콤플렉스토러스

수학에서 콤플렉스 토러스(complex torus)는 특정한 종류의 복합 다지관 M으로, 그 기저에 있는 매끄러운 다지관이 일반적인 의미에서 토러스(즉, 일부 N개의 원들의 데카르트 산물)이다.여기서 N은 짝수 2n이어야 하며 여기서 n은 M의 복잡한 차원이다.

그러한 모든 복잡한 구조는 다음과 같이 얻을 수 있다: V 이소모르픽 V에서 실제 벡터공간으로 간주되는ⁿ C까지 격자 Ⅱ를 취하고, 그 다음에 인용군

콤팩트한 복합 다지관이다.모든 복잡한 토리는, 이등형성에 이르기까지, 이런 방법으로 얻는다.n = 1의 경우 이것은 타원곡선의 고전적인 기간 격자 구조다.n > 1 베른하르트 리만에게 있어, 복잡한 토루스가 대수적 품종이 되기 위한 필요조건과 충분한 조건을 발견하였다; 그러한 조건들은 복잡한 투영 공간에 내장될 수 있으며, 아벨리안 품종이다.

실제 투영 임베딩은 n > 1일 때 복잡하며(아벨리아 품종을 정의하는 방정식 참조), 여러 복잡한 변수의 세타 기능 이론(고정 계수를 갖는)과 정말로 공치적이다.n = 1. 컴퓨터 대수학은 작은 n에 대한 사례를 합리적으로 잘 다룰 수 있다.차우의 정리로는 아벨리안 품종 외에 어떤 복잡한 토러스도 투사적인 공간에 '적합'할 수 없다.

정의

복합토리를^[1] 정의하는 한 가지 방법은 콤팩트하게 연결된 복합 리 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$ 구조 지도가 복합 다지관의 홀로모픽 맵인 리 그룹이다.그렇게 콤팩트하게 연결된 모든 Lie 집단은 역교합적이며, 그들의 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle${\$mathfrak{g}}=$의 몫에 이형성이 있다.$T_{0}G}$ 커버$$ 맵은 연관된 Lie 그룹에 대한 Lie 대수 지수 맵이다.이 맵의 커널은 격자 ${\displaystyle \subset }$ $g{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\${g$}}$및 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}/\lambda \cong$ U$}$이다$.$

반대로 최대 등급의 복잡한$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ V$}$과 격자$$ lat${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$을(를) 감안할 때, 지수 복합 $다지관{\displaystyle }$ V /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$은 복잡한 Lie 그룹 구조를 가지며$$, 또한 콤팩트하고 연결된다.이것은 복잡한 토리의 두 가지 정의가 동등하다는 것을 암시한다.

복합토루스의 주기행렬

한가지 방법은 복잡한 torus[2]pg 9을 묘사하기 위한 g×의 기둥들이 격자Λ{\Lambda\displaystyle}의 토대 λ 1,…,λ 2g{\displaystyle \lambda_{1},\ldots(_{등}}을 기초 e1,…를 사용하여 확대에 해당하는 2g{\displaystyle g\times 등}행렬 Π{\displaystyle \Pi}을 이용하는 것이다. , e감속${\displaystyle {}_{}}$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 ${\displaystyle e_{1},\ldots, e_{g$$\}.$ 즉, 우리는 글을 쓴다.

그렇게그러면 torus $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$ /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle X=V/\Lambda }$을(를) 다음과$$ 같이 쓸 수 있다.If we go in the reverse direction by selecting a matrix ${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)}$, it corresponds to a period matrix if and only if the corresponding matrix ${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)}$ constructed by adjoining the complex conjugate matrix $'{\$을(를$)$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Pi }($으$$)로 이동하십시오$.$황당무계하다.$이렇게{\displaystyle \mathbb{}}$ 하면 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi}$의 열 벡터가 ${\displaystyle {}^{}}$ $g{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 격자에 걸쳐$$ 있으므로$$ R ${\$에 대해 선형 독립 벡터가 되어야 한다$.$

예

2차원 콤플렉스 토러스에는 형태의 주기 행렬이 있다.

