약한 순서

수학, 특히 순서 이론에서 약한 순서는 집합의 순위라는 직관적인 개념의 수학적인 공식화인데, 그 구성원들 중 일부는 서로 묶여 있을 수도 있다.약한 주문은 완전 주문 세트(연계 없는 순위)를 일반화한 것으로, 부분 주문 세트와 사전 주문에 의해 일반화된다.^[1]

약한 순서를 공식화하는 몇 가지 일반적인 방법이 있는데, 서로 다르지만 암호화된 순서(정보의 손실이 없는 상호 변환 가능): 엄격한 약한 순서(비호환성이 전이적 관계가 되는 부분 순서 집합)로 공리화 될 수 있다(차이의 경우 전이적 관계가 있는 변환적 이진 관계).st 모든 요소 쌍 사이에 가능한 두 가지 관계 중 하나가 존재한다) 또는 순서 파티션(분할 하위 집합에 대한 전체 순서와 함께 요소 분리 하위 집합으로 구분).많은 경우에 효용 함수에 기초한 우선적 배열이라고 불리는 또 다른 표현도 가능하다.

순서가 약한 것은 순서가 정해진 벨 번호로 계산된다.파티션 미세화 알고리즘의 일부로 컴퓨터 과학과 C++ 표준 라이브러리에서 사용된다.^[2]

예

경마에서, 사진 마감을 사용하면, 전부는 아니지만, 넥타이나 (이런 맥락에서 부르는 것처럼) 데드 히트를 일부 없앴기 때문에, 경마의 결과는 약한 주문에 의해 모델링될 수 있다.^[3]2007년 메릴랜드 헌트컵 급경사의 한 예에서, 브루스는 확실한 우승자였지만, 두 마리의 말 버그 리버와 리어 차머가 공동 2위를 차지했고, 나머지 말들은 더 멀리 뒤에 있었다; 세 마리의 말은 끝내지 못했다.^[4]이 결과를 설명하는 약한 순서에서는, 브루스가 먼저일 것이고, 벅 리버와 리어 매력은 브루스의 뒤를 이을 것이지만, 완성된 다른 모든 말들보다 먼저 순위가 매겨질 것이고, 끝내지 못한 세 마리의 말은 순서에서 꼴찌가 되었지만 서로 묶여 있을 것이다.

유클리드 평면의 지점은 원소와의 거리에 의해 주문할 수 있으며, 무한히 많은 원소, 무한히 많은 원소(원소를 중심으로 한 공통 원에 속하는 점 집합)를 가진 약한 질서의 또 다른 예를 들 수 있다.이 순서는 비록 가장 작은 원소(원소 자체)를 가지고 있지만, 두 번째로 작은 원소도, 가장 큰 원소도 가지고 있지 않다.

정치선거에서 여론조사는 약한 질서와 유사하지만 다른 방식으로 수학적으로 더 잘 모델링된 일종의 질서의 예를 제공한다.여론조사 결과에서 한 후보가 분명히 다른 후보보다 앞서거나 두 후보가 통계적으로 동점이 될 수 있는데, 이는 두 후보의 여론조사 결과가 같다는 것이 아니라 서로 오차범위 내에 있다는 것을 의미한다.그러나 후보 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) $y{\displaystyle }$, ${\displaystyle y,}$과(와) 통계적으로 일치하고 y ${\$$displaystyle y$$}$이${\displaystyle (}$가) z${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$보다 $확실히{\displaystyle }$ 나은 x$$ ${\displaysty$ y$}$이(가) 될 수 있으므로$$ 이 경우에는 그렇지 않다.타산적 관계이런 가능성 때문에 이런 유형의 순위는 약한 순서에 비해 세미 순서에 맞게 모델링하는 것이 좋다.^[5]

공리화

그<>내내, 집합 S{S\displaystyle}(그, <, S×S{\displaystyle \,<, \,}하위 집합{S\times S\displaystyle}은)에{\displaystyle \,<, \,}이 균질의 이항 관계 평소와 다름 없이, 쓰기)<> 베{\displaystyle x<, y}과 봐야 한다는 x의<> 베{\displaystyle x<, y}가정해 보자.아니면 truea을 보유하고 있( , y ) <.${\$)\$in \,<.\,}$인 경우에만 해당.

