수학적 분석 과 응용에서 다차원 변환 은 2차원 이상의 영역에서 신호의 주파수 함량을 분석하는 데 사용된다.
다차원 푸리에 변환 대표적인 다차원 변환으로는 시간/공간 영역 표현 에서 주파수 영역 표현으로 신호를 변환하는 푸리에 변환이 있다.[1] 이산 도메인 다차원 푸리에 변환(FT)은 다음과 같이 계산할 수 있다.
F ( w 1 , w 2 , … , w m ) = ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ ⋯ ∑ n m = − ∞ ∞ f ( n 1 , n 2 , … , n m ) e − i w 1 n 1 − i w 2 n 2 ⋯ − i w m n m {\displaystyle F(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\dots ,n_{m})e^{-iw_{1}n_{1}-iw_{2}n_{2}\cdots -iw_{m}n_{m}}} 여기서 F 는 다차원 푸리에 변환을 의미하며, m 은 다차원 차원을 의미한다. f 를 다차원 이산 영역 신호로 정의하십시오.역 다차원 푸리에 변환은 다음에 의해 주어진다.
f ( n 1 , n 2 , … , n m ) = ( 1 2 π ) m ∫ − π π ⋯ ∫ − π π F ( w 1 , w 2 , … , w m ) e i w 1 n 1 + i w 2 n 2 + ⋯ + i w m n m d w 1 ⋯ d w m {\displaystyle f(n_{1},n_{2},\filename,n_{m}=\lefted\frac {1}{1}{2\pi }}\오른쪽) ^{m}\int _{-\pi }^{\pi }\cdots \int _{-\pi }^{\pi }F(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{m})e^{iw_{1}n_{1}+iw_{2}n_{2}+\cdots +iw_{m}n_{m}}\,dw_{1}\cdots \,dw_{m}} 연속 도메인 신호에 대한 다차원 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.[1]
F ( Ω 1 , Ω 2 , … , Ω m ) = ∫ − ∞ ∞ ⋯ ∫ − ∞ ∞ f ( t 1 , t 2 , … , t m ) e − i Ω 1 t 1 − i Ω 2 t 2 ⋯ − i Ω m t m d t 1 ⋯ d t m {\displaystyle F(\Omega _{1},\Omega _{2},\ldots ,\Omega _{m})=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})e^{-i\Omega _{1}t_{1}-i\Omega _{2}t_{2}\cdots -i\Omega _{m}t_{m}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{m}} 푸리에 변환의 속성 1-D FT 변환의 유사한 특성이 적용되지만 입력 파라미터가 하나의 입력에 불과한 대신 다차원(MD) 배열이나 벡터다. 따라서 x(n) 대신 x(n1 ,…,nM )이다.
선형성 if x 1 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X 1 ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} x 2 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X 2 ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x_{ {}(n_{1},\ldots,n_{M}}{\overset {\underset {\mathrm {FT}}}}{}}{{}}}{\long 화살표 }}}}}}}\omega _{1 _\M}}}
a x 1 ( n 1 , … , n M ) + b x 2 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T a X 1 ( ω 1 , … , ω M ) + b X 2 ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle ax_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})+bx_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}aX_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})+bX_{2}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} 시프트 if x ( n 1 , . . . , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , . . . , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})} x ( n 1 − a 1 , . . . , n M − a M ) ⟷ F T e − j ( ω 1 a 1 + , . . . , + ω M a M ) X ( ω 1 , . . . , ω M ) {\displaystyle x(n_{1}-a_{1},...,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}e^{-j(\omega _{1}a_{1}+,...,+\omega _{M}a_{M})}X(\omega _{1},...,\omega _{M})}
if x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}
e j ( θ 1 n 1 + ⋯ + θ M n M ) x ( n 1 − a 1 , … , n M − a M ) ⟷ F T X ( ω 1 − θ 1 , … , ω M − θ M ) {\displaystyle e^{j(\theta _{1}n_{1}+\cdots +\theta _{M}n_{M})}x(n_{1}-a_{1},\ldots ,n_{M}-a_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})} 곱하기 if x 1 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X 1 ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})} x 2 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X 2 ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x_{2 }}(n_{1},\ldots ,n_{M}}{{}}}{{}}{{}}}{\\underset {\mathrm {FT}}}}}}}{}}}{\longleftrightarrow }}(\omega _{1},\ldots,\M})}}}}}}}