를 들어, 예를어, 행렬관련 기간 행렬이 결정 인자 4를 가지기 때문에 기간 행렬을 형성한다.

정규화된 기간 행렬

치수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 모든 복합 $토러스{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$ /${\displaystyle }$/ ${\displaystyle X=V/\Lambda }$에 대해 $it$ {\$displaystyle \Pi }$ 형식의 주기 행렬이 있다.

where ${\displaystyle 1_{g}}$ is the identity matrix and ${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$ where ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$. We can get this from taking a change of basis of the vector space ${\displaystyle V}$ giving a block matrix of the form$위{\displaystyle }$${\displaystyle .det}$$$${\displaystyle \mathrm{Im}}$ (Z ) $style$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \det {\text{$Im$}(Z)\neq 0}$에 대한 조건은 해당 P {\displaysty P$}$ -matrix를$$ 살펴본 후 나타난다$$.이것은 반드시 비파괴 행렬이어야 하기 때문에.해 보면 이 블럭의 결인인상(人商人相)이 보기 때문이다시사하는 바가 있지

예

예를 들어, 우리는 2차원 복합 토러스(torus)에 대해 표준화된 주기 매트릭스를 다음과 같이 작성할 수 있다.

그러한 예로는 정규화된 기간 행렬이 있다.${\displaystyle \text{Im}}$(${\displaystyle Z}$)$${\$displaystyle {\text{Im}(Z)}$의 결정 요인이 0이 아니므로$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 2$+{\sqrt{2}}}$과 같다$.$

아벨 품종의 시대별

투영적인 복잡한 다지관, 따라서 대수적 다양성을 제공하는 기간 행렬을 얻기 위해서는 기간 행렬이 리만 이린 관계를 더욱 충족시킬 필요가 있다.^[3]

복합토리의 동형성

만일 우리가 ${\displaystyle \mathrm{복잡한}}$ $토리{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= V /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ X$=V/\Lambda }$과 X ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$/ ${\displaystyle \lambda {\mathrm{}}^{}}$ ′ ${\displaystyle {\prime }^{}}$′ {\$displaystyle$X'=$V'/\Lambda '}$을(를) 치수 $g$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ sty $g, g,$ g'의^{[2]pg 11} 동형상동형성(동형)을$$ 가지고 있다.

그룹 구조가 보존되도록 한다.이것은 여러 가지 결과를 가지고 있는데, 예를 들어 모든 동형성이 그들의 커버 공간의 지도를 유도한다.커버 맵과 호환되는.나아가 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 집단 동형성을 유도하기$$ 때문에 격자의 형태론으로 제한해야 한다. 주사가 있다.및 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \text{Hom}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}}$( (${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \rho _{$r}:{\$text}{$$홈}(X,X')\to {\text{$$홈$$}_{\mathb{Z}}}}(\Lambda ,\Lambda ')},$ 동형체 공간의 분석적이고 합리적인 표현이라고 한다.이들은 합리적인 차원 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {}^{}}$′$$≤ \ q${\displaystyle q\mathbb{}}$ Q ${\$$mathb$${Q$$}}$에 대한 일부$$ 정보를 결정하는 데 유용하다$.$

복합토리의 홀로모르픽 지도

복잡한 토리 사이의 동형질 지도의 등급은 매우 단순한 구조를 가지고 있다.물론 모든 동형성은 홀로모형 지도를 유도하지만, 모든 동형 지도는 동형성을 가진 특별한 종류의 홀로모형 지도의 구성이다.요소 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in$ X$}$에 대해 변환$$ 맵을 정의함

$x{\displaystyle }$x ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ x$+x_{0}}$ 그러면$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 복잡한 $토리{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$ X$,X'$ 사이에 홀로모르픽 지도가 있다면$$$,$ 이와 같은$$ 고유한 동형성 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ $′ {\x\to X'$이 있다.홀로모픽 지도를 보여주는 것은 복잡한 토리의 동음이의 집합보다 그리 크지 않다.

