푸리에 급수

푸리에 변환
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푸리에 급수(/ˈ ʊ ɪ, -i ər/)는 주기 함수를 삼각 함수의 합으로 확장한 것입니다.푸리에 영상 시리즈는 삼각 영상 시리즈의 한 예이지만, 모든 삼각 영상 시리즈가 푸리에 영상 시리즈인 것은 아닙니다.^[2]함수를 사인과 코사인의 합으로 표현하면 삼각함수를 잘 이해하기 때문에 함수와 관련된 많은 문제들이 분석하기 쉬워집니다.예를 들어, 푸리에 급수는 열 방정식의 해를 찾기 위해 조셉 푸리에에 의해 처음 사용되었습니다.삼각함수의 도함수가 단순한 패턴에 속하기 때문에 이 응용이 가능합니다.대부분의 함수는 자신의 푸리에 급수에 무한히 많은 항을 가지고 있고, 급수가 항상 수렴하는 것은 아니기 때문에, 푸리에 급수는 임의의 함수를 근사하는 데 사용될 수 없습니다.잘 동작하는 함수, 예를 들어 매끄러운 함수에는 원래 함수로 수렴하는 푸리에 급수가 있습니다.푸리에 급수의 계수는 함수의 적분에 삼각 함수를 곱하여 결정되며, 아래 푸리에 급수의 일반적인 형태로 설명됩니다.

푸리에 급수의 수렴에 대한 연구는 부분합의 거동에 초점을 두는데, 이는 급수의 항들이 점점 더 많이 합산됨에 따라 합의 거동을 연구하는 것을 의미합니다.아래 그림은 사각파의 성분에 대한 일부 부분 푸리에 영상 시리즈 결과를 보여줍니다.

• 

  사각파(파란 점으로 표시)는 사각파의 푸리에 급수의 처음 6개 항(화살표로 표시)을 합하여 형성된 여섯 번째 부분 합(보라 점으로 표시)으로 근사됩니다.각 화살표는 왼쪽에 있는 모든 화살표의 수직 합(즉, 이전 부분 합)에서 시작합니다.

• 

  사각파에 대한 푸리에 급수의 처음 네 부분 합.하모닉이 더 많이 추가될수록 부분합은 사각파로 수렴(점점 더 유사)됩니다.

• 

  $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s_{6}(x)}($빨간색)은 6개의 조화롭게 관련된 사인파의 푸리에 급수 합입니다(파란색).푸리에 변환 $S{\displaystyle }$(${\displaystyle f)}$ ${\displaystyle S(f)}$는 합산된 사인파의 진폭을 나타내는 주파수 영역 표현입니다.

푸리에 급수는 푸리에 변환과 밀접한 관련이 있으며, 이 변환은 주기적이지 않은 함수의 주파수 정보를 찾는 데 사용될 수 있습니다.주기 함수는 원 위의 함수로 식별할 수 있으며, 이러한 이유로 푸리에 급수는 원 위의 푸리에 분석의 대상이며, 일반적으로 $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 표시됩니다$.$푸리에 변환도 푸리에 분석의 일부이지만 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 함수에 대해 정의됩니다$.$

푸리에의 시대 이후 푸리에 급수의 개념을 정의하고 이해하기 위한 많은 다양한 접근법이 발견되었으며, 이들은 모두 서로 일치하지만 각각 주제의 다른 측면을 강조합니다.보다 강력하고 우아한 접근 방식 중 일부는 푸리에 시대에는 사용할 수 없었던 수학적 아이디어와 도구를 기반으로 합니다.푸리에는 원래 실수 인수의 실수 값 함수에 대해 푸리에 급수를 정의했으며 분해에 사인 함수와 코사인 함수를 사용했습니다.그 이후 많은 다른 푸리에 관련 변환이 정의되어 그의 초기 아이디어를 많은 응용 분야로 확장하고 푸리에 분석이라고 불리는 수학 영역을 탄생시켰습니다.

푸리에 급수의 일반적인 형태

푸리에 영상 시리즈는 다양한 형태로 표현될 수 있습니다.주기성이 P인 주기$$ $함수{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle s(x))$에 대해 사인 코사인 형태, 지수 형태 및 진폭 위상 형태를 여기서 표현합니다.

사인 코사인 형태

푸리에 영상 시리즈 계수는^[3] 적분값으로 정의됩니다.

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 함수 $s{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle s(x)}$의 평균값으로$$푸리에 변환과 같은 유사한 변환으로 확장되는 성질임을 알 수 있습니다.^[A]

다음 계수가 정의된 경우 푸리에 영상 시리즈는 다음과 같습니다.

다른 많은 사람들은 ~{\$displaystyle \sim }$ 기호를 사용하는데$,{\displaystyle }$ 이는 푸리에 급수의 합이 $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x))$와 동일하다는 것이 항상 사실은 아니기 때문입니다$.$ 완전히 수렴하지 못하거나 $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x)}$와 다른 것으로 수렴하지 못할 수도 있습니다$.$ 이러한 상황이 발생할 수 있지만, 과학에서 그들의 차이점은 거의 문제가 되지 않습니다.e 및 엔지니어링, 그리고 이러한 분야의 저자들은 때때로$~{\displaystyle \sim}$을(를)$$=$${\$displaystyle$ =}로 대체하여 Equ. 2를 적습니다$.$

푸리에 급수 계수의 정수$$ $인덱스{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$은 급수의 해당$$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \cos}$ 또는$$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin}$이 함수의 주기 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 생성되는 주기입니다. ${\displaystyle {따라서}_{}}$ An$$${\$ 및 B ${\$에 해당하는 항은 다음과$$ 같습니다.

• ${\displaystyle \frac{\mathrm{Pn}}{}}$ ${\$와 같으며$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과(와) 같은 단위의 파장입니다$.$
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{nP}}{}}$ ${\$와 같으며$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$의 역수 단위를 갖는 빈도입니다.

예

톱니 함수를 생각해 보십시오.

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi}},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi,}$

${\displaystyle s(x+2\pik)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}}k\in \mathbb {Z} .}$

이 경우, 푸리에 계수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\, dx=0,\quad n\geq 0.\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\, dx\[4pt]&=-{\frac {2}{\pin}}\cos(n\pi)+{\frac {2}{\pi ^{2}}\sin(n\pi )\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

$푸리에{\displaystyle }$ 급수는 s ${\displaystyle s}$이(${\displaystyle 가}$)${\displaystyle }$미분 가능한 모든$$ $점{\displaystyle }$ x {\$displaystyle x}$에서${\displaystyle }$s$${\$displaystyle s(x))$로 수렴하므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}\left(A_{n})\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}$

(예: 8)

$x$ ${\displaystyle x}$가 π ${\displaystyle \pi}$의 홀수 배일 때$,$ 푸리에 급수는 $x$ = π ${\displaystyle$x=\$pi}$에서 s의 좌우 limit의 반합인 0으로 수렴합니다$.$ 이것은 푸리에 급수에 대한 디리클레 정리의 특정한 예입니다.

이 예를 통해 바젤 문제를 해결할 수 있습니다.

지수형

오일러 공식을 사용하여 푸리에 급수 계수에 대한 적분을 단순화할 수 있습니다.

정의와 함께

식 1을 식 3에 대입하면 다음을 알 수 있습니다.^[4]

복잡한 푸리에 급수 계수를 고려할 때 공식에서$$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$},$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$를 복구할 수 있습니다.

이러한 정의에 따라 푸리에 영상 시리즈는 다음과 같이 표기됩니다.