그때
x 1 ( n 1 , … , n M ) x 2 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T 1 ( 2 π ) M ∫ − π π ⋯ ∫ − π π X 1 ( ω 1 − θ 1 , … , ω M − θ M ) X 2 ( θ 1 , … , θ M ) d θ 1 ⋯ d θ M {\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})X_{2}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{M})\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{M}} (주파수 영역의 MD 콘볼루션 )
또는
x 1 ( n 1 , … , n M ) x 2 ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T 1 ( 2 π ) M ∫ − π π ⋯ ∫ − π π X 1 ( θ 1 , … , θ M ) X 2 ( ω 1 − θ 1 , … , ω M − θ M ) d θ 1 ⋯ d θ M {\displaystyle x_{1}(n_{1},\ldots ,n_{M})x_{2}(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cdots \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{M})X_{2}(\omega _{1}-\theta _{1},\ldots ,\omega _{M}-\theta _{M})\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{M}} (주파수 영역의 MD 콘볼루션 )
차별화 If x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}
− j n 1 x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T ∂ ( ∂ ω 1 ) X ( ω 1 , … , ω M ) , {\displaystyle -jn_{1}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{1})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),} − j n 2 x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T ∂ ( ∂ ω 2 ) X ( ω 1 , … , ω M ) , {\displaystyle -jn_{2}x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\partial }{(\partial \omega _{2})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),} ( − j ) M ( n 1 n 2 ⋯ n M ) x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T ( ∂ ) M ( ∂ ω 1 ∂ ω 2 ⋯ ∂ ω M ) X ( ω 1 , … , ω M ) , {\displaystyle (-j)^{M}(n_{1}n_{2}\cdots n_{M})x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}{\frac {(\partial )^{M}}{(\partial \omega _{1}\partial \omega _{2}\cdots \partial \omega _{M})}}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M}),} 전치 If x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}
x ( n M , … , n 1 ) ⟷ F T X ( ω M , … , ω 1 ) {\displaystyle x(n_{M},\ldots,n_{1}{\overset {\\underset {\\mathrm {FT}}}}{}}{}}}}{\long좌측 오른쪽 화살표 }}}}}}X(\omega _{M},\ldots,\1}}) 반사 If x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}
x ( ± n 1 , … , ± n M ) ⟷ F T X ( ± ω 1 , … , ± ω M ) {\displaystyle x(\pm n_{1},\ldots,\pm n_{M}}}{{}}{\underset {\mathrm {FT}}}}}}}}{}}}{{}}}\pm \long \omega_}}}}} 콤플렉스 결합 If x ( n 1 , … , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , … , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},\ldots ,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},\ldots ,\omega _{M})}