이소게이지스

복잡한 토리의 뚜렷한 동형질성의 한 부류는 이소생식이라고 불린다.이것들은 0이 아닌 커널을 가진 복잡한 토리의 내형성이다.예를 들어, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{Z}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$ 0$}}$을(를) 정수로$$ 지정하면 연결된 지도가 있다.

커널이 있는$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto n}$ x ${\displaystyle x\mapsto nx}$ 전송$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$에 대한 이형성$.$

이소모르픽 콤플렉스 토리

실제 벡터 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2g}}^{}}$ ${\$과(와) 집합에 복잡한 구조의 이형성이 있다.

그리고 이소모르픽 토리는 격자의 기초의 변경에 의해 주어질 수 있으며, 따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$( ${\displaystyle 2}$ g${\displaystyle }$) ${\displaystyle GL_{\mathb {Z} }}(2g)$의 행렬이 나타난다$.$$치수{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g$ $T{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$의 복합 토리의 이형성 등급 세트를 이중 코셋 공간으로 제공한다$.$은 차원 실지지제수는수수수수수수수수다.이것은 아벨리아 품종보다 훨씬 더 복잡한 토리가 있다는 것을 보여주는 아벨리아 품종의 모둘리의 치수를 고려할 때 중요하다.

라인 번들 및 자동 형태

단지 manifolds X{X\displaystyle} 들어, 특정한 복잡한 tori에는 L→ X{\displaystyle L\to X}이 하락 π ∗ L→ X5000{\displaystyle\pi ^{*}L\to{\tilde{X}}기능을 같이 묶는다는 construction[2]pg은 5710은 적인. 라인 관련된}π 1(X)의 그룹 cohomology{\displaystyle을 사용하여 사소한 것이다.\pi _{1}$(X$ 다행히 복잡한 토리의 ${\displaystyle {}^{}}$ $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle \stackrel{}{}\cong }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}${\$displaystyle$$$\$pi ^{*}L}$ 복잡한 라인 $번들 하나하나$가 사소한 것이 된다$$$.$

오토모피 요인들

첫 번째 그룹 코호몰로지 그룹부터 시작

우리는 그것의 요소들이 어떻게 표현될 수 있는지를 기억한다.$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$이(가) $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 작용하므로$$ 모든 피복에 대해 유도된 액션이 존재하므로$$, 이에 따라 다음 작업을 수행하십시오.The ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-action can then be repsented as a holomorphic map ${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$. This map satisfies the cocycle condition if매 $a{\displaystyle }$ ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X\stackrel{}{}}$~ ${\$ x$\in {\tilde {X}}}$에 대해$.$1-코실체 ${\displaystyle {Z\mathrm{}}^{}}$ 1 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$)의 아벨 그룹 ${\displaystyle$ Z$^{1}(\pi _{1}(X),$$H^{0}({\mathcal {O}_{\tilde{X}^{*})}}}$은(는) 오토모피 인자의 집단이라고 불린다.이러한 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 요인이라고도 불린다는 점에 유의하십시오.

복합토리에

복잡한 tori의 경우 이러한 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$은(는) 함수에 의해 제공된다$$.

코키클 상태를 따르는 것.이것들은 세타함수의 변환 법칙에 사용되는 자동형함수, 더 정확히 말하면 자동형함수들이다.또한, 그러한 지도는 모두 다음과 같이 쓸 수 있다.을 위해관련 라인 번들과 관련된 불변수를 계산하는 데 유용하다.

오토모피 인자의 선다발

Given a factor of automorphy ${\displaystyle f}$ we can define a line bundle on ${\displaystyle X}$ as follows: the trivial line bundle ${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$ has a ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-action given by

인자 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해$.$ 이 작업은 자유롭고 적절하게 불연속적이기 때문에 몫 번들복잡한 다지관이다.또한 투영 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle L}$→ X ${\displaystyle p:$커버링 투영${\displaystyle \pi }$에서 유도된$$ $L\to$ X$}$ : X${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$→$X$ {\displaystyle $\pi :{\tilde{X}\to$ X$\}.$ 이렇게 하면 지도가 나온다.이형성을 유도하는 것소기의 성과를 거두다

콤플렉스 토리

복합토리의 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}^{}}$ $H{\displaystyle {}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$ H$^{1}({\tilde{X$},{\$mathcal$ {$O}_{\tilde{X}^{*}}}\cong$ 0$})$이 있으므로 이형성이 있다.