이는 복소수 함수를 일반화하는 일반적인 형식입니다.$n$ ${\displaystyle n}$의 음의 값은 음의 빈도에 해당합니다(푸리에 변환 § 음의 빈도 참조).

진폭 위상 형태

진폭 위상 형태의 푸리에 급수는 다음과 같습니다.

• $n번째 {\displaystyle$ n$^{\text{th}}$ 고조파는 ${\displaystyle {An}_{}}$ ⋅ ${\displaystyle \cos }$ ⁡${\displaystyle (2}$ π${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P}$ x${\displaystyle }$- φ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$입니다$.$
• ${\$$displaystyle$ $A_$${n}}$는 ${\displaystyle {\text{n번째}}^{}}$ ${\displaystyle$ n$^{\$$text{$$th}}$ 고조파의 ${\displaystyle {진}_{}}$폭이고 $\phi$ ${\displaystyle n_{}}$은 위상 이동입니다$.$
• ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle s_{\scriptstyle N}(x)$의 기본 빈도는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이 1일 때를 나타내는 용어이며$$, 첫 ${\displaystyle {\text{번째}}^{}}$ ${\$ 고조파라고$$ 할 수 있습니다.
• ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle {\text{0번째}}^{}}${\$displaystyle 0^{\text{th}}$ 고조파$$ 또는 DC 구성 요소라고 부르기도$$ 합니다.$s{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyles(x)}$의 평균값입니다$.$

분명히 식 5는 고조파 주파수 중 하나 이상의 합일 뿐인 함수를 나타낼 수 있습니다.아직 이 개념에 익숙하지 않은 사람들에게 주목할 만한 점은, 잠재적으로 무한한 수의 항(${\displaystyle }$ ${\displaystyle N$}) 때문에 중간 주파수 및/또는 비-부시노이드 함수를 나타낼 수도 있다는 것입니다.$$

계수 ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ 및 φ$${\$displaystyle \varphi _${$n}}$는 주파수 $n$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ${\displaystyle${$n}}$에서 $s{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle$ s(x))와 동축의 교차 상관 관계로 이해되고 도출될 수 있습니다$.$ 일반 주파수 $f$,${\displaystyle f,}$ 및 분석 구간$$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$+ P ]${\displaystyle }$, ${\displayst$.$yle [x_{0},x_{0}+P],}$ 교차$$ 상관 함수:

는 기본적으로 ${\displaystyle \mathrm{템플릿}}$ 코스 ⁡$($π x) $displaystyle \cos(2\$pifx)}인 일치 필터입니다$.$여기서 ∫ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle \int$ _${P}$는 ∫ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0_{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle P_{}^{}}$를 나타냅니다${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \int$ _${x_{0}}^{x_{0}+P}}$$$ $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x)}$가 P$${\$displaystyle$P} - 주기적이면$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle x_{0}}$은 임의이며$$, 종종 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 또는$$ -${\displaystyle P\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$로 선택됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ -${\tfrac {P}{2}}$ 그러나 일반적으로$$ 푸리에 급수는 그림 1에 표시된 것처럼 유한한 구간에서만 비주기적 함수를 나타낼 수도 있습니다.

X ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$τ${\displaystyle }$) ${\displaystyle {X} _{f}(\tau)}$의 최대값은 ${\displaystyle s(x)}$에서 주파수 $f$ ${\displaystyle f}$의 진폭$({\displaystyle a)}$ ${\displaystyle(a)}$에 대한 측정값이며$,$ 최대값에서 τ ${\displaystyle \tau}$의 값은 해당 주파수의 위상$($ φ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(\varphi))$을 결정합니다.그림 2는 예로서, $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x))}$는 사각파(미도시)이고$$, 주파수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 $4번째 {\$ 4$^{\text{th}}$ 고조파입니다$$.또한 전체 함수를 검색하는 대신 단 두 개의 표본에서 최대치를 도출하는 예입니다.이는 삼각형 항등식에 의해 가능합니다.

이를 식 6과 결합하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle A_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle B_{}}$ ${\$의 정의를 소개합니다$.$^[5] 그리고 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$은(는) 단순화할 수 있음에$$ 유의합니다.

최대 상관 위상에서 ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$φ${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$의 도함수는 0입니다.상관 피크 값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}=\mathrm {X} _{n} _{n}(\varphi _{n})\&=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}}}\cdot B_{n}}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}}}{\sqrt {A_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}{\sqrt {A_{n}^{2}}}.\end{aligned}}$

따라서 ${\displaystyle A_{n}}$ $및$ ${\displaystyle B_{n}}$는 ${\displaystyle {극좌표}_{}}$가 ${\displaystyle a_{n}}$이고 φ$.{\displaystyle \varphi$_{$n}}$인 벡터의 직사각형 좌표입니다.

비주기적 함수에 대한 확장

푸리에 급수는 주기적이지 않은 함수에도 적용할 수 있습니다.함수 $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle s(x)}$가 고정 구간 $[{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$+ P${\displaystyle }$] ${\displaystyle [x_{0}, x_{0}+P]}$에 정의될$$ 때 가장 간단한 확장이 발생합니다$.$ 이 경우 푸리에 계수를 정의하는 적분은 이 구간에서 수행될 수 있습니다.이 경우 모든 수렴 결과는 $전체{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{실선}}$에${\displaystyle }$대한$$s (x) {\displaystyle $s(x)}$의 주기적 확장과 동일합니다.특히 연속 $함수{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle s(x))}$의 경우 x $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ x 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x_{0}$ + $P}$의 주기적 확장에 불연속이 발생할$$ 수 있습니다$.$이 경우 구간의 끝점에서 깁스 현상을 볼 수 있습니다.

$s{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x))$의 값이 모든 곳에 정의되지만$$ 일부 고정 구간 [${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}{\displaystyle }$0${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle P]}$ ${\displaystyle [x_{0}, x_{0}$ + $P]$ {\displaystyle [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle [x_{0}, x_{0}$ + P$]$가 포함된 구간에서는 푸리에 영상 시리즈를 사용할 수 있습니다$.$

위의 두 경우 모두 함수의 짝수 또는 홀수 반사를 취하거나 함수가 유한 간격으로만 정의된 경우 0만큼 확장하는 것이 좋습니다.이를 통해 푸리에 계수에 대한 원하는 속성을 지정할 수 있습니다.예를 들어 $함수$를 만들어 Bn = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B_{n$}= $0}$을(를) 보장합니다$.$이것은 종종 코사인 계열로 알려져 있습니다.마찬가지로 사인 계열에 도달할 수 있습니다.

함수가 콤팩트 서포트가 없고 전체 실선에 정의되어 있는 경우에는 푸리에 변환을 사용할 수 있습니다.푸리에 영상 시리즈는 함수의 잘린 버전 또는 주기적인 합에 대해 취해질 수 있습니다.

부분합 연산자

저자들은 푸리에 급수의 동작 방식을 설명할 때 함수 $f{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$에 대한$$ 부분합 연산자 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$를 자주 소개합니다$.$^[6]

여기서 ${\displaystyle {cn}_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle f}$의 푸리에 계수입니다$.$ 미적분학의 급수와 달리 부분합은 푸리에 급수에 대해 대칭적으로 구해야 하며, 그렇지 않으면 수렴 결과가 성립하지 않을 수 있습니다.

컨버전스

푸리에 급수가 (디리클레 조건을 만족시키는) 임의의 주기 함수의 유효한 표현이라는 증명은 푸리에 급수의 수렴을 증명하는 § 푸리에 정리에서 설명됩니다.