x ∗ ( ± n 1 , … , ± n M ) ⟷ F T X ∗ ( − ω 1 , … , − ω M ) {\displaystyle x^{*}(\pm n_{1},\ldots,\pm n_{M}}}{}}}{{}}{{\underset {\mathrm {FT}}}}}}}{}}}}{}\\longleftarrow}X^{*(-\dots,\dots}). 파르세발 정리(MD) if x 1 ( n 1 , . . . , n M ) ⟷ F T X 1 ( ω 1 , . . . , ω M ) {\displaystyle x_{1}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X_{1}(\omega _{1},...,\omega _{M})} x 2 ( n 1 , . . . , n M ) ⟷ F T X 2 ( ω 1 , . . . , ω M ) {\displays tyle x_{2}(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT}}{}}{{}}{{\longleftriftrightarrow }}X_ {2}(\omega _{1 ...,\omega _{M})},
∑ n 1 = − ∞ ∞ . . . ∑ n M = − ∞ ∞ x 1 ( n 1 , . . . , n M ) x 2 ∗ ( n 1 , . . . , n M ) = 1 ( 2 π ) M ∫ − π π . . . ∫ − π π X 1 ( ω 1 , . . . , ω M ) X 2 ∗ ( ω 1 , . . . , ω M ) d ω 1 . . . d ω M {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\inflt }^{\inflt }... \sum _{n_{M}=-\infty }^{\infty }x_{1}(n_{1},...,n_{M})x_{2}^{*}(n_{1},...,n_{M}){=}{\frac {1}{(2\pi )^{M}}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }... \int \limits _{-\pi }^{}^{\pi }X_{1}(\omega _{1}}...,\omega _{M}X_{2}^{*}(\omega _{1}, \m}d\omega _{1}...){1}... d\omega _{M}}
x 1 n 1 n M x2 n .} {\displaystyle x_{1}(n_{1 ...,n_{M}){=}x_{2}(n_{1 ...,n_{M
∑ n 1 = − ∞ ∞ . . . ∑ n M = − ∞ ∞ x 1 ( n 1 , . . . , n M ) 2 = 1 ( 2 π ) M ∫ − π π . . . ∫ − π π X 1 ( ω 1 , . . . , ω M ) 2 d ω 1 . . . d ω M {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\inflt }^{\inflt }... \sum _{n_{M}=-\infit }^{}{{1}(n_{1},...,n_{M}) ^{2}{{2}{\frac {1}{1}{{M}}}}}{{{\pi )}}}\int \limits _{-\pi }{}}}}}}... \int \limits _{-\pi }^{\pi }X_{1}(\omega _{1})(\omega _{1}, \omega _{M}) ^{2}d\omega _{1}... d\omega _{M}}
파르세발 정리의 특별한 경우는 두 다차원 신호가 같은 경우다. 이 경우, 정리는 신호의 에너지 절약을 묘사하고 있으며, 합계 또는 적분에서의 용어는 신호의 에너지 밀도다.
분리성 한 가지 속성은 분리 가능성 속성이다. 신호나 시스템은 서로 다른 독립 변수를 가진 1-D 함수의 산물로 표현될 수 있다면 분리가 가능하다고 한다. 이러한 현상은 FT 변환을 다차원 FT가 아닌 1-D FT의 제품으로 계산할 수 있게 한다.
if x ( n 1 , . . . , n M ) ⟷ F T X ( ω 1 , . . . , ω M ) {\displaystyle x(n_{1},...,n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}X(\omega _{1},...,\omega _{M})} a ( n 1 ) ⟷ F T A ( ω 1 ) {\displaystyle a(n_{1}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}A(\omega _{1})} b ( n 2 ) ⟷ F T B ( ω 2 ) {\displaystyle b(n_{2}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}B(\omega _{2})} y ( n M ) ⟷ F T Y ( ω M ) {\displaystyle y(n_{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}Y(\omega _{M})} x ( n 1 a n 2 {\ displaystyle x(n_{1 }, ...,n_{M}}}{=a(n_{1}b(n_{2})... y(n_{M
X ( ω 1 , . . . , ω M ) ⟷ F T x ( n 1 , . . . , n M ) = a ( n 1 ) b ( n 2 ) . . . y ( n M ) ⟷ F T A ( ω 1 ) B ( ω 2 ) . . . Y ( ω M ) {\displaystyle X(\omega _{1},...,\omega _{M}){\overset {\underset {\mathrm {FT} }{}}{\longleftrightarrow }}x(n_{1},...,n_{M}){=}a(n_{1})b(n_{2})... y(n_{M}}){\overset {\underset {\mathrm {FT}}}{{}}{{}}{{}}}}A(\omega _{1}B(\omega _{2})... Y(\omega _{M
X ( ω 1 , . . . , ω M ) = A ( ω 1 ) B ( ω 2 ) . . . Y ( ω M ) {\displaystyle X(\omega _{1},...,\omega _{M}){=}A(\omega _{1}B(\omega _{2})... Y(\omega _{M}})
MD FFT 고속 푸리에 변환 (FFT)은 이산 푸리에 변환(DFT)과 그 역비를 계산하는 알고리즘이다.FFT는 DFT를 계산하고 DFT 정의를 직접 평가하는 것과 정확히 동일한 결과를 산출한다. 유일한 차이점은 FFT가 훨씬 더 빠르다는 것이다. (반올림 오류가 있는 경우, 많은 FFT 알고리즘은 DFT 정의를 직접 평가하는 것보다 훨씬 더 정확하다.) 단순한 콤플렉스-숫자 산술부터 그룹 이론, 숫자 이론에 이르기까지 광범위한 수학이 수반되는 FFT 알고리즘에는 여러 가지가 있다. 자세한 내용은 FFT 를 참조하십시오.