복잡한 토리의 라인 번들을 관련 그룹 코호몰로지 1-164yle로 나타낸다.$일반적$으로 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$을(를) 격자$display$ {\displaystyle \$Lambda }$에 적어서 X ${\displaysty$ X$}$을(를) 정의하는$$ 것이 일반적이다$.$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 선다발의 이형성 클래스를 포함한다$.$

복잡한 토리의 체른 선다발 일등석

지수 정확한 시퀀스로부터

연결첫 번째 체르 클래스 맵이며, 관련 첫 번째 체르 클래스에게 라인 번들의 이소모르피즘 클래스를 보낸다.It turns out there is an isomorphism between ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ and the module of alternating forms on the lattice ${\displaystyle \Lambda }$, ${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$.Therefore, ${\displaystyle c_{1}(L)}$ can be considered as an alternating ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-valued 2-form ${\displaystyle E_{L}}$ on ${\displaystyle \Lambda }$. If ${\displaystyle L}$ has factor of automorphy ${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$ then교대 형태는 다음과 같이 표현할 수 있다.$\mu {\displaystyle }$,${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ $\$ {\$displaystyle$ \$mu,\lambda \in \lambda$ $},$ $v{\displaystyle }${$$V {\$displaystyle v\in$ V$\}.$

예

정규화된 기간 행렬의 경우

expanded using the standard basis of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ we have the column vectors defining the lattice ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$. Then, any alternating form ${\displaystyle E_{L}}$ on ${\displaystyle \Lambda }$ is of the form여러 호환성 조건을 충족해야 하는 경우.

라인 번들 및 세타 함수의 섹션

For a line bundle ${\displaystyle L}$ given by a factor of automorphy ${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$, so ${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$ and ${\$$displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in${\$text{Pic}(X$ $L{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {L}$ 섹션의 관련 덮개가 있음$$

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$이(가) 열려 있는 상태에서.그런 다음 글로벌 섹션에 대해 평가한 다음${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이$$ om : V →${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$V\to $\mathb$ {C$}}$의 holomorphic 함수 집합이다.비행기에 있는 세타 기능들이 바로 그것이다.반대로, 이 과정은 세타함수의 자동형 인자가 사실 복잡한 토러스 위에 선다발을 정의하는 자동형 인자인 경우 거꾸로 행해질 수 있다.

에르미트 형식과 호칭-휴버트 정리

$선다발{\displaystyle \mathbb{}}$ $L{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\$$mathb {Z}$-값$$ 2-폼 ${\displaystyle E_{}}$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$L}$에 대해서는 R ${\$으로 확장할 수 있다$.$${\displaystyle 그러면\mathbb{}}$ R ${\$ 값 교대형$$ E${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$다음$ 조건을$$ $충족$하는 V\time $V\to$ \mathb ${R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathb {Z}}$
2. ${\displaystyle }$$E{\displaystyle }$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E(v}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle E(iv, iw)=E(v,w)}($${\displaystyle \mathrm{w<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; E(iv,iw)=E(v,w)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3c677c5a726a1fa382e371ca70ce709277d4d1c2"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:19.525ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="172">}}$)},${\displaystyle }$w ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v,w\in V}$

라인 번들 $L{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$→ X$${\$displaystyle L\$${\displaystyle c}$}의$$ 일부 첫 번째 체르누스 $클래스{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}L}$)$${\displaystyle $c_{1}(L)}$의 확장이며$,$ 만족스러운$$ 것은 관련 Emitheratian $형식{\displaystyle }$H : ${\displaystyle V}$×${\displaystyle }$V → ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$\to \$time {C}$이 있다.

