높이와 너비

최대 반창고는 다른 반창고의 적절한 부분집합이 아닌 반창고다.최대 반창고는 적어도 다른 모든 반창고만큼 카디널리티를 갖는 반창고다.부분적으로 주문한 세트의 폭은 최대 반창고의 카디널리티이다.어떤 안티케인은 어떤 체인이라도 최대 하나의 요소에서 교차할 수 있으므로, 만약 우리가 주문의 $요소$를 k$${\$displaystyle$k} 체인으로$$ 분할할 수 있다면 주문 폭은 $최대{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$ k$}$이어야 한다($$만약 안티케인이 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$개$$ 이상의 원소를 가지고 있다면, 비둘기 구멍 원리에 의해 2개가 있을 것이다).같은 사슬에 속하는 ments, reconversion).딜워스의 정리에서는 이 구속에 항상 도달할 수 있다고 말하고 있다: 반제(反制)가 존재하며, 원소를 사슬로 분할하는 것이 항상 존재하기 때문에 사슬의 수는 반제(反制)^[1]의 원소의 수와 같으며, 따라서 폭도 같아야 한다.마찬가지로, 부분 순서의 높이를 체인의 최대 카디널리티로 정의할 수 있다.미르스키의 정리는 높이가 유한한 어떤 부분적인 순서에서, 그 높이는 그 순서가 분할될 수 있는 가장 적은 수의 항적과 같다고 말한다.^[2]

슈페너 가문

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -element$$ 집합의 하위 집합 포함 순서에 반하는 것을 Sperner 계열이라고 한다.서로 다른 슈페너 계열의 수는 디데킨드 숫자에 의해 계수되는데,^[3] 그 숫자 중 처음 몇 개는 디데킨드 수이다.

2, 3, 6, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788(OEIS의 후속 A000372).

빈 세트도 전원 세트에는 한 세트(빈 세트 자체)가 들어 있는 것과 한 세트도 들어 있지 않은 것 등 두 개의 반점이 있다.

참여 및 운영 충족

모든 $안티체인{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 하위 집합에 해당함$$

유한 부분 순서(또는 더 일반적으로 오름차순 조건을 만족하는 부분 순서)에서 모든 하위 집합은 이러한 형태를 가진다.두 하위 집합의 조합은 또 다른 하위 집합이며, 조합 운영은 다음과 같은 방식으로 반창고에 대한 결합 작업에 해당한다.마찬가지로, 다음과 같은 하위 집합의 교차점에 해당하는 반치수에 대한 일치 연산을 정의할 수 있다. 집합 $X$의 유한 부분 집합의 모든 유한한 반동물에 대한 결합과 충족 연산은 분배 격자, 즉 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 분배 격자에 대한 Birkhoff의$$ 표현 정리에는 모든 유한 분배 격자는 결합을 통해 대표될 수 있다고 명시되어$$ 있다$.$d 유한 부분 순서의 부동액에 대한 연산 또는 부분 순서의 하위 집합에 대한 조합 및 교차로 연산으로서 동등하게 충족한다.^[4]

계산 복잡성

최대 반창고(및 그 크기, 주어진 부분 순서의 폭)는 다항 시간에서 찾을 수 있다.^[5]일정 부분 순서가 정해진 세트의 반점 수를 세는 것은 #P-완전이다.^[6]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Antichain". MathWorld.
• "Antichain". PlanetMath.