엄격한 약한 순서

비교불가능성과 비교불가능성에 대한 예단

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 두 가지 $요소{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$$x$$}$과 $${\$displaystyle$ $\,<\},$ $displaystyle$ x$>{\text{},$}y<$x}$가 모두 사실인 경우 < ${\$ \, \}과 비교가 비교 불가하다고 한다$$.^[1]&lt에 관해서 Incomparability, S{S\displaystyle}에 만일는 것으로 추정될 수 있는<>{\displaystyle \,<, \,}은 반사하지 않는(그 x<>입니다;){\displaystyle x<, x}항상 거짓이다), 타동성 있는 재귀은{\displaystyle \,<, \,}자체가 균질 대칭 관계.그 유일한 적절한ty 이 "비균등성 관계"가 동등성 관계가 되기 위해 필요하다.$다음$을 선언하여$$ S ${\displaystyle$ S$}$의 유도 동종 관계${\displaystyle }$relation ${\$을(를) 정의하십시오.

여기서 중요한 것은 이 정의가 반드시 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle x\leq$ y$}$과() 같을 필요는 없다는 것이다. x <y> = ${\displaystyle$x <$y{\text{} 또는 }x=y$인 경우에만 해당된다$.$}2요소 x, yS∈{\displaystyle x,y\in S}&lt에 관해서;{\displaystyle \,<, \,}만일 x와 y{\displaystyle x{\text{과}}는 y}≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}(다소 말수가 많아, ≤{\displaystyle \,\leq}-equivalent)에 관해서 같다, 드가 비길 데 없는 있다.finition은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ 및 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ x ${\displaystyle x\leq y{\text{$및$$}$y\leq x}$가 모두$$ 참임을 의미한다.따라서 "관계는 <${\displaystyle$ 과 비교할 수 없다. 즉, "관계는 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \,\leq \}$ -eq$$ } -eq"와 같다(따라서, 특히 전자는 후자의 경우만 transitive).언제<>{\displaystyle \,<, \,}은 재귀적이지 않은 속성"incomparability의 타동성"(아래에 정의)로 알려진 것은 정확하게 조건이" 있≤{\displaystyle \,\leq}-equivalent"실제로 S에 대한 동치 관계를 형성하나 관계.{S.\displaystyle}언제 보장하기 위해 필요 충분.this는 ${\displaystyle y}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\$$displaystyle$ x$,y$$in S}$을(를) 만족하는 ${\displaystyle 두}$ 가지 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ $x$를 하나의 개체로 식별할$$ 수 있도록 허용한다$(특히$ 이 두$요소$는 공통 동등성 등급에서 함께 식별된다$).$

정의

세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 엄격한 미약 주문은 $엄격$한 부분 주문< S ${\displaystyle S}$에 대한 $엄격$한부분주문 < {\displaystyle $\,<\}>$에 의해 S ${\$$displaystystyle$ $S}$에 유도된 비교가능성 관계가 타산적 관계인 것이다.^[1]명시적으로 $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S}$에 대한 엄격한 취약 주문은 다음과 같은 네 가지 속성을$$ 모두 가진 동종 관계< ${\$$displaystyle \,<\}$이다.