1. ${\displaystyle {\text}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\displaystyle H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

임의의${\displaystyle }v$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$, ${\displaystyle w}${$$V {\$displaystyle v,w\in$ V$\}.$

네론세베리 그룹

복잡한 torus $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$ /${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$ ${\displaystyle X=V$${\displaystyle /\backslash }$$Lambda }$의 경우, $V{\displaystyle }${\$displaystyle V}$에서 H ${\displaystyle H}$을(를$)$ Emidant formant formatian form $H{\displaystyle }$ {\displaystystytype V}로$$ $NS$(X$$)

체르누스 제1교시 출신이지$또한{\displaystyle }$ $우리$는 V${\displaystyle }${\\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $V}$에서 E( ( ,${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ E$(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathb {Z}}$과(으$)$의 교대 리얼 값 교대형 교대형 형식 $그룹$과도$$식별할 수 $있다$.

타원형 곡선의 은둔자 형태 예제

For^[4] an elliptic curve ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ given by the lattice ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$ where ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ we can find the integral form ${\displaystyle E\in {\text{$$Alt}}^{2}(\Lambda$,\$mathb {Z})$ 일반 교대 행렬을 보고 예상대로 동작할 수 있는 올바른 호환성 조건을 찾아냄으로써$$.If we use the standard basis ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ of ${\displaystyle \mathbb {C} }$as a real vector space (so ${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$), then we can write out an alternating matrix

$그리고{\displaystyle \mathrm{}}$ 1,${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1,\tau }$과(와) 관련된 벡터에 관련 제품을 계산한다$.$ 이것들은그런 다음 $벡터{\displaystyle \mathrm{}}$ 1,${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 1,\tau }$을(를) 사용하여 이러한 벡터의 내부 제품(표준 내부 제품 포함)을 가져간다$$.그래서 $만약{\displaystyle \mathrm{E}}$ ( ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}${\$displaystyle$ E$(\Lambda$,\$Lambda$)\$subset \mathb {Z$ , , , .그런 다음 위의 매트릭스에 대해 $E{\displaystyle (v}$, ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E(i}$ v${\displaystyle }$, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle E(v,w)=E(iv, iw)}$을$($를) 직접 확인할 수 있다.$고정형{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$에 대해$,$ $우리$는 통합형 ${\displaystyle {양식}_{}}$을$$E a {\$displaystyle$ E_${a}$로 쓸 것이다$.$그리고, 연관된 은둔자의 형태가 있다.에 의해 주어지는.$여기$서 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$

은둔자 양식의 반 문자 쌍

Emidian $양식{\displaystyle }$ H$${\$displaystyle$H}의$$ 경우 세미 문자가 지도임

것.따라서 지도 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$은(는) 은둔자 형태로 비틀어진 문자처럼 동작한다$$.Note that if ${\displaystyle H}$ is the zero element in ${\displaystyle NS(X)}$, so it corresponds to the trivial line bundle ${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$, then the associated semi-characters are the group of characters on ${\displaystyle \Lambda }$. It will turn out this corresponds$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $도{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle 0}$ 선$$ 번들 또는$$$$동등하게 그룹 ${\displaystyle {\text{Pic}}^{}}$ $X) {\displaystyle$ X}에 $대한$ {\displaystyle 0$}$선 번들 또는 문자 그룹을 계산하여 볼 수 있는 이중 토러스

${\displaystyle {\text{홈}}(\람바, U(1)}$

그 요소들은 지도로서 고려될 수 있다.

${\displaystyle \Lambda \to \mathb {R} \mathb {R} /\mathb {Z} \cong U(1)}$

등장인물을 보여주는 것은 형식이다.

${\displaystyle \chi(\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\오른쪽)}$

일부 고정식 이중 격자 벡터 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ ∗ { ${\displaystyle {\{}^{}}${ {\$displaystyle$ v$^{*}\$in \$Lambda$ $이것$은 이형성을 부여한다.