MD DFT 다차원 이산 푸리에 변환 (DFT)은 균일한 간격의 샘플 주파수에서 평가하여 이산 도메인 FT의 샘플링된 버전이다.[2] N 1 N 2 ... N m DFT는 다음을 통해 제공된다.
F x ( K 1 , K 2 , … , K m ) = ∑ n 1 = 0 N 1 − 1 ⋯ ∑ n m = 0 N m − 1 f x ( n 1 , n 2 , … , n m ) e − i 2 π N 1 n 1 K 1 − i 2 π N 2 n 2 K 2 ⋯ − i 2 π N m n m K m {\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{n_{m}=0}^{N_{m}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})e^{-i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}-i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots -i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}} 0 Ki Ni 1 , i = 1, 2 , ..., m
역 다차원 DFT 방정식은
f x ( n 1 , n 2 , … , n m ) = 1 N 1 ⋯ N m ∑ K 1 = 0 N 1 − 1 ⋯ ∑ K m = 0 N m − 1 F x ( K 1 , K 2 , … , K m ) e i 2 π N 1 n 1 K 1 + i 2 π N 2 n 2 K 2 ⋯ + i 2 π N m n m K m {\displaystyle fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})={\frac {1}{N_{1}\cdots N_{m}}}\sum _{K_{1}=0}^{N_{1}-1}\cdots \sum _{K_{m}=0}^{N_{m}-1}Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{m})e^{i{\frac {2\pi }{N_{1}}}n_{1}K_{1}+i{\frac {2\pi }{N_{2}}}n_{2}K_{2}\cdots +i{\frac {2\pi }{N_{m}}}n_{m}K_{m}}} 0 (1, 2, ... , m ) n 1 ,n 2 , ...,n m 1 의 경우.
다차원 이산 코사인 변환 이산 코사인 변환(DCT)은 데이터 압축 , 피쳐 추출, 이미지 재구성, 멀티프레임 검출 등과 같은 광범위한 응용 분야에서 사용된다. 다차원 DCT는 다음을 통해 제공된다.
F x ( K 1 , K 2 , … , K r ) = ∑ n 1 = 0 N 1 − 1 ∑ n 2 = 0 N 2 − 1 ⋯ ∑ n r = 0 N r − 1 f x ( n 1 , n 2 , … , n r ) cas π ( 2 n 1 + 1 ) K 1 2 N 1 ⋯ cas π ( 2 n r + 1 ) K r 2 N r {\displaystyle Fx(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\cdots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}fx(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})\cos {\frac {\pi (2n_{1}+1)K_{1}}{2 N_{1}}}\cdots \cos {\frac {\pi(2n_{r}+1)K_{r}{r}:{2}} N_{r}}}} ki = 0, 1, ..., Ni i = 1, 2, ..., r.
다차원 래플라스 변환 다차원 라플라스 변환은 경계 값 문제의 해결에 유용하다. 부분 미분 방정식으로 특징지어지는 두 개 이상의 변수의 경계 값 문제는 라플라스 변환을 직접 사용하여 해결할 수 있다.[3] M-차원 사례에 대한 Laplace 변환은 다음과 같이 정의된다[3]
F ( s 1 , s 2 , … , s n ) = ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ f ( t 1 , t 2 , … , t n ) e − s n t n − s n − 1 t n − 1 ⋯ ⋯ s 1 t 1 d t 1 ⋯ d t n {\displaystyle F(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})e^{-s_{n}t_{n}-s_{n-1}t_{n-1}\cdots \cdots s_{1}t_{1}}\,dt_{1}\cdots \,dt_{n}}
여기서 F는 신호 f(t)의 s-도메인 표현을 의미한다.
함수 f(x,y)의 다차원 라플라스 변환의 특수 케이스(2차원 포함)는 다음과 같이[4]
F ( s 1 , s 2 ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ f ( x , y ) e − s 1 x − s 2 y d x d y {\displaystyle F(s_{1},s_{2})=\int \limits _{0}^{\infit _{0}^{\infit }\f(x,y)e^{-s_{1}x-s_{2}y}\,dy}
F ( s 1 , s 2 ) {\displaystyle F(s_{1},s_{2})} f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} F ( s 1 , s 2 ) {\displaystyle F(s_{1},s_{2})} [citation needed 이 특별한 경우는 텔레파시의 방정식 을 푸는 데 사용될 수 있다.[citation needed }
다차원 Z 변환[5] 다차원 Z 변환은 이산 시간 영역 다차원 신호를 Z 도메인에 매핑하는 데 사용된다. 필터의 안정성을 확인하는 데 사용할 수 있다. 다차원 Z 변환 방정식은 다음과 같다.