공학 응용 분야에서 푸리에 급수는 일반적으로 점프 불연속시를 제외하고 수렴하는 것으로 가정되는데, 이는 공학에서 만나는 함수가 다른 분야에서 만나는 함수보다 더 잘 동작하기 때문입니다.특히 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyles}$가 연속이고$$ $s{\displaystyle }$ (${\displaystyles$ s$(x)}($어디에나 존재하지 않을 수 있음)의 도함수가 제곱 적분 가능하다면, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyles$ s$}$의 푸리에 급수는 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyles s(x)}$에 절대적으로 균일하게 수렴합니다$.$^[7] 함수가 구간${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\dis$$playstyle [x_{0},x_{0}+P]},$ 그러면 거의 모든$$곳에서 푸리에 급수가 함수로 수렴합니다.보다 일반적인 함수 또는 분포에 대한 푸리에 계수를 정의할 수 있으며, 이 경우 점별 수렴이 종종 실패하고, 노름 또는 약한 수렴의 수렴이 일반적으로 연구됩니다.

• 

  길이 1, 2, 3, 4항의 네 부분합(푸리에 급수)으로, 항 수가 증가함에 따라 사각파에 대한 근사치가 어떻게 개선되는지를 보여줍니다(애니메이션).

• 

  길이 1, 2, 3, 4항의 네 부분합(푸리에 급수)으로, 항 수가 증가함에 따라 톱니파에 대한 근사치가 어떻게 개선되는지를 보여줍니다(애니메이션).

• 

  다소 임의적인 함수로 수렴하는 예제.수직 섹션으로의 전환에서 "링"(기브스 현상)의 발달을 주목합니다.

기타 일반적인 표기법

${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 표기는 여러 다른 함수의 푸리에 계수를 논의하기에 적합하지 않습니다$$.따라서 일반적으로 $s{\displaystyle \stackrel{}{}^[n]}$ ${\displaystyle {\hat {s}}[n]$ 또는$$ $S{\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle S[n]}$과 같은 함수의 수정된 형식(${\displaystyle }$ 경우$$s ${\displaystyles})$으로 대체되며$,$ 함수 표기법은 종종 다음과 같이 구독을 대체합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\piinx/P}&{\text{공통 수학 표기법}\&{n=-\infty}^{\infty}S[n]\cdot e^{i\,2\pinnx/P}&{\text{공통 공학 표기법}\end{aligned}}$

공학에서, 특히 $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$가 시간을$$ 나타낼 때, 계수 수열은 주파수 영역 표현이라고 불립니다.대괄호는 종종 이 함수의 도메인이 이산 주파수 집합임을 강조하기 위해 사용됩니다.

일반적으로 사용되는 또 다른 주파수 영역 표현은 푸리에 급수 계수를 사용하여 디랙 빗을 변조합니다.

${\displaystyle S(f)\triangleq \sum _{n=-\infty}^{\infty}S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

여기서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 연속 주파수 도메인을 나타냅니다$$.변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 초 단위가 있을 때 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에는 헤르츠 단위가 있습니다$$.빗의 "잇"은 $1$ P ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}$의 배수(즉, 조화)로 이격되어 있으며$,$ 이를 기본 주파수라고 합니다. $s$ ∞${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s_{\infty}(x)}$는 역푸리에 변환에 의해 이 표현으로부터 복구될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty}^{\infty}}\left(\sum _{n=-\infty}^{\infty}S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}\right)\right)\e^{i2\pi fx}\df,\[6pt]&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}S[n]\cdot \int _{-\infty}^{\infty}\left(f-{\frac {n}{P}\right)e^{i2\pi fx}\df,\[6pt]&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}^{\infty}y }S[n]\cdote^{i\,2\pinx/P}\ \\triangleq \s_{\infty}(x).\end{aligned}}$

따라서 주기 함수의 푸리에 적분이 고조파 주파수에서 수렴하지 않더라도 구성된 함수 $S{\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle S(f)}$를 일반적으로 푸리에 변환이라고 합니다$$.^[C]

히스토리

푸리에 급수는 레온하르트 오일러, 장 르 론 달랑베르, 다니엘 베르누이의 예비 조사 후 삼각 급수 연구에 중요한 기여를 한 장 밥티스트 조제프 푸리에(1768–1830)를 기리기 위해 명명되었습니다.^[D]푸리에는 열 방정식을 금속판에서 풀기 위한 목적으로 시리즈를 도입했고, 그의 초기 결과를 그의 1807년 메모아레수라 전파 드 라 샬뢰르 당스 군단 고체에 발표했고, 1822년에 그의 Theéorie analytic de la chaleur (열의 분석 이론)을 발표했습니다.Memoire는 푸리에 분석, 구체적으로 푸리에 시리즈를 도입했습니다.푸리에의 연구를 통해 임의의(처음에는 연속적이고^[8] 나중에는 조각별 매끄러운^[9]) 함수가 삼각 급수로 표현될 수 있다는 사실이 확인되었습니다.이 위대한 발견에 대한 최초의 발표는 프랑스 아카데미 이전인 1807년 푸리에에 의해 이루어졌습니다.^[10]주기함수를 단순한 진동함수의 합으로 분해하려는 초기의 아이디어는 고대 천문학자들이 정의와 에피사이클에 기초한 행성운동의 경험적 모델을 제안한 기원전 3세기로 거슬러 올라갑니다.

열 방정식은 편미분 방정식입니다.푸리에의 연구 이전에는 일반적인 경우에는 열 방정식에 대한 해가 알려져 있지 않았지만, 열원이 단순한 방식으로 동작하는 경우, 특히 열원이 사인파 또는 코사인파인 경우에는 특정 해가 알려져 있었습니다.이러한 간단한 해결책은 이제 때때로 고유 해결책이라고 불립니다.푸리에의 아이디어는 복잡한 열원을 단순한 사인파와 코사인파의 중첩(또는 선형 조합)으로 모델링하고, 해를 대응하는 고유해의 중첩으로 작성하는 것이었습니다.이 중첩 또는 선형 조합을 푸리에 급수라고 합니다.

현대적 관점에서, 푸리에의 결과는 19세기 초에 함수와 적분에 대한 정확한 개념이 없었기 때문에 다소 비공식적입니다.나중에 피터 구스타프 르준 디리클레와^[11] 베른하르트 리만은^[12][13][14] 푸리에의 결과를 더 정확하고 형식적으로 표현했습니다.

원래 동기는 열 방정식을 푸는 것이었지만, 나중에 동일한 기술이 다양한 수학적 및 물리적 문제, 특히 일정한 계수를 갖는 선형 미분 방정식을 포함하는 문제에 적용될 수 있다는 것이 명백해졌습니다. 이에 대해 고유해가 정현파입니다.푸리에 시리즈는 전기 공학, 진동 분석, 음향학, 광학, 신호 처리, 이미지 처리, 양자 역학, 계량 경제학,^[15] 쉘 이론 ^[16]등에 많은 응용 분야를 가지고 있습니다.

