불순물

유클리드 기하학에서 특별한 관심사는 유클리드ⁿ 공간 R에 걸쳐 선형 또는 부착된 변형인 비자발이다.그러한 비자발성은 특징 짓기 쉽고 기하학적으로 묘사될 수 있다.

선형 비자발

선형 비자발성을 주는 것은 비자발적 매트릭스, 즉 다음과 같은 제곱 매트릭스 A를 주는 것과 같다.

${\displaystyle A^{2}=I\quad \quad \quad \quad(1)}$

내가 정체성 매트릭스인 곳이지

원소가 모두 주 대각선으로부터 0으로 떨어져 있고 대각선 상에 ±1로 되어 있는 사각 행렬 D, 즉 양식의 시그니처 행렬을 재빨리 확인하는 것이다.

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

만족 (1) 즉, 선형 비자발성의 행렬이다.(1)을 만족시키는 매트릭스는 모두 형식인 것으로 밝혀졌다.

A=U ⁻¹DU,

여기서 U는 변환불능이고 D는 위와 같다.즉, 선형 비자발성의 행렬은 행렬 유사성까지 D형이다.기하학적으로 이것은 원점을 통과하는 0에서 n개의 하이퍼플레인에 대한 임의의 숫자에 대해 비스듬한 반사를 함으로써 선형 비자발성을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.(여기서 사용하는 사선반사라는 용어는 일반적인 반사를 포함한다.)

A가 그 형태를 가지고 있는 경우에만 A가 선형 비자발성을 나타내는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

A = ±(2P - I)

선형 투영 P.

불순물

A가 선형 비자발성을 나타내는 경우, x→A(x-b)+b는 불순물이다.실제로 어떤 접촉도 이런 형태를 가지고 있는지 확인할 수 있다.기하학적으로 이것은 어떤 접촉 비자발도 점 b를 통과하는 0부터 n개의 하이퍼플레인에 대한 임의의 숫자에 대해 비스듬한 반사를 취함으로써 얻을 수 있다는 것을 의미한다.

불순물은 고정점의 부착 공간의 치수로 분류할 수 있다. 이는 유사한 행렬 D(위 참조), 즉 고유값 1에 대한 아이겐스페이스 치수에 해당한다.

3D에서 발생하는 불순물은 다음과 같다.

• 정체성
• 평면에 대한 비스듬한 반사
• 선에 대한 비스듬한 반사
• 어떤 점에 대한 반영

등축 비자발

고유값 1의 아이겐스페이스가 고유값 -1, 즉, 고유값 1을 가진 모든 아이겐벡터가 고유값 -1을 가진 모든 아이겐벡터와 직교하는 경우, 그러한 피엔진 비자발성은 등측법이다.이것이 항상 적용되는 두 가지 극단적인 경우는 한 점에서 ID 함수와 반전이다.

다른 비자발적 등위계는 선에서 반전(2D, 3D, 3D, 2D, 2D 반사, 3D에서 선에 대한 180° 회전), 평면에서 반전(3D 이상, 3D에서는 평면에서의 반사), 3D 공간에서의 반전(3D: ID) 등이다.

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