결국 (수학)

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수론과 분석의 수학적 영역에서, 무한 수열이나 함수는 순서가 있는 모든 인스턴스에 걸쳐 해당 속성을 가지지 않지만, 어떤 인스턴스가 지난 후에 그렇게 될 경우, 결국 특정 속성을 갖는다고 합니다."결국"이라는 용어의 사용은 종종 "충분히 큰 숫자에 대하여"^[1]로 다시 표현될 수 있으며$,$ 정렬된 집합의 $요소($예: R{displaystyle \mathbb {$R}$의 $시퀀스{\displaystyle \mathbb{}}$ 및 하위 집합)에 적용되는 속성 클래스로 확장될 수도 있습니다.

표기법

구문이 최종적으로(또는 충분히 큰) 발견되는 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

${displaystyle$ P$}$는 결국 x${displaystyle$x}$$에 대해 참입니다(${displaystyle$ P$}$는 충분히 $큰{\displaystyle }$ x${displaystyle$x}$$에 대해 참입니다).

여기서${\displaystyle \mathrm{}}$$\forall \{\backslash {\displaystyle \mathrm{}}$$displaystyle \forall}$과 $∃{\displaystyle$\displaystyle \$display}$는 보편적이고 실존적인 정량자이며, 이는 실제로 다음의 약어입니다.

${\displaystyle }$◦ ${\displaystyle a\mathbb{}}$ R${$$displaystyle$$$\in \$mathbb {R}$이$($$가{\displaystyle }$) 존재하므로 P${displaystyle$ P$}$는 참 ≥${\displaystyle \mathrm{}x}$ ∀${\displaystyle }$a${\forall x\geqa}$

아니면 좀 더 형식적으로:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\in \mathbb {R} :x\geqa\오른쪽 화살표 P(x)}$

이는 반드시$$\$displaystyle$a에$$ $대한{\displaystyle }$ 특정 값이 알려진 것은 아니지만, $이러한{\displaystyle }$\$displaystyle$a가$$ 존재한다는 것을 의미합니다."충분히 크다"는 문구를 "임의적으로 크다" 또는 "무한히 크다"는 문구와 혼동해서는 안 됩니다.자세한 내용은 임의로 큼 #임의로 큼 vs. 충분히 큼 vs. 무한히 큼을 참조하십시오.

동기와 정의

무한 시퀀스의 경우 초기에 나타나는 동작보다 시퀀스의 장기적인 동작에 더 관심이 있습니다.이 경우, 이 개념을 공식적으로 포착하는 한 가지 방법은 시퀀스가 어떤 속성을 최종적으로 또는 동등하게 소유한다고 말하는 것입니다. 어떤${\displaystyle N\mathbb{}}$${\displaystyle {\{}_{}}$$displaystyle$$$N$\in \mathbb {N$^[2]에 대해, 그 속성은 (${n}_{n\geq$N$\})$ 연속${\displaystyle }$중 하나에 의해 만족됩니다.

예를 들어$,$ 어떤 $한계$에 수렴하는$$ 실수$(an)의 수열$$($a_{n$})$의 정의는 다음과 같습니다.

각 양수 $\\displaystyle \varepsilon$에 대해, >N \$displaystyle n$ N에 $\\displaystyle \vert a_{n}-a \right$\vert <\$varepsilon$과 같은 $자연수{\displaystyle }$N이 존재합니다.

"결국"이라는 용어가 "n > {\$displaystyle$n >N"에 대해 $자연수{\displaystyle }$N {\$displaystyle$ N$}$의 줄임말로 사용될 때, 수렴 정의는 다음과 같이 더 간단하게 재작성될 수 있습니다.

각 양수 > {\$displaystyle \varepsilon$> $0$에 < $\\displaystyle \vert a_{n}-a\right\vert$<\$varepsilon$

여기서 이 속성을 만족하지 않는 자연수 집합은 유한 집합입니다. 즉, 집합이 비어 있거나 최대 요소를 가지고 있습니다.결과적으로, 이 경우에 "최종적으로"를 사용하는 것은 "한정된 수의 용어를 제외한 모든 용어에 대해"라는 표현과 동의어입니다. - "거의 모든 용어에 대해"라는 표현의 특별한 경우입니다. (비록 "거의 모든" 또한 무한히 많은 예외를 허용하기 위해 사용될 수 있지만)

기본 수준에서, 시퀀스는 자연수를 도메인으로 하는 함수로 생각될 수 있으며, "결국"이라는 개념은 더 일반적인 집합의 함수에도 적용됩니다. 특히 가장 큰 요소가 없는 순서가 없는 함수에 적용됩니다.

보다 구체적으로, S{displaystyle S}가 그러한 집합이고 S{displaystyle S}에 s{displaystyle f}보다 큰 모든 요소에 대해 f{displaystyle f}가 정의되는 요소가 있다면, f{displaystyle f}는 그러한 요소 x{{{displaystyle x_{0}가 존재한다면, 결국 어떤 속성을 갖는다고 한다hatx > 0 {{$displaystyle$x >$x_{0$${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x$$) {{$displaystyle$ f$(x)}$이(가) 해당 을 가질 때마다 hat.이 개념은 예를 들어, 실제 함수로 구성된 필드인 하디 필드의 연구에 사용되며, 각 필드는 결국 특정 속성을 가집니다.

예

• "2보다 큰 모든 소수는 홀수입니다"는 "결국, 모든 소수는 홀수입니다"로 쓸 수 있습니다.
• 결국, 모든 소수는 ±1 모듈로 6에 일치합니다.
• 소수의 제곱은 결국 1 모드 24와 일치합니다(특히, 3보다 큰 모든 소수에 해당).
• 자연수의 요인은 결국 숫자 0으로 끝납니다(특히 4보다 큰 모든 자연수에 해당).

시사점

시퀀스나 함수가 결국 속성을 가질 때, 그 시퀀스와 관련하여 무언가를 증명하는 맥락에서 유용한 의미를 가질 수 있습니다.예를 들어, 특정 함수의 점근적 행동의 맥락에서, 그것이 결국 계산적으로 관찰될 수 있는 것과 다르게 행동하는지 여부를 아는 것은 유용할 수 있습니다. 그렇지 않으면 이것은 ^{[citation needed]}주목할 수 없기 때문입니다.

"결국"이라는 용어는 더 간결하게 만들기 위해 많은 수학적 정의에 통합될 수 있습니다.여기에는 일부 한계 유형의 정의(위 그림 참조)와 점근적 동작을 설명하기 위한 Big O 표기법이 포함됩니다.

수학의 다른 용도

• 3-매니폴드가 적절하게 내장된 양면 비압축성 표면을 포함하는 경우 이를 충분히 크다고 합니다.이 특성은 3-매니폴드가 하켄 매니폴드라고 불리는 주요 요구 사항입니다.
• 시간 논리는 다음과 같이 해석할 수 있는 문장을 표현하는 데 사용할 수 있는 연산자를 도입합니다: 특정 속성은 결국 미래의 순간에 유지될 것입니다.

참고 항목

• 거의 다
• 빅오 표기법
• 수학 용어
• 수론

레퍼런스