도티 수

수학에서 도티 수는 방정식의 고유한 진짜 뿌리인 상수다.

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos x=x$

여기서 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \cos}$의 인수는 라디안으로 표시된다$$.도티 숫자의 십진 확장 $0{\displaystyle \mathrm{.739085...}}$$0.739085...$$}$.^[1]

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos(x)-x}$이(가) 엄격히 감소하고 있기$$ 때문에 한 지점에서 0을 교차할 뿐이다.${\displaystyle 이}$는 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$ 방정식이 하나의 실제 솔루션만 가지고$$ 있음을 의미한다.코사인 함수의 단일 실제값 고정점이며, 보편적인 유인 고정점의 비견적 예다.린데만-웨이어스트라스 정리 때문에 역시 초월수다.^[2]복합 변수 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 대한 일반화 ${\displaystyle \mathrm{사례}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$= z ${\displaystyle \cos$ z$=z}$는 루트가 무한히 많지만$$ 도티 수와는 달리 고정 포인트를 끌어들이지 못하고 있다.

Using the Taylor series of the inverse of ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ at ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ (or equivalently, the Lagrange inversion theorem), the Dottie number can be expressed as the infinite series ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}+\sum$$_{n\,\mathrm {}a_{n}\pi ^{n}}}$ 여기서 각각 n$$ ${\$은(는) 홀수 n에 대해 다음과^{[3][4][5][nb 1]} 같이 정의된 합리적인 수이다.

${\displaystyle {\displaysty}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

상수의 이름은 도티라는 프랑스 교수가 계산기의 코사인 버튼을 반복해서 눌러 번호를 관찰한 데서 유래한다.^[3]

만약 계산기가 각도를 각도로 잡도록 설정되어 있다면, 숫자의 순서는 $대신$ 0${\displaystyle .999847}$로 수렴될 것이다${\displaystyle \mathrm{...}}$$0.999847...$$\}\},$^[6] ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 180}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \leftleft\frac {}{180}x\right)=x$

메모들

참조

외부 링크

• Miller, T. H. (Feb 1890). "On the numerical values of the roots of the equation cosx = x". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 9: 80–83. doi:10.1017/S0013091500030868.
• Salov, Valerii (2012). "Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine". arXiv:1212.1027.
• Azarian, Mohammad K. (2008). "ON THE FIXED POINTS OF A FUNCTION AND THE FIXED POINTS OF ITS COMPOSITE FUNCTIONS" (PDF). International Journal of Pure and Applied Mathematics.