로그랭크 테스트

로그 순위 검정 또는 로그 순위 검정은 두 표본의 생존 분포를 비교하기 위한 가설 검정이다.이는 비모수 검정이며 데이터가 오른쪽으로 치우치고 관측 중단될 때 사용하는 것이 적절하다(기술적으로 관측 중단은 비정보적이어야 한다).측정이 사건 발생 시간(초기 치료부터 심장마비에 이르는 시간 등)일 때 대조 치료와 비교하여 새로운 치료의 효능을 확립하기 위해 임상시험에 널리 사용된다.이 테스트는 때때로 맨텔-콕스 테스트라고 불리는데, 네이단 맨텔과 데이비드 콕스의 이름을 따서 이름이 붙여졌다.로그랭크 테스트는 시간 기형 코크란-만텔-로 볼 수도 있다.헨젤 시험.

이 시험은 Nathan Mantel에 의해 처음 제안되었고 Richard와 Julian Peto에 의해 로그랭크 테스트로 명명되었다.^[1][2][3]

정의

로그 순위 시험 통계량은 관측된 각 사건 시간에 두 그룹의 위험함수 추정치를 비교한다.관측된 각 이벤트 시간에 그룹 중 하나에서 관측 및 예상 이벤트 수를 계산한 다음 이를 추가하여 이벤트가 있는 전체 시점의 요약을 얻음으로써 구성된다.

두 그룹의 환자(예: 치료 대 제어)를 고려하십시오.$1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 1,\ldots, J}$을(를) 두 그룹 모두에서 관찰된 이벤트의 고유 시간으로 설정하십시오$$.${\displaystyle {\mathrm{그룹}}_{}}$ 내 기간$$ $j{\displaystyle }$ ${\$displaystyle j${\displaystyle {\},}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$$ ${\$ 각각 기간 j {\$displaysty j}$이(아직 사건이 발생하거나 관측 중단되지 않은) 시작 시 "위험 상태"의 피험자 수로 한다$$.Let ${\displaystyle O_{1,j}}$ and ${\displaystyle O_{2,j}}$ be the observed number of events in the groups at time ${\displaystyle j}$. Finally, define ${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$ and ${\displaystyle O_{j}=O_{1$$,j}+O_{2,j}}$.

The null hypothesis is that the two groups have identical hazard functions, ${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$. Hence, under ${\displaystyle H_{0}}$, for each group ${\displaystyle i=1,2}$, ${\displaystyle O_{i,j}}$ follows a hypergeometric distribu파라미터 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ ${\displaystyle N_{}}$ $i{\displaystyle {}_{,}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ $O{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 등이 있는 tion$.$This distribution has expected value ${\displaystyle E_{i,j}=N_{i,j}{\frac {O_{j}}{N_{j}}}}$ and variance ${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\l$$eft({\frac{N_{J}-N_{i,j}}{N_{j}-1}\오른쪽)}$.

모든 $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots }$에 대해,$$J {\$displaystyle j=1$,\$ldots,$J}에 대해$,$ ${\displaystyle {\mathrm{로그}}_{}}$ 순위 통계는 ${\displaystyle {Oi,}_{}}$ j ${\$를 기대 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$와 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 아래에$$ 비교한다$.$로 정의된다.

${\displaystyle Z={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$ (for ${\displaystyle i=1}$ or ${\displaystyle 2}$)

중심 한계 정리에서는 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 무한대에 근접함에$$ 따라 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$의 분포가 표준 정규 분포로 수렴되므로$$ 충분히 큰 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ J$}$에 대한 표준 정규 분포로 근사치를 구할 수 있다$.$ 향상된 근사치는 다음과 같이 구할 수 있다.이 양을 Peto 및 Peto 논문의 부록 B에 기술된 바와 같이 첫 4분의 1과 일치하는 Pearson 유형 I 또는 II(베타) 분포와 동일시한다.^[2]