F ( z 1 , z 2 , … , z m ) = ∑ n 1 = − ∞ ∞ ⋯ ∑ n m = − ∞ ∞ f ( n 1 , n 2 , … , n m ) z 1 − n 1 z 2 − n 2 … z m − n m {\displaystyle F(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{m})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{n_{m}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{m})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\ldots z_{m}^{-n_{m}}}
여기서 F는 신호 f(n)의 z-도메인 표현을 의미한다.
다차원 Z 변환의 특별한 경우는 다음과 같이 주어지는 2D Z 변환이다.
F ( z 1 , z 2 ) = ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ f ( n 1 , n 2 ) z 1 − n 1 z 2 − n 2 {\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}
푸리에 변환은 단위 원(1D)과 단위 바이 원(2D)을 따라 평가된 Z 변환의 특별한 경우다.
z e j w {\ textstyle z=e^{jw}}
수렴영역 WTF는(z1,z2)에 F(z1, z2))∑ n1)−∞ ∞ ∑ n2)−∞ ∞ f(n1, n2)z1− n1z2− n2{\displaystyle F(z_{1},z_{2})=\sum_{n_{1}=-\infty}^{\infty}\sum _{n_{2}=-\infty}^{\infty}f(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}}<>.;∞ displaystyle <\flatty }
예:
시퀀스에 그림 1.1a와 같이 지지대가 있으면 그림 1.1b에 ROC가 표시된다. 이것은 그 F 1 (z 2 ,z) < ∞ 에 이은 것이다.
( z 01 z 02 {\displaystyle (z_{01}, z_{02}}} 포인트( z 1 z
따라서 그림 1.1a와 1.1b의 경우 ROC는 다음과 같을 것이다.
ln z 1 ≥ ln z 01 그리고 ln z 2 ≥ L ln z 1 + { ln z 02 − L ln z 01 } {\displaystyle \ln z_{1} \geq \ln z_{01} {\text{} 및 }\\ln z_{2} \geq L\ln z_{1} +\\\\ln z_{02} -L\ln z_{01} \}}}}}}}} \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서 L 은 경사면이다.
Z-변환기와 유사한 2D Z-변환기 는 다차원 신호 처리에 사용되어 푸리에 변환이 있는 4D 공간의 2D 표면을 단위 표면 또는 단위 바이커클이라고 하는 복잡한 주파수 영역과 2차원 이산 시간 신호를 연관시킨다.
적용들 DCT와 DFT는 신호 처리와[6] 또한 DFT는 경련이나 큰 정수를 곱한 것과 같은 다른 작업을 수행하는 데 사용될 수 있다. DFT와 DCT는 많은 분야에서 광범위하게 사용되어 왔으며, 우리는 아래의 몇 가지 사례만을 스케치한다.
이미지 처리 DCT는 JPEG 이미지 압축, MJPEG , MPEG , DV , 다알라 , 테오 라 비디오 압축 에 사용된다. 거기서 NxN 정량화 하여 엔트로피 코딩 한다. 이 경우 N 은 일반적으로 8이고 DCT-II 공식은 블록의 각 행과 열에 적용된다. 결과는 8x8 변환 계수 배열로, (0,0) 요소(상단-왼쪽)가 DC(주파수 0) 성분이며 수직 및 수평 지수 값이 증가하는 항목은 오른쪽 그림에서와 같이 수직 및 수평 공간 주파수가 더 높은 것을 나타낸다.