${\displaystyle {\text{홈}}(\Lambda ,U(1)\cong \mathb {R} ^{2g}/\mathb {Z} ^{2g}}}}}$

진짜 괴짜가 있는 등장인물들 중 하나야모든 쌍의 반차자와 연관된 은둔자 형식$({\displaystyle \chi }$, H${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\chi ,H)}$또는 반 문자 쌍의 집합은 그룹 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ($$ {\$displaystyle {\mathcal${P$}(\Lambda$ )를 형성하며, 여기서$$ 는

이러한 집단 구조는 새로운 세미카락터 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2$\}\}$ :에 준차르에 대한 종전의 정류법을 적용한 데서 비롯된다.이 그룹은 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle NS(X)}$에 종속되며 커널 ${\displaystyle \text{Hom}}$( ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$, ${\displaystyle \mathrm{U}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$Hom}}(\Lambda ,$U(1$)\},$ 정확한 시퀀스 제공이 돌출부는 모든 반 문자 $쌍$에 L${\displaystyle (H}$ ,${\displaystyle \chi }$) ${\displaystyle L(H,\chi )}$을(를) 연결하여 구성할 수 있다$.$

반 문자 쌍 및 선 번들

반문자 쌍$({\displaystyle H}$, ${\displaystyle \chi }$) ${\displaystyle (H$${\displaystyle {,\backslash \mathrm{chi}}_{}}$ $)}$의 경우, {$$${\$을${\displaystyle {(}_{}}$를) 지도로$$ can {\$displaystyle \Lambda }$

로 정의되어 있는.cocycle 관계직접 계산을 통해 쉽게 검증할 수 있다.그러므로 cocycle은 선다발을 결정한다.$여기$서 V ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ -taction$$ on $V{\displaystyle }$ × C ${\$은(는) 다음과 같이 지정된다$$.이 동작을 사용하여 $자동포함수{\displaystyle {}_{}}$ a${\displaystyle {(}_{}}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle )}$ $){\displaystyle$ L$(H,\$chi $)}$가 제공하는$$ 선다발 $L{\displaystyle (}$H,\$chi$ )의 단면을 표시할 수 있다(${\displaystyle H_{}}$ ,$){\$. Sometimes, this is called the canonical factor of automorphy for ${\displaystyle L}$. Note that because every line bundle ${\displaystyle L\to X}$ has an associated Hermitian form ${\displaystyle H}$, and a semi-character can be constructed using the factor of automorphy for ${\displaystyle L}$, we get a surjectionMoreover, this is a group homomorphism with a trivial kernel. These facts can all be summarized in the following commutative diagramwhere the vertical arrows are isomorphisms, or equality. This diagram is typically called the Appell-Humbert theorem.

이중 콤플렉스 토러스

앞에서 말한 바와 같이 격자의 문자는 함수로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \chi(\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\오른쪽)}$

일부 고정 이중 벡터 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {$$}} { ${\displaystyle {\{}^{}}${ {\$displaystyle$ v$^{*}\in$ \$Lambda$ $^\{*\}\}\}\}.$ 모든 문자의 실제 토러스 위에 복잡한 구조를 $놓으려면{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $∗ \{\$ \$Lambda$^{*}}}}}}}가$$ 내장된 복잡한 벡터 공간부터 시작해야 한다.복잡한 벡터 공간은

${\displaystyle {\overline {\Oomega}}={\text{홈}_{\overline {\mathb {C}}}}}}(V,\mathb {C} )}$

복잡한 반선형 맵의 경우, 실제 이중 벡터 공간 ${\displaystyle {\text{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$(${\displaystyle V\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$홈}_{\mathb {R}}}(V,\mathb {R}$ $)\},$ 이것은 문자를 적는 요인화의 일부다.게다가, 연관 격자가 있다.

${\displaystyle {\hat{\lambda }}=\{l\in {\overline {\Oomega }:\langle l,\Lambda \subseteq \mathb{Z}}}}}}}}$

$\lambda {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Lambda }$의 이중 격자로 불린다$.$ 그러면, 우리는 이중 콤플렉스 토러스(torus)를 형성할 수 있다.

${\displaystyle {\x}\cong {\Overline {\Oomega}/{\hat {\Lambda }}}$

이중 콤플렉스 토러스 이중성이 원래의 콤플렉스 토러스라는 특수성을 가지고 있다.더구나 위의 논의에서 $우리$는 X ${\displaystyle X}$의 Picard 그룹과 이중 복합 토러스(torus)를 식별할 수 있다.