비기닝스

조셉 푸리에는 다음과 같이 썼습니다.^{[dubious – discuss]}

${\displaystyle \varphi(y)=a_{0}\cos {\frac {\piy}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\piy}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\piy}{2}}+\cdots .}$

양변에 ${\displaystyle \mathrm{코스}}$⁡${\displaystyle (\mathrm{2k}}$+ ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$π ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \cos(2k$+ 1$){\frac {\piy}{2}}}$을$($를) 곱한 다음 $y$ = -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle$y=-$1}$에서 $y$ =${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ y=+$1}$로 적분하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi(y)\cos(2k+1){\frac {\piy}{2}}\,dy.}$

— Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides. (1807)^[17][E]

이는 즉시 그러한 팽창이 있는 모든 함수에 대해 φ(y)에 대한 삼각형 급수의 계수 a를 제공합니다.이것은 만약 φ가 그러한 팽창을 가지고 있다면, (적절한 수렴 가정 하에서) 적분이

기간 단위로 수행할 수 있습니다.그러나 코스${\displaystyle }$⁡(2j${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1)}$π y ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{코스}}$ ⁡${\displaystyle (\mathrm{2k}}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$π ${\displaystyle \frac{}{}}$ 2 ${\displaystyle \cos(2j+1){\piy}{2}}\cos(2k+1){\$frac ${\piy$}{2}}\cos(2k+1){\$frac {\piy}{2}}$는 -1에서 1로 통합되면 사라지고 ${\displaystyle {\text{k번째}}^{}}$ ${\displaystyle$ k$^{\text{th}}$항만 남게 됩니다.

푸리에 급수에서 사용되는 현대 형식주의에 가까운 이 몇 줄에서 푸리에는 수학과 물리학 모두에 혁명을 일으켰습니다.유사한 삼각 급수가 오일러, 달랑베르, 다니엘 베르누이, 가우스에 의해 이전에 사용되었지만, 푸리에는 그러한 삼각 급수가 임의의 함수를 나타낼 수 있다고 믿었습니다.어떤 의미에서 그것이 실제로 사실인지는 다소 미묘한 문제이고 이 아이디어를 명확히 하려는 수년간의 시도는 수렴, 함수 공간 및 조화 분석 이론의 중요한 발견으로 이어졌습니다.

푸리에가 1811년에 후기 대회 에세이를 제출했을 때, 위원회는 다음과 같이 결론을 내렸습니다: 라그랑주, 라플라스, 말루스, 레전드르 등이 포함되었습니다.그들을 통합하기 위한 그의 분석은 일반성과 심지어 엄격함의 점수에 아직도 미진한 것을 남깁니다.^{[citation needed]}

푸리에 동기

톱니 함수(위)의 푸리에 급수 확장은 단순 $공식{\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ = ${\displaystyle x}$ π ${\displaystyle s(x$) = {\$tfrac {x}{\pi }}}$보다 더 복잡해 보이기 때문에 푸리에 급수가 필요한 이유가 바로 명확하지 않습니다$.$많은 응용 분야가 있지만, 푸리에의 동기는 열 방정식을 푸는 데 있었습니다.예를 들어$,$ (x, y${\displaystyle )}$ 좌표가${\displaystyle [0,}$π${\displaystyle ]}$× ${\displaystyle [0,}$ π${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle(x, y)\in [0,\pi]\times [0,\pi]}$인 정사각형 모양의 금속판을 생각해 보십시오$.$ 만약 판 안에 열원이 없고 네 개의 변 중 세 개가 섭씨 0도로 유지된 상태에서 네 개의 변을 가진다면,n $by$ y = π ${\displaystyle$y =\$pi$ 는 ${\displaystyle \mathrm{온도}}$ 구배 $T$ ${\displaystyle (x,}$ π${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=$$x ${\displaystyle$ $T(x,\$$pi$ ) = x$}°$C에서 유지됩니다. $0,$π ) {\$displaystyle x}$ 의 $경우$$,$ 고정된 열 분포(또는 오랜 시간이 지난 후의 열 분포)가 다음과 같이 주어짐을 알 수 있습니다.

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}}$

여기서 sinh는 쌍곡 사인 함수입니다.이 열 방정식의 해는 식 6의 각 항에 ${\displaystyle \sinh }$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ /${\displaystyle \sinh }$ ⁡ (n${\displaystyle }$π) ${\displaystyle$ \$sinh(ny)/\sinh(n\pi)}$를 곱하면 얻어집니다$.$ 예제 $함수$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x)}$는 불필요하게 복잡한 푸리에 급수를 가지고 있는 것처럼 보이지만 열 분포 $T$ ${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$는 사소한 것이 아닙니다.함수 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 닫힌 형식 식으로 쓸 수 없습니다$$.열 문제를 해결하는 이 방법은 푸리에의 연구로 가능해졌습니다.

복소 푸리에 급수 애니메이션

복소 푸리에 시리즈가 임의의 2차원 닫힌 도형을 추적할 수 있는 능력의 예는 문자 'e'(지수의 경우)를 추적하는 복소 푸리에 시리즈의 인접한 애니메이션에 나와 있습니다.애니메이션은 변수 't'를 사용하여 복소 평면의 문자 'e'를 매개 변수화하는데, 이는 복소 값 함수에 대한 본 기사의 하위 섹션에서 매개 변수 'x'를 사용하는 것과 동일합니다.

애니메이션의 백플레인에서 회전 벡터는 양(반시계 방향)으로 회전하는 벡터와 같은 주파수이지만 음(시계 방향)으로 회전하는 벡터가 교대하는 순서로 집합되어 지그재그가 많은 단일 추적 암이 생성됩니다.이 관점은 각 회전 벡터 쌍(양의 방향으로 회전하는 벡터와 음의 방향으로 회전하는 벡터)의 추가가 문자 'e'의 모양에 더 가까운 이전 흔적(연회색 점선으로 표시됨)을 어떻게 밀어내는지 보여줍니다.

애니메이션의 전면 평면에서 회전 벡터는 두 세트로 집합됩니다. 즉, 모든 양의 회전 벡터 집합과 모든 음의 회전 벡터 집합(회전하지 않는 구성 요소는 두 개 사이에서 균등하게 분할됨)으로 인해 두 개의 추적 암이 반대 방향으로 회전하게 됩니다.애니메이션의 작은 원은 두 암 사이의 중간 지점을 나타내며 '+'로 표시되는 원점과 현재 추적 지점 사이의 중간 지점을 나타냅니다.이 관점은 복소 푸리에 급수가 팔 하나만 있는 복소 기하급수의 확장(팔의 추가)이라는 것을 보여줍니다.그것은 또한 두 팔이 어떻게 서로 조화를 이루는지 보여줍니다.예를 들어 추적 지점이 양의 방향으로 회전할 때 음의 방향 암이 주차된 상태로 유지됩니다.마찬가지로 추적 지점이 음의 방향으로 회전하는 경우 양의 방향 암이 주차된 상태로 유지됩니다.

애니메이션의 뒷면과 앞면 평면 사이에는 영역이 복잡한 푸리에 급수 항의 값을 나타내는 회전 사다리꼴이 있습니다.이 관점은 복소 푸리에 급수의 개별 항들의 진폭, 주파수 및 위상을 뒤와 앞 면에서 문자 'e'로 공간적으로 수렴하는 급수 합과 관련하여 보여줍니다.오디오 트랙의 왼쪽 및 오른쪽 채널은 각각 현재 추적 지점 '+'의 실제 및 가상 구성 요소에 해당하지만 주파수가 3536배 증가하여 애니메이션의 기본 주파수(n=1)는 220Hz 톤(A220)입니다.

기타 어플리케이션

또 다른 응용은 파르스발의 정리를 이용하여 바젤 문제를 해결하는 것입니다.예제는 일반화하고 임의의 양의 정수 n에 대해 ζ(2n)을 계산할 수 있습니다.

일반 푸리에 급수의 표

몇 가지 일반적인 주기 함수 쌍과 그 푸리에 급수 계수가 아래 표에 나와 있습니다.

• ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle s(x)}$은(는) 주기가 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$인 주기 함수를 지정합니다$.$
• ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$, A${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$는 주기 $함수{\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle s(x)}$의 푸리에 급수 계수 (사인-코사인 형태)를 지정합니다$.$

시간영역 ${\displaystyles(x)}$	줄거리.	주파수 영역(사인-코사인 형태) ${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\&A_{n}\quad {\text{for}}\geq 1\&B_{n}\quad {\text{for}}n\geq 1\end{aligned}}$	언급	언급
${\displaystyles(x)=A\left \sin \left({\frac {2\pi}{P}}x\right)\right \quad {\text{for}}}0\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\\A_{n}=&{\begin{case}{\frac {-4A}{\pi}}}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{even}}\0&\text{홀수}}\end{case}}\\n\n\n\text{case}B_{n}=&0\\end{aligned}}$	전파 정류 사인	[19]: p. 193개의
${\displaystyles(x)={\begin{case}A\sin \left({\frac {2\pi}{P}}x\right)&\quad {\text{for}}0\leq x<P/2\0&quad {\text{for}}P/2\leq x<P\\\end{case}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi}}\\\A_{n}=&{\begin{case}{\frac {-2A}{\pi}}}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{even}}\0&\text{ 홀수}}\end{case}}\\n\n\n\text{case}B_{n}=&{\begin{case}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\0&\quad n>1\end{case}}\\end{align}}$	반파 정류 사인	[19]: p. 193개의
${\displaystyles(x)={\begin{case}A&\quad {\text{for}}}0\leq x<D\cdot P\0&\quad {\text{for}}D\cdot P\leq x<P\\\end{case}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi}}\sin \left(2\pinD\right)\"\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi}}\left(\sin \left(\pinD\right)\right)^{2}\\end{aligned}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for}}}\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\\A_{n}=&0\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi}}\\end{aligned}}$		[19]: p. 192개
${\displaystyle s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for}}}\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\\A_{n}=&0\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi}}\\end{aligned}}$		[19]: p. 192개
${\displaystyles(x)={\frac {4A}{P^{2}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for}}}\leq x<P}$		${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}\B_{n}=&0\\end{aligned}}$		[19]: p. 193개의

기초물성표

이 표는 시간 영역의 일부 수학적 연산과 푸리에 급수 계수의 해당 효과를 보여줍니다.표기법:

• 복소 켤레는 별표로 표시됩니다.
• ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle s(x),r(x)}$은(는$)$ P {\$displaystyle P}$ ${\displaystyle -}$ $x$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle 0,P}$ ${\displaystyle ]}$에 대해서만 정의된 주기적 함수 또는 함수를 지정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ x$\in [0,P]}$
• ${\displaystyle S[n],$$R[n]}$은(는) ${\displaystyles}$ 및 $r$의 푸리에$$급수 계수($지수$ 형식)를 지정합니다${\displaystyle .}$ {\displaystyle r$.}$

소유물	시간영역	주파수 영역(지수형)	언급	언급
선형성	${\displaystyle a\cdots(x)+b\cdotr(x)}$	${\displaystyle a\cdot S[n]+b\cdot R[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C}}$
시간반전/주파수반전	${\displaystyles (-x)}$	${\displaystyle S[-n]}$		[20]: p. 610개
시간 공액	${\displaystyle s^{*}(x)}$	${\displaystyle S^{*}[-n]}$		[20]: p. 610개
시간역전 & 컨쥬게이션	${\displaystyle s^{*}(-x)}$	${\displaystyle S^{*}[n]}$
리얼파트인타임	${\displaystyle \operator name {Re} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n]}$
가상 시간 부분	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])}$
진동수 실측부	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S[n])}}$
허수부(frequency	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S[n])}}$
Shift in time / Modulation	${\displaystyles(x-x_{0})}$	${\displaystyle S[n]\cdote^{-i{\frac {2\pix_{0}}{P}}n}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R}}$	[20]: p. 610개
주파수 이동 / 시간에 따른 변조	${\displaystyle s(x)\cdote^{2\pi i{\frac {n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle S[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z}}$	[20]: p. 610개

대칭성

복소함수의 실수부와 허수부를 짝수부와 홀수부로 분해하면, 아래에 첨자 RE, RO, IE, IO로 표시되는 4개의 성분이 있습니다.그리고 복잡한 시간 함수의 네 요소와 복잡한 주파수 변환의 네 요소 사이에는 일대일 매핑이 있습니다.^[21]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccc}{\text{시간영역}}&s=&s_{_{\text}RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\밑줄 {i\s_{_{\text}IO}}}\\{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&\{\mathcal {F}&\{\mathcal \Updownarrow }{\mathcal {F}&\{\mathcal \F}&\{\text \Updownarrow }{\mathcal {F}&\{\text {frequency domain}&#{\text {\text {frequency domain}&#{\text}RE}}}&+&\오버브레이스 {\,i\S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}$

이를 통해 다양한 관계를 알 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

• 실수 값 함수(s_RE + s_RO)의 변환은 짝수 대칭 함수 S + is S입니다_REIO.반대로, 짝수대칭 변환은 실제 값의 시간 영역을 의미합니다.
• 허수 값 함수의 변환(is_IE + is_IO)은 홀수 대칭 함수 S_RO + is S이고_IE, 그 반대는 참입니다.
• 짝수대칭 함수의 변환(s_REIO + is)은 실수 값 함수 S_RE + S이고_RO, 그 반대는 참입니다.
• 홀수-대칭 함수의 변환_RO(s_IE + is)은 허수-값 함수가_IE S + is이고_IO, 그 반대는 참입니다.

기타속성

리만-레베그 보조정리

$S$ ${\displaystyle S}$가 적분 가능하면, $\underset{}{lim}$ n → ∞ $\underset{}{}$[ $n$ ]$$= $0$ ${\textstyle \lim _{$ n $\to \infty}S[n$]=$\underset{}{}$$\},$ $\underset{}{lim}$ $\underset{}{n}$ → +$\underset{}{}$∞ $a_{}$ = $0$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty}a_{n$}=$0},$ $\underset{}{lim}$ $\underset{}{n}$ → +$\underset{}{}$∞ b $n_{}$ = $0.$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n$}= 0$.$이 결과를 리만-레베그 보조정리라고 합니다.

파르스발 정리

$s$ ${\displaystyle s}$가 L $2$(${\displaystyle P)}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(P)}($$길이$ P ${\$$\mathrm{displaystyle}$ P$\})$에 속한 경우: 1 $\frac{P}{}$ ∫ ${Ps}_{}$ ($x$) ${}^{}$ $d$ $x$ = ∑ $\underset{}{\overset{}{n}}$ = -$\underset{}{\overset{}{}}$∞ ∞ $\underset{}{\overset{}{}}$[ $n$] ${}^{}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}\int _{P} s(x) ^{2}\,$dx =\$sum _{n$=-\$infty}^{\infty$} ${\Bigl}S[n]{\Bigr }^{2}}$

Parseval의 정리를 ${\displaystyle {L4\mathrm{}}^{}P)}$ ${\displaystyle L$$^{4}(P$$)$로 확장합니다$.$ ${\displaystyles}$가 $L4$ ${\displaystyle$ $P$$}($길이 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$})$ ${\$displaystyle S[n]이${\displaystyle (}$가) $유한{\displaystyle }$ 길이 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$인 경우$$$$:^[22]

$S{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ]${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S[n]\in \mathbb {C}}$의 경우$$1 ∫ 4 = ∑ k = - 1 [ ]∑ l = - 1 ∗[ l][ ∑ = - ≥ l ∗[ ] [ -(- )] +∑ m = - - 1 < ∗[ -( - )] S[ ] ${\displaystyle {1}{P}\int _{P} s(x)^{4}\,$$dx=\sum _{k=0}^{M-1}S[k]\sum _{l=0}^{M-1}S^{*}[l]{\bigg [}{\underset {k\geql}{\sum _{m=k-l}^{M-1}}S^{*}S[m-(k-l)]+{\underset {k<l}{\sum _{m=l-k}^{M-1}}S^{*}[m-(l-k))]$$S[m]{\Bigg ]}}$