1. 불변성:모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle x\in S}$에 x <x .${\displaystyle$x$<x>$는 사실이$$ 아니다$.$$}$
   • 이 조건은 $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S$$}$의 유도 관계 ${\displaystyle \le }$ ${\$이(가) 반사적인 경우에만$$ 유지되며, 여기서 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle$$\,\$$leq$$$$\}$은(는$)$ ${\displaystyle y}$가 거짓인 경우에만 참임을$$ 선언하여 정의된다$$.
2. 전이성:모든 $x{\displaystyle }$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle x,y,z\in$ S$,}$의 경우 x < y<{\$displaystyle x <y{\text{}$ 및 }}$y}$인 x < z.{\$displaystyty$ x$<z>.$$}$
3. 비대칭:모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle$ x$,y\in S}$에 대해 x< ${\displaystyle$x$<y}}$이(가) 이면 <x {\$displaystyle y>는$거짓이다.
4. 비호환성의 전이성:S∈ 모든 x, y, z,{\displaystyle x,y,z\in S,}가 된다면 x{\displaystyle)}y{이\displaystyle}(의미는 x<, y{\displaystyle x<, y}도 망설이는<>){\displaystyle y<, x}사실이다)이 장착되고 y{이\displaystyle}z,{\displaystyle z,}다음과 비교할 수 없다 비교할 수 없다. ){\disp$레이스타일 x}$은(는) $z{\displaystyle }$. ${\displaystyle z$와 비교할 수 없다$.$$}$
   • {\displaystyle \,<, \,}, 만약 그들이 유도 관계에 존경 ≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}과 같다 2요소 x및 y{\displaystyle x{\text{과}}는 y}&lt에 관해서;(정의에 의해 x이 어두워져서 ≤을 의미하며 y≤ x{\displaystylex\leq는 y{\text{과}}y\leq X 비길 데 없다}십시오e 둘 다 true) 이전과 같이 x${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle x\leq y}$은(는) y < ${\displaystyle$y$<x}$이(가) 거짓인 경우에만 true로 선언된다$$.따라서 이 조건은 "${\displaystyle x}$ 및 y ${\displaystyle$ x${\$$text$${} 및 }y}$에 의해 정의된$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $s$$}$의 대칭 관계가 ${\displaystyle \le }$ ${\$ $\backslash \}$에 대해 동등한 경우에만$$ 유지되며, 이는 ${\displaystyle \text{x}}$와 ${\displaystyle y}$ ${\displaystysty}이 항상$ ${\dis임$을 의미한다.$Playstyle \,\leq }$ -complete$$, ${\displaystyle y}$ 및 z ${\displaystyle$ y${\text$${}$ 및$}}$도 ${\displaystyle \le }$ ${\$$displaystyle \,\$$leq$$}$ -cs$$$}$이($가$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystystyle$ \, \,\leq $}$ -cs$$).This can also be restated as: whenever ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$ and also ${\displaystyle y\leq z{\text{ and }}z\leq y}$ then necessarily ${\displaystyle x\leq z{\text{ and }}z\leq x.}$

비록 이 세 가지 특성의 목록이 그 비대칭성을 내포하고, 그 불성실성과 전이성을 함께 내포하고 있지만, 특성 (1), (2) 및 (3)은 엄격한 부분 순서의 정의 속성이다.^[6]비호환성 관계는 항상 대칭적이며 만일 < ${\$이(위의 정의로 가정) 회복 불가능한 관계일 경우에만 반사적일 것이다.따라서 엄격한 부분 순서< ${\$은(는) 유도 비호환성 관계가 동등성 관계인 경우에만 엄격한 약한 순서다.이 경우 이러한 동등 클래스의, 그것의 동등 클래스 파티션 S{S\displaystyle}, 집합 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}엄격하게 전적으로 모든 A, B∈ P{\displaystyle A,B\in{년에 정의된 이항 관계, 또한<>에 의해 표시된,{\displaystyle \,<.}에 의해 주문할 수 있습니다.수학${P}}$을(를) 기준:

< B (또는 모든 경우에 동등하게)에 $대한{\displaystyle }$< ${\displaystyle A>{{B}{{b}$가 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B.}$${\displaystyle a\in A{\text{}, }b\in B$를 나타내는 $경우$에만 된다$.$$}$

칸막이 P{\displaystyle{{P\mathcal}에 S{S\displaystyle}의 반대로, 어떤 엄격한 주문 총액}}는 엄격한 약한 주문하고<>{\displaystyle \,<, \,}S{S\displaystyle}<>에 의해 정의한;b{\displaystyle a<, b}만일이 가져오거나 설정한, B∈ P{\displaysty 존재한다.르 A,B\in{) 파티션의$$ $mathcal {P}($으$)$로 A b B < ${\displaystyle a\in A,b\in,{\text{}, }A<B$.$}$

