비에테의 공식

수학에서 비에트의 공식은 수학 $상수$ π의 역수의 두 배를 나타내는 중첩된 라디칼의 무한 곱입니다.

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.

공식의 이름은 1593년에 출판한 프랑수아 비에테(François Viète)의 이름을 따서 지어졌습니다.^[1] 무한한 과정을 나타내는 유럽 수학의 첫 번째 공식으로서 ^[2]극한 표현으로서^[3] 엄밀한 의미를 부여할 수 있으며 수학적 분석의 시작을 알립니다. 선형 수렴성을 가지며 π 계산에 사용할 수 있지만 이전과 이후의 다른 방법을 사용하면 더 큰 정확도를 얻을 수 있습니다. 또한 용수철과 질량의^[5] 시스템의 거동을 계산하고 통계적 독립성 개념에 대한 동기 부여 사례로 사용되었습니다.

공식은 원으로 수렴하는 중첩 다각형의 면적 또는 둘레의 텔레스코프 곱으로 유도할 수 있습니다. 또는 삼각법에서 반각 공식을 반복적으로 사용하면 레온하르트 오일러가 발견한 일반화된 공식으로 이어지며, 이 공식은 비에테의 공식을 특별한 경우로 사용합니다. 중첩된 뿌리 또는 무한 곱과 관련된 많은 유사한 공식이 현재 알려져 있습니다.

의의

프랑수아 비에테 (1540–1603)는 프랑스의 변호사, 두 명의 프랑스 왕의 추밀원, 그리고 아마추어 수학자였습니다. 그는 1593년에 이 공식을 그의 작품인 바리오룸 데레부스 매티컬리스 레스폰소룸(Variorum de rebus mathematicalis responseorum, liber VIII $이$ 시기에는 π을 (원칙적으로) 임의의 정확도로 근사화하는 방법이 오랫동안 알려져 있었습니다. Viète 자신의 방법은 Archimedes가 근사치를^[6] 구하는 데 사용한 다면체의 둘레로 원의 둘레를 근사하는 Archimedes의 아이디어를 변형한 것으로 해석할 수 있습니다.^[1]

{\frac {223}{71}<\pi <{\frac {22}{7}}.

그의 방법을 수학 공식으로 출판함으로써, 비에테는 $수학$ 에서 알려진 무한 곱의 첫 번째 사례와 π의 정확한 값에 대한 명시적인 공식의 첫 번째 예를 공식화했습니다. 유럽 수학에서 유한한 계산이 아닌 무한한 과정의 결과로 수를 표현한 최초의 표현으로,^[11] Eli Maor는 Viète의 공식을 수학적 분석의^[2] 시작으로 강조하고 Jonathan Borwein은 그 등장을 "현대 수학의 여명"이라고 부릅니다.^[12]

그의 공식을 이용해 $비에테$ 는 π을 소수 아홉 자리의 정확도로 계산했습니다. 그러나 페르시아의 수학자 잠시 ī $달$ 알카쉬 ī가 1424년에 9개의 십진법과 16개의 십진법의 정확도에 대한 π을 계산했기 때문에 이것은 당시 알려진 π에 대한 가장 정확한 근사치는 아니었습니다. 비에테가 공식을 발표한 지 얼마 되지 않아, 루돌프 판 끌렌은 비에테와 밀접하게 관련된 방법을 사용하여 π 35자리를 계산했는데, 이는 1610년 판 끌렌이 죽은 후에야 발표되었습니다.

수학적, 역사적 중요성 외에도, 비에테의 공식은 용수철과 질량의 무한한 사슬에서 서로 다른 주파수의 파동의 서로 다른 속도와 이러한 속도의 제한적인 $행동$ 에서 π의 출현을 설명하는 데 사용될 수 있습니다. 또한 이 공식을 동일한 함수의 곱의 적분과 동일한 라데마허 시스템과 관련된 적분의 곱으로 도출하면 통계적 독립성 개념에 대한 동기 부여 사례를 제공할 수 있습니다.^[13]

해석과 수렴

Viète의 공식은 다시 쓰여지고 한계식으로^[3] 이해될 수 있습니다.

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}={\frac {2}{\pi}},

어디에

{\begin {align}a_{1}&={\sqrt {2}\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}.\end{align}

$n$ ${\displaystyle$ $n$ $}$ 을 선택할 $n$ 때마다 극한의 식은 유한 곱이며, $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 이 $n$ 임의로 커지면 이러한 유한 곱은 Viète 공식의 값에 임의로 가깝게 접근하는 값을 갖습니다. Viète는 수학에서 극한의 개념과 엄격한 수렴의 증명이 개발되기 훨씬 전에 그의 연구를 했습니다; 이 극한이 존재한다는 최초의 증명은 1891년 페르디난트 루디오의 연구가 있기 전까지 주어지지 않았습니다.^[1]^[14]

한계의 수렴 속도는 주어진 정확도 자릿수를 달성하는 데 필요한 식의 항 수를 지배합니다. Viète의 공식에서 항의 수와 자릿수는 서로 비례합니다. 극한에서 처음 $n개$ 항의 곱은 $약$ $0$ .6n자리까지 정확한 π에 대한 식을 제공합니다. 이 수렴 속도는 $나중$ 에 π에 대한 무한 곱 공식인 월리스 제품과 매우 유리하게 비교됩니다. Viète 자신이 공식을 사용하여 9자리의 $정확도$ 로만 π을 계산했지만, 공식의 가속화된 버전은 수십만 자리의 π을 $계산$ 하는 데 사용되었습니다.

파생

비에테는 원 안에 새겨진 $2개$ 의ⁿ 변과 $2개$ 의^{n + 1} 변을 가진 정다각형의 넓이를 비교함으로써 그의 공식을 구했습니다.^[1]^[2] ${\sqrt {2}}/2$ 의 첫 번째 항인 2 ${\sqrt {2}}/2$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2$ 은 정사각형과 팔각형의 면적 비율이고, 두 번째 항은 팔각형과 육각형의 면적 비율 등입니다. 따라서 제품은 원에 대한 정사각형(순서의 초기 다각형)의 면적 비율을 제공하기 위해 망원경을 사용합니다(2-곤의 $n$ 극한의 경우). 대신 제품의 용어는 디곤(원의 지름, 두 번 세는 정사각형)과 정사각형의 비율, 정사각형과 팔각형의 비율 등으로 동일한 다각형 시퀀스의 둘레의 비율로 해석될 수 있습니다.^[25]

삼각형 항등식과 오일러 공식을 기반으로 또 다른 유도가 가능합니다. 이중각 공식 반복 적용

\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},

모든 양의 정수

n

에 대하여 수학적 귀납법에 의한 증명으로 이어집니다.

\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}\right)

$2 n sin(x /2 n)$ 항은 $n$ 이 무한대로 갈 때 극한에서 $x$ 로 가고 오일러의 공식은 이로부터 따릅니다. Viète의 공식은 이 공식으로부터 $x$ =π/2로 치환하여 얻을 수 있습니다.

참고문헌

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외부 링크

Viète의 Variorum de rebus mathematicalis responseorum, liber VIII (1593), 구글 북스. 공식은 페이지 30의 후반부에 있습니다.

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