${\displaystyle {\x}\cong {\text{Pic}^{0}(X)}$

반선형 이중 벡터 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$을(를) 다음으로$$ 전송

$\exp(2\pi i\langle l,\cdot \angle )}$

지도 주기

${\displaystyle {\overline {\Oomega}}\to {\text{홈}}(\람바, U(1)}$

이중 콤플렉스 토러스(torus)를 통한 요인.아벨 품종^{[1]pg 123-125} 이론의 기법을 이용한 이중 콤플렉스 토러스 구조도 있다.Essentially, taking a line bundle ${\displaystyle L}$ over a complex torus (or Abelian variety) ${\displaystyle X}$, there is a closed subset ${\displaystyle K(L)}$ of ${\displaystyle X}$ defined as the points of ${\displaystyle x\in X}$ where their translations are invariant, i.e.

${\displaystyle T_{x}^{*(L)\cong L}$

그 후, 이중 복합 토러스(torus)를 다음과 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\hat{X}:=X/K(L)}$

이등분해라고 표현하고 있어$X{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$을(를) 이렇게$$ 정의하면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\text{Pic}^{0}(X$의 보편적 특성을 만족하였음을 알 수 있으며, 따라서 실제로는 이중 콤플렉스 토러스(또는 아벨리안 버라이어티)가 된다.

푸앵카레 묶음

이중 콤플렉스 토러스 구성에서, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 제품 및 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 도 0선 번들의 모든 이형성 등급을 표시하는 데 사용할 수 있는 이중의 제품 위에$$ $선다발{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\displaystystyle$ {P$}$이($가)$가 있어야 한다고 제안되었다$.$ 이 동작을 인코딩할 수 있다.r 다음 두 가지 속성으로

1. ${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}${${\displaystyle {}_{}}$[ L ${\displaystyle {]}_{}}$} ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal {P} _{X\time \{[L]\}}}\cong L}$ 포인트$$${\displaystyle }$[${\displaystyle L}$] ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ ${\$$hat${$X}}}}}$ $선다$.
2. ${\displaystyle \mathcal{P}{}_{}{}_{}}${ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {\}}_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle {X\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\$은(는) 사소한 선다발이다$$.

여기서 첫째는 위에서 논의한 재산이고, 둘째는 정상화 재산으로 작용한다.다음 은둔자 형식을 사용하여$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 구성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\time {\overline {\Oomega }})\time (V\time {\overline {\\Obega })\mathb {C}\\\H(v_{1},l_{1}), (v_{2},l_{2})}{2})={\overline {l_{2}(v_{1})}+l_{1}(v_{2})\end{data}}}}$

그리고 반문자

${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda }\time {\hat {\\\lambda }\chi(\lambda, l0})=\exp(i\i\i1}l_{0})(\lambd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대해$.$ 이 데이터를 보여주는 것은 (${\displaystyle H}$,$){\displaystyle (H,\chi$ $)\}$의 관련 표준 요인을 보고 다양한 제한사항에서 그 동작을 관찰하는 것에서 비롯된다.

참고 항목

• 푸앵카레 묶음
• 콤플렉스 리 그룹
• 자동형 함수
• 중급 자코비안
• 타원 감마 함수

참조

• Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (1999), Complex tori, Progress in Mathematics, vol. 177, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, MR 1713785

복합 2차원 토리

• 아벨리안 표면이 타원곡선의 생산물에 이소모르픽 또는 이질적인가? - 아벨리안 품종이 아닌 복잡한 토리를 찾을 수 있는 도구 제공
• 타원곡선의 표면과 생산물

복잡한 토리에 게르베

• Gerbes and the Holomorphic Brauer Group of Complex Tori - 격자 위에서 서로 다른 형태를 사용하는 아이디어를 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\lambda }}$, ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\text{$$Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathb {Z}$ $)\},$ 복합 토러스 위에 게르베를 구성한다.
• 연결성이 있는 게르베에 대한 무카이 이중성 - 복잡한 토리의 게르베 예제를 포함한다.
• 복잡한 토리의 등가성 게르베
• 타원 감마 함수에 대한 게르베 - 복잡한 토리까지 확장할 수 있음

피아딕토리

• p-adic Abelian Integrals: 이론에서 실제로