모든 부분적 질서가 비호환성을 위해 전이적 법칙을 준수하는 것은 아니다.예를 들어, b< > ${\displaystyle$$\{a,b,c\}$에 의해 정의된${\displaystyle \mathrm{집합}}${${\displaystyle a}$,$b$$,$c\}의 부분 순서를 고려하십시오$.$ $a{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ 및 ${\displaystyle a,}$ c ${\displaystyle a,b{\text{$및$}a,c}$ 쌍은 비교할 수 없지만$$ b ${\displaystyle b}$과 c ${\displaystyle c}$이(가) 연관되어 있으므로$$ 비비교성은 동등성 관계를 형성하지 않으며 이 예는 엄격한 취약성 순서가 아니다.

비교불가능성의 transitability(transitability와 transitability)도 다음과 같은 형태로 진술할 수 있다.

• < ${\displaystyle x<y}$인 경우, $모든{\displaystyle }$z ,$${\$displaystyle$ z$,}$ < < y{\$displaystyle x{\text{ 또는 }}z$ <$y}$ 또는 둘 다) 중 하나$$.

또는:

• 만약 x{\displaystyle)}는 y{이\displaystyle}과 그 다음에 모든 z≠에 비할 데가 없다),{z\neq는 y\displaystyle,}z≠는 y를 충족시키면{\displaystyle z\neq)}은()<>z와 y는<>z{\displaystyle x<, z{\text{과}}y<, z})또는(z<>x와 z<>y{\displaystyle z<,라는 주주가{\text{과}}z<, y}).또는(z{\displayst$yle z}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과(와) 비교할 수 없으며$$, $z$ ${\displaystyle z}$은(는) $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$과(와) 비교할 수 없다.$$

예약 총계

엄격한 미약 주문은 총 사전 주문이나 (비강요) 미약 주문과 매우 밀접하게 관련되어 있으며, 엄격한 미약 주문으로 모델링할 수 있는 동일한 수학적 개념도 총 사전 주문과 동등하게 모델링할 수 있다.총예약순서 또는 약순서란 어떤 두 가지 요소가 비교 가능한 사전순서를 말한다.^[7]총 사전 주문$≲{\$은(는) 다음 속성을 충족한다$$.

• 전이성:모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle x,y,{\text{과}z,$ $만약{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$≲ ${\displaystyle y}$와 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\lesssimy y{\text$ 및$}}$이(가$)$ 있다면 $x$$$${\displaystyle \lesssim }$ z${\displaystyle }$. ${\displaystystyle$ x\$lesssim z.$$}$
• 강력한 연결성:모든 $x{\displaystyle }$ 및 ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x{\text{}$및 }$y,}$x${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \text{또는}}$ y ${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle x}$≲. ${\displaystyle x\lesssimy$ y${\text{} 또는 }y\lesssim$ x$.}$
  • 반사율을 암시하는 말: 모든 $x{\displaystyle }$ ,${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="x,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.977ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="610">}}$ ${\displaystyle \lesssim }$ x${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$\lesssim$ x$.}$

전체 순서는 대칭인 총 사전 순서, 즉 부분 순서인 총 사전 순서다.총 예약 주문량을 선호 관계라고도 한다.

엄격한 약질서의 보완은 총예약이며, 그 반대의 경우도 마찬가지지만, 엄격한 약질서와 총예약주문을 원소의 순서를 뒤집기보다는 보존하는 방식으로 연관시키는 것이 더 자연스러워 보인다.따라서 우리가:엄격한 약한 주문하고<>,{\displaystyle \,<.}는<>y 때마다 그것은 그 상황이 아니야;x.{\displaystyle y<, x.})≲ y{\displaystyle x\lesssim y}설정하여 총 preorder ≲{\displaystyle \,\lesssim\와 같이,}를 보어의 그 반대한다.다른 방향에서, 엄격한 약한 순서를 정의합니다.$전체{\displaystyle }$ 사전 주문 ${\displaystyle \lesssim }$, ${\displaystyle \,\lesssim ,}$ y ${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle y\lesssim$ x$.}$이(가) 아닐 때마다 < ${\displaystyle$x>를 설정하십시오$$.