${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle n}$ ]${\displaystyle }$∈ R$${\$displaystyle S[n]\in \mathbb${${\displaystyle R}$$}}$의 경우$$$1$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ∫ P ${\displaystyle S}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle x}$ = ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ = 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$[ ${\displaystyle k}$ ]${\displaystyle }$∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{l}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$[ l${\displaystyle }$] ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{m}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{l}}}$ M${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$- ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$[ ${\displaystyle m}$] S${\displaystyle }$[ ${\displaystyle m}$ -${\displaystyle k}$- ${\displaystyle l}$] ${\displaystyle {\frac {1}{P}\int _{P} s(x) ^{4}\,$dx =\$sum$_{$k$=$0}^{M-1}S[k]\sum$_{$l$=$0}^{M-1}S[l]\sum$ _${m$=$k-l}^{M-1}S[m]S[m]}$

플랑첼 정리

$c$ ${\displaystyle 0{}_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$± ${\displaystyle 1_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$± ${\displaystyle 2_{}}$… ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm$ 1$},\,c_{\pm 2},\ldots }$가 계수이고 ∑ = -∞ ∞ c < ∞ ${\textstyle \sum _{n$=-\$infty }^{\infty } c_{n} ^{2$}<\infty $}$인 경우, $모든${\$displaystyle n}$에 대해 $S{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$] = ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle S[n$]= $c_{n}$이 되도록 L 2 ${\displaystyle {}^{}P)}$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$를 ∈합니다$.$

컨볼루션 정리

$지정$된 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle P}$ - 주기 함수, 푸리에 급수 계수 $S{\displaystyle [n]}$ ${\$$displaystyle s_{P}}$ 및 $rP$ ${\displaystyle$ $r_$${_{P}},$ {\$displaystyle$ R${\displaystyle R[n],}$ ∈ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z},}$

• 포인트 단위의 제품:
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$

  
  는 $또한{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$ - 주기적이며$$, 푸리에 급수 계수는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $R$ ${\displaystyle R}$ 시퀀스의$$ 이산 컨볼루션에 의해 제공됩니다.
  $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n]}$$

  
• 주기적 컨볼루션:
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int_{P}s_{_{P}}(\tau )\cdotr_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$

  
  는 $또한{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$ - 주기적이며$$ 푸리에 급수 계수:
  $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]}$$

  
• ${\displaystyle {이중}^{}}$ 무한 수열$${${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∈ Z ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$ in ${\displaystyle c_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle Z)}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z})$$${\${\displaystyle {displaystyle}^{}}${$1$$}([$${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ $2$ℓ]) {\$displaystyle$ L$^{$1}([0$,2\pi$])}인 경우에만 해당합니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z}}}$. $$보기

파생상품성

$k$ ${\displaystyle$ s$}$가 $k$ ${\displaystyle$ k$}배$ 미분 가능한 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$에서 2 π 주기 함수이고 ${\displaystyle {\text{k번째}}^{}}$ {\displaystyle k^{\text${th}}$ 도함수가 연속이면 ${\displaystyle s$$}$는 ${\displaystyle C^{}}$(${\displaystyle T)}$ ${\displaystyle C$$^{$$k}(\$$mathbb$${T})$에 속합니다.

• ${\displaystyle s}$ ∈ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$T${\displaystyle }$) ${\displaystyle s\in$ C$^{1}(\mathbb {T})}$인 경우$,$ $도함수$ s${\displaystyle {\text{'}}^{}}${\$displaystyle$ $s$$'}$의 푸리에 계수 $s{\displaystyle \stackrel{}{{\text{'}}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$[ ${\displaystyle n}$]$${\$displaystyle {\widehat {s'}$ [ $n$${\displaystyle ]}$$${\$displaystyle$ ${\widehat {s$$}}$ [ $n]$ 함수 $s$의 푸리에 $계수$ s${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ [${\displaystyle n}$$],$공식 $s$'${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$[ ${\displaystyle n}$] = ${\displaystyle \mathrm{in}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$[ ${\displaystyle n}$] ${\displaystyle {\widehat {s'}[n$ = $in {\widehat {s}}[n].$
• $s$가 ${\displaystyle {Ck}^{}}$(${\displaystyle T)}$ ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T})}$ ∈ $경우$$$s ${\displaystyle \stackrel{}{{(k)}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$[ ${\displaystyle n}$] =${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{in}{}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$[ ${\displaystyle n}$] ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}[n$]=($in)$$^{k}{\widehat {s}}[n$ 특히 고정 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ $≥$ 1 ${\displaystyle$ k$\$${\displaystyle \mathrm{geq}}$ 1$}$의 $경우$ s${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$(${\displaystyle \stackrel{}{{k)}^{}}}$ ${\displaystyle ^}$ [ n${\displaystyle }$] $→$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {s^{(k)}}[n]\to 0}$을 n${\displaystyle }$$→$$$$∞$ {\$displaystyle n\to$ \infty}인$$경우 n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle ^}$ [ n${\displaystyle }$] ${\displaystyle n^{k}{\widehat {s}}[n]}$인 경우 0이 됩니다.이는 임의의 $k$ ≥ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$에 대해 푸리에 계수가 n의 k번째 거듭제곱보다 빠르게 0으로 수렴함을 의미합니다$.$

콤팩트 그룹

우리가 언급한 푸리에 변환의 흥미로운 특성 중 하나는 점별 곱에 컨볼루션을 전달한다는 것입니다.만약 그것이 우리가 보존하고자 하는 속성이라면, 우리는 어떤 콤팩트 그룹에서도 푸리에 급수를 생성할 수 있습니다.대표적인 예로는 콤팩트한 고전적인 그룹들이 있습니다.이것은 푸리에 변환이 점별 곱으로 컨볼루션을 전달하는 방식으로 G가 콤팩트 그룹인 L²(G) 형태의 모든 공간으로 푸리에 변환을 일반화합니다.푸리에 영상 시리즈는 [- π, π] 경우와 유사한 방식으로 존재하고 수렴합니다.

콤팩트 그룹의 대안적인 확장은 유한 그룹과 유사한 콤팩트 그룹의 표현에 대한 결과를 증명하는 피터-웨일 정리입니다.

리만 다양체

도메인이 그룹이 아닌 경우 본질적으로 정의된 컨볼루션이 없습니다.그러나 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 콤팩트한 리만 다양체라면 라플라스-벨트라미 연산자를 갖습니다.라플라스-벨트라미 연산자는 리만 $다양체{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 대한 라플라스 연산자에 해당하는 미분 연산자입니다$.$ 그렇다면 유추하여 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 열 방정식을 고려할 수 있습니다$.$ 푸리에는 열 방정식을 풀려고 시도하여 그의 기저에 도달했으므로,자연 일반화는 라플라스-벨트라미 연산자의 고유해를 기초로 사용하는 것입니다.이것은 푸리에 급수를 유형 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}X)}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$의 공간으로 일반화하며$,$ $여기$서 X ${\displaystyle X}$는 리만 다양체입니다.푸리에 영상 시리즈는 [$$-${\displaystyle }$π,${\displaystyle }$π${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\pi,\pi ]}$ 경우와 유사한 방식으로 수렴합니다.일반적인 예는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$를 일반적인 메트릭을 가진 구로 만드는$$ 것이며, 이 경우 푸리에 기저는 구면 조화로 구성됩니다.

