칸토어 공간

수학에서, 게오르크 칸토어의 이름을 딴 칸토어 공간은 고전적인 칸토어 세트의 위상학적 추상화다: 위상학적 공간은 칸토어 세트에 동형이라면 칸토어 공간이다.세트 이론에서 위상학적 공간 2는^ω 칸토어 공간이라고 불린다.

예

칸토어 세트 자체가 칸토어 공간이다.그러나 칸토어 공간의 표준적인 예는 이산 2점 공간 {0, 1}의 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 위상학적 제품이다.일반적으로 ${\displaystyle {2N\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$N}$ }$$} 또는$$ 2^ω(여기서 2는 이산 위상이 있는 2-element 세트 {0,1}를 나타냄)로 기록된다.2의^ω 점은 0 또는 1의 값만 가정하는 무한 이진 시퀀스다. 이러한 시퀀스 a₀, a, a₁₂, a...를 사용하면 실제 숫자에 매핑할 수 있다.

이 지도는 2부터^ω 칸토어 세트까지의 동형성을 제공하며, 2가^ω 칸토어 공간임을 증명한다.

캔터 공간은 실제 분석에서 풍부하게 발생한다.예를 들어, 그것들은 모든 완벽하고 완전한 메트릭스 공간에 하위공간으로 존재한다.(이러한 공간을 보기 위해, 어떤 비어 있지 않은 완벽한 세트도 임의의 작은 직경의 두 개의 분리되지 않은 완벽한 서브셋을 포함하고 있으므로, 통상적인 칸토어 세트의 구조를 모방할 수 있다는 점에 유의한다.)또한 모든 불가분, 분리불능, 완전 메트리징 가능한 공간은 칸토어 공간을 하위공간으로 포함하고 있다.여기에는 실제 분석에서 대부분의 일반적인 유형의 공간이 포함된다.

특성화

칸토어 공간의 위상학적 특성은 브루워의 정리(Brower)에 의해 주어진다.^[1]

clopen set로 구성된 base를 갖는 위상학적 특성은 때때로 "무차원성"으로 알려져 있다.브루워의 정리는 다음과 같이 재작성할 수 있다.

이 정리는 또한 (부울 알헤브라에 대한 스톤의 표현 정리를 통해) 어떤 두 개의 계수 가능한 무원자 부울 알헤브라가 이형체라는 사실과 동등하다.

특성.

브루워의 정리에서도 예상할 수 있듯이 칸토어 공간은 여러 형태로 나타난다.그러나 칸토어 공간의 많은 특성들은 제품으로서의 그것의 건설이 그것을 분석할 수 있게 해주기 때문에^ω 2를 사용하여 확립될 수 있다.

캔터 공간에는 다음과 같은 속성이 있다.

• 칸토어 공간의 카디널리티는 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$㎛ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$ 2$^{\aleph _{0$ 즉 연속체의 카디널리티다.
• 두 칸토어 공간(또는 한정적이거나 셀 수 있는 숫자의 칸토어 공간)의 산출물은 칸토어 공간이다.칸토어 기능과 함께, 이 사실은 공간을 채우는 곡선을 만드는 데 사용될 수 있다.
• A (비어 있지 않은) Hausdorff 위상학적 공간은 칸토어 공간의 연속 이미지인 경우에만 콤팩트한 메트리징이 가능하다.^[2][3][4]

Let C(X)는 위상학적 공간 X에서 모든 실제 값되고 경계된 연속 함수의 공간을 나타낸다.K는 콤팩트한 미터법 공간을, Δ는 캔터 세트를 나타낸다.그러면 칸토어 집합은 다음과 같은 속성을 갖는다.

• C(K)는 닫힌 하위 공간 C(Δ)에 대한 등축이다.^[5]

일반적으로 이 등위법은 고유하지 않기 때문에 범주형적 의미에서는 제대로 보편적 속성이 아니다.

• 칸토어 공간의 모든 동형상들의 집단은 간단하다.^[6]

참고 항목

• 공간(수학)
• 캔터 세트
• 칸토르 큐브

참조

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.