사전 순서에서 해당하는 동등성 관계가 있는데, $두{\displaystyle }$ $원소{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$${\displaystyle$ $x}$과 ${\displaystyle y}$${\displaystyle$ $x$. ${\displaystyle x\nesssim y{\text{}와 }}$총 사전 순서의 경우 동등성 클라스 집합에 해당하는 부분 순서가 정의된다$.$s는 총 주문이다.두 원소는 해당 엄격한 미약 주문에서 비할 수 없는 경우에만 총 사전 주문에서 동등하다.

순서 파티션

세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 파티션은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 조합으로$$ 하는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 비어 있지 않은 분리 하위 집합의 제품군이다$$.파티션 집합의 전체 순서와 함께 파티션은 리처드 P가 부르는 구조를 제공한다. 스탠리는 칸막이를^[9] 주문했고 테오도르 모츠킨은 세트 리스트를 만들었다.^[10]유한한 집합의 순서가 정해진 파티션은 분할된 집합의 유한한 순서로 기록될 수 있다. 예를 들어, 집합의 순서가 정해진 세 개의 파티션은 $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$, $}$ {\$displaystyle \{a,$b\}}이다$$.

${\displaystyle \{a\},\{b\}}$

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle b\},}$ { ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \{b\},\{a\},$ 그리고$$

$\displaystyle \{a,b\}.}$

엄격히 취약한 순서에서, 비호환성의 동등성 클래스는 세트 파티션을 제공하며, 세트들이 요소로부터 총 주문을 상속받아 순서 파티션을 발생시킨다.다른 방향에서는, 어떤 순서 분할이든, 두 요소가 분할의 동일한 집합에 속할 때 비교할 수 없을 정도로 엄격한 약한 순서를 만들어 내고, 그렇지 않으면 두 요소가 포함된 집합의 순서를 계승한다.

함수별 표현

충분히 작은 카디널리티 집합의 경우, 실제 가치 함수에 기초하여 세 번째 공리화가 가능하다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) ${\displaystyle 설정}$된 경우${\displaystyle }$X${\displaystyle }$${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 값 함수 $f{\displaystyle }$ : X → R ${\displaystyle f:X\to \mathb$ {$R}$을(를) $설정$하여 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$에 엄격한 취약 순서를 유도함수$$

The associated total preorder is given by setting ${\displaystyle a{}\lesssim {}b{\text{ if and only if }}f(a)\leq f(b)}$ and the associated equivalence by setting ${\displaystyle a{}\sim {}b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b).$$}$

f ${\displaystyle f}$을(를) g$\$ f {\$displaystyle$ g\$circ$ f$}($복합함수)로 대체해도 관계가 변하지 않는다. $여기$서 g ${\displaystyle g}$은 $적어도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$. ${\displaystyf.}$의 범위에 대해 정의된 엄격히 증가하는 실제 값 함수다. 따라서 유틸리티$$ 함수는 선호 관계를 정의한다.이런 맥락에서 약한 순서는 특혜 배열이라고도 한다.^[11]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 유한하거나 계수 가능한 경우, X ${\displaystyle$X}의 $모든$ 약한 순서는 이러한 방식으로 함수로 나타낼 수 있다$$.^[12]그러나 그에 상응하는 실제 기능이 없는 엄밀하게 약한 질서가 존재한다.예를 들어, R ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}$의 사전 순서에는 이러한 함수가 없다.$$ 따라서 대부분의 선호 관계 모델에서 관계는 주문 보존 변환까지의 효용 함수를 정의하지만 사전 편찬 선호에 대해서는 그러한 함수가 없다.

보다 일반적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 세트인 경우 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은는) 엄격히 약한 순서인 집합이며$,$ F : X → Y {\$displaystyle$f$:X\to Y}$이$(가$) 함수인$$ 경우${\displaystyle ,}$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystystyle F}$은 $X{\displaystyle }$} 설정에 대해 엄격한 약한 순서를 유도한다$$.