국소 콤팩트 아벨 군

위에서 설명한 콤팩트 그룹에 대한 일반화는 콤팩트하지 않은, 비선형 그룹에 대해 일반화하지 않습니다.그러나 LCA(Local Compact Abelian) 그룹에 대한 간단한 일반화가 있습니다.

이것은 푸리에 변환을 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}G)}$ ${\displaystyle$ L$^{1}(G)}$ 또는$$ L $2{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G)}$로 일반화합니다$.$ 여기서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 LCA 그룹입니다.$G$ ${\displaystyle G}$이(가${\displaystyle )}$ 콤팩트하면 [ -${\displaystyle }$π${\displaystyle ,}$π] {\$displaystyle [-\pi$,\pi$]}$ 경우와 유사하게 수렴하는 푸리에 급수도 $,$ G {\$displaystyle$ G}이$($가) 콤팩트하지 않으면 대신 푸리에 적분을 얻습니다.이 일반화는 기본 로컬 콤팩트 아벨리안 그룹이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$일 때 일반적인 푸리에 변환을 산출합니다$.$

확장자

정사각형 위의 푸리에 급수

정사각형$$[ -${\displaystyle }$π${\displaystyle ,}$ π${\displaystyle ]}$×${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- π${\displaystyle ,}$ π] {\$displaystyle x}$ 및 y ${\displaystyle y}$ 두 $변수$의 함수에 대한 푸리에 급수를 정의할 수도 있습니다. [ - π, π${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\pi,\pi]\times [-\pi,\pi$

열 방정식과 같은 편미분 방정식을 푸는 데 유용한 것 외에도 사각형에서 푸리에 급수의 한 가지 주목할 만한 응용은 이미지 압축입니다.특히 JPEG 이미지 압축 표준은 코사인만을 기본 함수로 사용하는 푸리에 코사인 변환의 이산 형태인 2차원 이산 코사인 변환을 사용합니다.

모양이 엇갈린 2차원 배열의 경우 추가 대칭으로 인해 푸리에 영상 시리즈 계수의 절반이 사라집니다.^[24]

브라베-격자-주기함수의 푸리에

3차원 브라베 격자는 다음과 같은 형태의 벡터 집합으로 정의됩니다.

여기서 ${\displaystyle {ni}_{}}$ ${\$는 정수이고$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 3개의 선형 독립 벡터입니다.임의의 브라바이스 격자 벡터 $R$ ${\displaystyle \mathbf {R$ $f{\displaystyle }$(r)$$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$${\displaystyle R}$+ ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle$f $(\$mathbf {r} )${\displaystyle }$= f (\displaystyle f $(\mathbf$ {$r}$ ) = f$(\mathbf {R} +\mathbf {r}$ ) $}$ 의 $함수$가 ${\displaystyle 있다면}$, 우리는 그것의 푸리에 급수를 만들 수 있습니다$.$이러한 종류의 기능은 예를 들어, 한 전자가 주기적인 결정 안에서 "느끼는" 유효한 전위가 될 수 있습니다.블로흐 정리를 적용할 때 퍼텐셜의 푸리에 급수를 만드는 것이 유용합니다.첫째, 격자의 좌표계에 임의의$$ 위치 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle$ \mathbf {$r}}$를 쓸 수 있습니다.여기서 ${\displaystyle i_{}}$는 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$≜,${\displaystyle a_{i$}\ triangleq $\mathbf {a}$ _${i},$ 즉 i ${\displaystyle a_{i}}$가 i ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$의 ${\displaystyle {}_{}}$로 정의됨을 의미하므로$,$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$= ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ i ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i$}={\$frac {\mathbf {a} _{i}}}}$는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$를 따라 지시되는 단위 벡터입니다.

그래서 우리는 새로운 함수를 정의할 수 있습니다.

이 새로운 함수인 $g{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g(x_{1}, x_{2}, x_{3}}$는$$이제 각각$$ ${\displaystyle {1개}_{}}$의 $주기성{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${\displaystyle {2개}_{}}$의 ${\$${\displaystyle {3개}_{}}$의 ${\$를 가지는 세 변수의 함수입니다.

이것은 우리가 세 개의 독립적인 정수 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ m ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의해 색인화되는 일련의 푸리에 계수들을 구축할 수 있게 해줍니다$.$ 다음의 내용에서는 함수 표기법을 사용하여 이전에 첨자를 사용했던 이러한 계수들을 나타냅니다.x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해${\displaystyle }$g ${\$$displaystyle g}$에 $대해$ 구간 [0,$$a 1] ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle \left[$0$$,a_{1}\right]}$에 열을 쓰면 다음을 정의할 수 있습니다$.$

그러면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

추가 정의:

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 다시$$ 한 번 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

마지막으로 세 번째 좌표에 대해 동일한 것을 적용하여 다음과 같이 정의합니다.

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 다음과$$ 같이 씁니다.

다시 정렬:

이제, 모든 역수 격자 $벡터$는 G${\displaystyle }$= ${\displaystyle m_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 3$${\$displaystyle \mathbf {G}$ = $m_{1}\mathbf {g} _{1}$ + $m_{2}\mathbf {g} _{2}$ + $m_{3$}으로 쓸 수 있습니다.$}\mathbf {g} _{3$ 여기서 ${\displaystyle {mi}_{}}$ ${\displaystyle m_{i}$는 정수이고 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}$는 ${\displaystyle gi}$ $⋅$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ $=$ $2$ $π δ$ i j {\$displaystyle \mathbf {g_{i}}$ \$cdot \mathbf {a_{j}$$=$ ${\displaystyle 2}$$\pi \$$delta$ $_$${ij}$ (ij} $δ$ i ${\displaystyle j_{}}$ $=$$1$ {\$displaystyle \$$delta$$_{ij}$$=$ 1$}$ for$$i $=$ j {\$displaystyle$ i$=$j$\}$ ,$i$ ≠ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i\neq j})$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \$delta$_{ij$}=$0}$을 δ합니다.그러면 원래 브라베 격자 공간에서$$ 임의의 역수 격자 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ G ${\$ 및$$ 임의의 위치 벡터 $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대해, 그들의 스칼라 곱은 다음과 같습니다.

따라서 $g{\displaystyle ({x1}_{}}$ ${\displaystyle {x2}_{}}$ ${\displaystyle {x3}_{}}$ = ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle g(x_{1}, x_{2}, x_{3$})=$f(\mathbf {r})}$의 확장에서$$합은 실제로 역수 격자 벡터 위에 있습니다.

어디에

가정하에

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$\},$ z ${\displaystyle z}$에 대한 이 세 개의 선형 방정식 체계를$$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle x_{1$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle x_{2},$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3$${\$displaystyle x_{3}$으로 풀 수$$ 있습니다.$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $x$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 $대하여$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x},$y ${\displaystyle y},$$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$가 주어지면 야코비안 행렬식을 계산할 수 있습니다$.$어떤 계산과 일부 비 trivial 교차 제품 식별을 적용한 후 다음과 같은 결과를 나타낼 수 있습니다.

$($ {\$displaystyle \mathbf {a} _{1}}$이 x 축과 평행하고, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 xy 평면에 놓여$$ 있고, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이(는) 세 축의 성분을 모두 갖는$$ 직사각형 좌표계에서 계산을 단순화하기 위해 유리할 수 있습니다.)분모는 정확히 원시 단위 셀의 부피이며, 이 단위 셀은 ${\displaystyle {}_{}}$의 원시 $벡터$인 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 그리고 3 ${\$로 둘러싸여 있습니다$.$ 특히, 우리는 이제 다음을 알고 있습니다.