점근 분포

두 그룹의 생존 함수가 동일한 경우 로그 순위 통계량은 대략 표준 정규 분포를 따른다.단측 수준 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$검사는 > {\$displaystyle$Z>$z_{\\alpha }}}}}}$이며, $여기$서 z ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle z_{\\\$$alpha }}}}$은 표준$$ 정규 분포의 상위$\alpha {\displaystyle }$ ${\data$.위험비가 $is{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\}$인 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 총 피사체가 $있고{\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$$${\$displaystyle d$}은$$(따라서 $분석{\displaystyle }$ 시 n d$${\$displaystynd}$이(가) 예상된 사건 수가 됨)의 비율이다.각 그룹에 랜덤화된 s는 50%이고, 로그랭크 통계량은 평균$({\displaystyle log}$log${\displaystyle }$) n ${\displaystyle d\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\$\,$d}}}}}{$4$$}}}}, 분산 1을 사용하여 근사적으로 정규 통계량이다.^[4]For a one-sided level ${\displaystyle \alpha }$ test with power ${\displaystyle 1-\beta }$, the sample size required is ${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$ where ${\displaystyle z_{\alpha }}$ and $$${\displaystyle z_{}}$ ${\$}}}은$$(는) 표준 정규 분포의 수량이다.

공동분포

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}개가 동일한$$ 연구에서 서로 다른 두 시점의 로그 통계량이라고 가정한다(${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1} $이전$).다시 말하지만, 두 그룹의 위험 함수가 $위험{\displaystyle }$ 비율 ∆ ${\displaystyle \lambda}$과 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}:{1$},$ $d$ 2 ${\$}}: ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$≤ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}에 비례한다고 가정한다$$.$$. ${\displaystyle Z_{1}}$ and ${\displaystyle Z_{2}}$ are approximately bivariate normal with means ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$ and ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$ and correlation $d{\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}}{}}}$ 1 ${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}}{{}_{}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt{d_{1$}:{d_{2$\}\}\}\}\}.$ 데이터 모니터링 위원회의 연구 내에서 데이터를 여러 번 검사할 때 오류율을 올바르게 유지하기 위해 공동 분포를 포함하는 계산이 필요하다.

기타 통계와의 관계

• 로그 순위 통계량은 두 그룹을 비교하는 Cox 비례 위험 모델에 대한 점수 시험으로 도출할 수 있다.따라서 이 값은 해당 모형에 기초한 우도비 검정 통계량과 점증적으로 동등하다.
• 로그 순위 통계량은 비례 위험 대안이 있는 분포의 모든 계열에 대한 우도비 검정 통계량과 점증적으로 동일하다.예를 들어, 두 표본의 데이터가 지수 분포를 갖는 경우.
• If ${\displaystyle Z}$ is the logrank statistic, ${\displaystyle D}$ is the number of events observed, and ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ is the estimate of the hazard ratio, then ${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$. This relationship is useful(예를 들어, 발표된 기사에서) 두 개의 수량을 알 수 있지만, 세 번째 수량이 필요할 때.
• 관측치가 관측 중단될 때 로그 통계량을 사용할 수 있다.데이터에 관측 중단 관측치가 없으면 Wilcoxon 순위 합계 검정이 적절하다.
• 로그 순위 통계량은 사건이 발생한 시간에 관계없이 모든 계산에 동일한 가중치를 부여한다.Peto logrank 검정 통계량은 관측치가 많을 때 이전 사건에 더 많은 가중치를 부여한다.

검정 가정

로그랭킹 테스트는 카플란-마이어 생존 곡선과 동일한 가정을 바탕으로 한다. 즉, 검열은 예후와 무관하며, 연구 초기 및 후반에 모집된 피험자의 생존 확률은 동일하며, 지정된 시간에 발생한 사건이다.이러한 가정으로부터의 편차는 비교되는 그룹에서 다르게 충족되는 경우, 예를 들어, 한 그룹에서 검열 가능성이 다른 그룹보다 더 높은 경우 가장 중요하다.^[5]

참고 항목

• 카플란-마이어 추정기
• 위험비

참조