As before, the associated total preorder is given by setting ${\displaystyle a{}\lesssim {}b{\text{ if and only if }}f(a){}\lesssim {}f(b),}$ and the associated equivalence by setting ${\displaystyle a{}\sim {}b{\text{ if and onl$$y({}f(a){}\sim {}f(b)일 경우).$$}$ $여기$서는 f ${\displaystyle f}$이(가) 주입 함수라고 가정하지 않으므로$$, $Y{\displaystyle }${\$displaystyle Y}$에 있는 등가 원소의 $클래스$가 X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $X$$.}$에서 등가 원소의 클래스를 더 크게 유도할 수 있다$$. 또한$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ f$}$은 돌출 함수로 가정되지 않기 때문에 등가 분류되지 않는다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$에 대해 더 작거나 빈 클래스를 유도할 수 있지만$$$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 파티션과$$ $Y{\displaystyle }$. ${\displaysty Y}$의 파티션을 매핑하는 주입 함수를 유도하므로$$ 유한$$ 파티션의 경우 $X$의 클래스 수가 있다.${\displaystyle X}$이(가) $Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ Y$.}$의 클래스 수보다 작거나 같음

관련 주문 유형

준주문은 엄격한 약소질서를 일반화하지만 비교불가능성의 과도성을 가정하지는 않는다.^[13]삼색인 엄격한 약질서를 엄격한 총질서라고 한다.^[14]그것의 보완물의 역순인 총 사전 순서는 이 경우에 총 순서가 된다.

는 엄격한 약한 위해<>;{\displaystyle \,<, \,} 다른 관련 reflexive 관계는 그것의 반사적 폐쇄,(non-strict)부분 순서 ≤. 2개 관련된 재귀 관계 대한에 둘 다 a는{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}different 서로 다르다는 것을{\displaystyle \,\leq.} <>b{\displaystyle a<, b}도 b<>;{\displaystyle b<.}:총 preorder에 대한 largeenough≲,{\displaystyle b\lesssim,}는 부분 순서는 반사적 직장 폐쇄로 주어진 에 우리가 받는≤ b{a\leq b\displaystyle}도 b≤ ≲ b{a\lesssim b\displaystyle}을 엄격한 약한 주문에 해당한다. .{\d$isplaystyle b\leq a.}$ 엄격한 총 주문에 대해$$ 이 두 연관된 반사적 관계는 동일하다: 해당(비강제) 총 주문.^[14]엄격한 약한 순서의 반사적 폐쇄는 직렬-병렬 부분 순서의 일종이다.

유한 집합의 모든 약한 주문

콤비네이터 열거

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -element$$ 세트의 뚜렷한 약세 주문(엄격한 약세 주문 또는 총 사전 주문으로 표시됨) 수는 다음 순서(OEIS에서 순차 A000670)로 지정된다.

다른 유형의 n-element 이진 관계 수

엘레멘츠	아무거나	타동사	반사적	대칭	프리오더	부분순서	총예약자	총순번	등가관계
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

S(n, k)는 두 번째 종류의 스털링 숫자를 가리킨다는 점에 유의한다.

이 숫자들은 푸비니 번호라고도 불리거나 벨 번호를 주문하기도 한다.

예를 들어, 라벨이 붙은 세트의 경우, 세 개의 항목이 모두 묶인 하나의 약한 순서가 있다.아이템을 1개의 싱글톤 세트와 2개의 동점 아이템으로 분할하는 세 가지 방법이 있는데, 각각의 파티션은 2개의 약한 주문(싱글톤이 2개 그룹보다 작은 주문과 이 주문이 역전된 주문)을 주어 6개의 약한 주문을 낸다.그리고 세트를 세 개의 단골격으로 분할하는 한 가지 방법이 있는데, 이것은 여섯 가지 다른 방법으로 완전히 주문할 수 있다.따라서 3개 품목에 대해 모두 13개의 서로 다른 약세 주문이 있다.