${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 변수$$ 대신에, 이제 $h{\displaystyle (G\mathbf{})}$ ${\displaystyle h(\mathbf {G})$를 프리미티브 셀의 볼륨에 대한 전통적인 좌표계의 적분으로$$ 쓸 수 있습니다.

$볼륨$ 요소 d ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d}$ y d z {\$displaystyle dx\,$$dy\,dz}$에 ${\displaystyle dr}$ ${\displaystyle dx\,$dy}, 및 C $\{\backslash$$displaystyle C}$가 $기본$ 단위 셀이므로 1 ⋅ (${\displaystyle {}_{}}$ 2 x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$를 사용하면 기본 단위 셀의 볼륨이 됩니다.

힐베르트 공간 해석

힐베르트 공간의 언어에서, 함수 집합 $\{{\displaystyle e^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{in}}^{}}$ x :${\displaystyle {}^{}n}$ ∈ ${\displaystyle Z}$}$${\$displaystyle \left\{e_{n$}=$e^{inx}:n\in \mathbb {Z$${\displaystyle {}^{}}$ \$right\}$는 [ -$$π$,$ π ] {\$displaystyle$ L${\displaystyle ^\{}$$2$}([-\pi$,\pi])$ {\displaystyle $[-\$pi]}의 공간 $L2$ ([-$$π,${\displaystyle }$π${\displaystyle ])}$ ${\$$displaystyle$ [-\$pi,\pi]}$에 대한 정규 기저입니다$.$이 공간은 실제로 힐베르트 공간이며, 내부 곱은 다음과$$ 같이 두 요소 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$에 대해 주어집니다.

${\displaystyle ⟨}{\displaystyle f,\; g}$ ⟩ ≜ ${\displaystyle 1\; 2}$ ${\displaystyle {\pi }_{}^{}{}^{}\int \; -{}_{}^{}}$π π ${\displaystyle {}_{}^{}}$( x${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) d ${\displaystyle x,}$ ${\displaysty$ _${-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}($dx$,$ 여기서 $g$ ∗ (${\displaystyle {}^{}}$x$)$는 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x)}$의 복소수 켤레입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle g(x)}$

힐베르트 공간에 대한 기본 푸리에 급수 결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}}$

이것은 위에 주어진 복잡한 지수 공식과 정확히 일치합니다.사인과 코사인이 있는 버전은 힐베르트 공간 해석으로도 정당화됩니다.실제로 사인과 코사인은 직교 집합을 형성합니다.

(여기서 δ는 크로네커 삼각주), 그리고또한, 사인과 코사인은 상수 $함수$ 1 ${\displaystyle 1}$과(와) 직교합니다$.$ 실수 함수로 구성된 ${\displaystyle {L2}^{}}$ ${\displaystyle ([}$ -${\displaystyle }$π,${\displaystyle }$π ${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi,\pi])}$의 정규 기저는 $함수$ 1 ${\displaystyle 1}$ 및 $2$ ${\displaystyle \cos }$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle n}$ x${\displaystyle )}$ ${\sqrt {2}\cos(nx)},$$2$ ${\displaystyle \sin }$ ⁡${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle {\sqrt$}${$2$}}\$sin$(nx)},$ $n$=1,2,...그들의 스팬 밀도는 스톤-바이어스트라스 정리의 결과이지만, 페예르 커널과 같은 고전적인 커널의 특성에도 기인합니다.

푸리에 급수의 수렴을 증명하는 푸리에 정리

수렴 조건을 명시하지 않는 이 정리들과 그들의 비공식적인 변형들은 때때로 일반적으로 푸리에 정리 또는 푸리에 정리라고 불립니다.^{[25][26][27][28]}

더 이른 Equ.7

는 $N차{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 삼각 다항식으로 일반적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

최소 제곱 특성

파르스발의 정리는 다음을 의미합니다.

수렴정리

최소 제곱 특성과 푸리에 기저의 완전성 때문에 기본 수렴 결과를 얻습니다.

${\displaystyles}$이(가) 연속적으로 미분 가능한 경우$,$ (${\displaystyle i}$⋅${\displaystyle n)S}$ [${\displaystyle }$n ]$${\$displaystyle(i\cdotn)$임을 이미 언급했습니다.$S[n]}$은 도함수 $'{\displaystyle s'}$의 ${\displaystyle {\text{n번째}}^{}}$ ${\displaystyle$ n$^{\text{th}}$ 푸리에 계수이며$,$ 이는 본질적으로 코시-슈바르츠 부등식으로부터 $∞$ ${\displaystyle s_{\infty}}$는 절대적으로 합해질 수 있습니다.이 시리즈의 합은$$푸리에 시리즈가 $평균$에서 {\$displaystyles}$로 수렴하므로$$$s{\displaystyle }$ ${\displaystyles}$와 같은 연속 함수입니다$.$

이 결과는 만약$s$ {\$displaystyles}$를$$C 2 {\$displaystyle C^{2$}}로 더 가정한다면 쉽게 증명될 수 있습니다$.$ 이 경우 $n$ ${\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ n$^{2}S[n]}$는 $n$ → ∞ ${\displaystyle n\rightarrow \infty}$로 0이 되는 경향이 있기 때문입니다$.$ 보다 일반적으로 푸리에 급수는 절대적으로 합칠 수 있으므로 s ${\displaystyles}$로 균일하게 수렴합니다$.$${\displaystyle s}$ ${\displaystyles}$는 α> / ${\displaystyle \alpha$> $1$/ $2}$의 Hölder 조건을 만족합니다 절대적으로 합산 가능한 경우, 부등식:

${\displaystyle \sup _{x} s(x)-s_{_{N}}(x) \leq \sum _{n >N} S[n] }$

균일한 수렴을 증명합니다.

만약 $s$ ${\displaystyles}$가 x$${\$displaystyle x}$에서 미분 가능하다면, $시리즈$가 x$${\$displaystyle x}$에서 수렴하는 적당히 간단한 결과를 포함하여, 푸리에 시리즈의 수렴에 관한 많은 다른 결과들이 알려져 있습니다$.$${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 함수의$$ 푸리에 급수가 실제로 거의 모든 곳에 수렴한다는 렌나르트 칼레슨의 훨씬 더 정교한 결과에 따라.

발산

푸리에 급수는 매우 좋은 수렴 특성을 가지고 있기 때문에 많은 사람들이 종종 일부 부정적인 결과에 놀라곤 합니다.예를 들어, 연속 T 주기 함수의 푸리에 급수는 점별로 수렴할 필요가 없습니다.^{[citation needed]}균일한 경계 원리는 이 사실에 대한 단순한 비건설적 증거를 제공합니다.

1922년, 안드레이 콜모고로프는 푸리에 급수가 거의 모든 곳에서 발산하는 르베그 적분 가능 함수의 예를 든 Unserie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout이라는 제목의 기사를 출판했습니다.그는 나중에 푸리에 급수가 모든 곳에 분산되는 적분 가능한 함수의 예를 만들었습니다(Katznelson 1976).

참고 항목

메모들

참고문헌

추가열람

외부 링크

• "Fourier series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hobson, Ernest (1911). "Fourier's Series" . Encyclopædia Britannica. Vol. 10 (11th ed.). pp. 753–758.
• Weisstein, Eric W. "Fourier Series". MathWorld.
• Joseph Fourier – Wayback Machine에서 이 기사의 역사 부분에 사용된 푸리에의 삶에 대한 사이트(2001년 12월 5일 기록)

이 기사는 Creative Commons Attribution/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Fourier 시리즈 예제에서 가져온 자료를 통합합니다.