인접 구조

부분 순서와 달리, 주어진 유한 집합의 약한 순서의 집단은 일반적으로 주어진 순서에 대한 단일 순서 관계를 추가하거나 제거하는 움직임에 의해 연결되지 않는다.예를 들어, 세 요소의 경우, 세 요소가 모두 동점인 순서는 엄격한 약점 순서 또는 전체 사전 순서 공리화에서 같은 집합의 다른 약점 순서와 최소 두 쌍 이상 차이가 난다.다만 세트 내 취약한 순서가 더 높은 연계성을 갖는 다른 종류의 행보가 가능하다.이분법을 두 개의 등가 등급이 있는 약한 순서라고 정의하고, 순서와 관련된 두 요소 하나하나가 같은 방식으로 관련되거나 이분법에 묶여 있는 경우 주어진 약한 순서와 양립할 수 있도록 이분법을 정의한다.대안으로, 이분법은 약한 순서를 위한 데데킨드 컷으로 정의될 수 있다.그렇다면 약한 순서는 그것의 호환 가능한 이분법 집합으로 특징지어질 수 있다.라벨이 부착된 항목의 유한 집합의 경우, 이 이분법 집합에 한 번에 하나의 이분법을 추가하거나 제거하는 일련의 움직임에 의해 모든 쌍의 약한 순서가 서로 연결될 수 있다.게다가, 약한 순서가 정점인 비방향 그래프와 이것들이 가장자리로 움직이는 것은 부분적인 큐브를 형성한다.^[15]

기하학적으로, 주어진 유한 집합의 총 순서는 순면체의 정점으로 나타낼 수 있으며, 순면체의 면과 같은 집합에 있는 이분법들은 순면체의 정점으로 나타낼 수 있다.이 기하학적 표현에서, 세트 위의 약한 순서는 모든 다른 차원의 퍼무헤드론(퍼무헤드론 자체를 포함하되 빈 세트는 포함하지 않음)의 면에 대응한다.얼굴의 코디네이션은 그에 상응하는 약한 순서에서 동등성 등급의 수를 제공한다.^[16]이 기하학적 표현에서 약한 순서에 따른 움직임의 부분 큐브는 전극의 얼굴 격자의 커버 관계를 설명하는 그래프다.

예를 들어, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle n=3,}$의 경우$$, 세 원소의 순면체는 단지 정규 육각형일 뿐이다.육각의 얼굴 격자(육각형 자체를 얼굴로서 포함하되 빈 세트는 포함하지 않음)는 13개의 원소를 가지고 있는데, 이는 완전히 묶인 육각형 1개, 모서리 6개, 정점 6개에 해당하며, 넥타이 1개로 묶인 약한 순서 6개, 총 순서가 6개다.이 13가지 약한 순서에 대한 움직임 그래프는 그림에 나와 있다.

적용들

위에서 언급했듯이, 약한 질서는 효용 이론에 응용된다.^[12]선형 프로그래밍 및 기타 유형의 결합 최적화 문제에서 솔루션 또는 베이스의 우선순위는 종종 실제 가치의 객관적 함수에 의해 결정되는 약한 순서에 의해 주어진다. 이러한 순서에서 동점 현상을 "감소"라고 하며, 이러한 약한 순서를 정제하기 위해 몇 가지 유형의 동점 규칙이 사용되어 왔다.퇴행으로 인한 문제를 예방하기 위해 전체 순서에 포함시킨다.^[17]

컴퓨터 과학, 사전 편찬 폭 우선 검색 및 사전 편찬 위상학적 순서를 위한 파티션 기반 알고리즘에서도 약한 질서가 사용되어 왔다.이러한 알고리즘에서, 그래프의 정점에 대한 약한 순서(정점을 분할하는 집합의 집합과 집합의 총 순서를 제공하는 이중 연계 리스트로 표시됨)는 알고리즘의 과정에 걸쳐 점진적으로 정제되어, 결국 알고리즘의 출력인 총 순서를 산출한다.^[18]

C++ 프로그래밍 언어에 대한 표준 라이브러리에서 세트 및 멀티셋 데이터 유형은 템플릿 인스턴스화 시점에 지정되며 엄격한 취약 순서를 구현하는 것으로 가정되는 비교 함수에 의해 입력 내용을 분류한다.^[2]

참고 항목

• 비교가능성
• 사전 주문 – 반사적 및 전이적 이항 관계
• 약한 구성 요소, 주어진 관계와 일치하는 가장 약한 주문의 등가 하위 집합

참조