영상 처리에서, 사람 또한고 파격적으로 암호화 방법 2DDCTs에 대해, 2D이미지 plane,[7]에 다른 방향에 따르면, 2차원 방향 DCT-DWT 하이브리드 변환 초음파 이미지 denoising에 적용될 수 있을non-visible 2진 워터 마크 삽입을 분석할 수 있다.[8]3-D디지털 통신 단말기 또한으로 변형시키는 데 쓰일 수 있다. 워터마크의 비디오 데이터 또는 3-D 이미지 데이터 변환 도메인의 스키마 포함.[9] [10]
스펙트럼 분석 분광분석 에 DFT를 사용하는 경우, {xn } 시퀀스는 일반적으로 시간 을 나타내는 일부 신호 x (t)의 균일한 간격의 시간샘플의 유한 집합을 나타낸다.연속 시간에서 샘플로 변환(discrety-time)하면 x (t )의 기본 푸리에 변환 이 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)으로 변경되며, 일반적으로 앨리어싱 이라고 하는 왜곡 유형이 수반된다. 적절한 샘플링 속도 선택(Nyquist rate 마찬가지로 매우 긴(또는 무한) 시퀀스에서 관리 가능한 크기로의 변환은 누설 적절한 하위 시퀀스 길이의 선택은 그 효과를 최소화하기 위한 주요 열쇠다. 사용 가능한 데이터(및 처리 시간)가 원하는 주파수 분해능을 달성하는 데 필요한 양보다 많을 경우, 표준 기법은 예를 들어 분광그램 을 만들기 위해 여러 DFT를 수행하는 것이다. 원하는 결과가 전력 스펙트럼이고 데이터에 소음 또는 무작위성이 있는 경우, 다중 DFT의 크기 성분의 평균은 스펙트럼의 분산 을 감소시키는 유용한 절차(이 맥락에서 주기각이라고 도 함)이다. 이러한 기법의 두 가지 예는 웰치 방법 과 바틀렛 방법 이다. 일반적인 하위제크법이다. 잡음 신호의 동력 스펙트럼 추정을 스펙트럼 추정 이라고 한다.
변형(혹은 착각 )의 최종 원천은 DFT 그 자체인데, 이는 연속 주파수 영역의 함수인 DTFT의 이산 샘플링에 불과하기 때문이다. 그것은 DFT의 분해능을 높임으로써 완화될 수 있다. 이 절차는 § DTFT 샘플링 에 설명되어 있다.
이 절차를 제로 패딩(zero-padding )이라고도 부르기도 하는데, 이는 고속 푸리에 변환 (FFT) 알고리즘과 함께 사용되는 특정 구현이다. 제로 값 "샘플"로 곱과 추가를 수행하는 비효율성은 FFT의 고유 효율성으로 상쇄되는 것 이상이다. 이미 언급한 바와 같이 누출은 DTFT의 고유 분해능에 제한을 가한다. 따라서 미세한 DFT에서 얻을 수 있는 이익에는 실질적인 한계가 있다. 부분 미분 방정식 이산 푸리에 변환은 종종 부분 미분 방정식을 풀기 위해 사용되는데, 여기서 다시 DFT는 푸리에 시리즈 에 대한 근사치(무한 N 의 한계에서 복구됨)로 사용된다. 이 접근방식의 장점은 분화의 고유 기능인 d/dx inx in inx e 에서inx 따라서 푸리에 표현에서 분화는 간단하다. 우리 는 i n 으로 곱할 뿐이다. 단, n 의 선택은 앨리어싱으로 인해 고유하지 않다. 방법이 수렴되려면 위의 삼각 보간 섹션의 그것과 유사한 선택을 사용해야 한다. 계수가 일정한 선형 미분 방정식 은 쉽게 해결할 수 있는 대수 방정식으로 변형된다. 그런 다음 역 DFT를 사용하여 결과를 다시 일반적인 공간 표현으로 변환한다. 그러한 접근을 스펙트럼법 이라고 한다.
또한 DCTs는 스펙트럼 방법에 의한 부분 미분 방정식을 푸는 데 광범위하게 사용된다. 여기서 DCT의 다른 변형은 배열의 두 끝에서 약간 다른 균등/이상 경계 조건에 대응한다.
라플라스 변환은 부분 미분 방정식을 푸는 데 사용된다. 이 기법에서 해결책을 얻기 위한 일반 이론은 n차원의 라플라스 변환에 대한 이론에 의해 개발된다.[3]
다차원 Z 변환은 부분 미분 방정식을 푸는 데도 사용될 수 있다.[11]
FFT에 의한 예술 표면해석을 위한 영상처리 매우 중요한 한 가지 요인은 우리가 예술작품과 제로손상에 대한 희귀한 귀중품 정보(HVS 시청점에서 전체 색도 및 공간 정보로 집중)를 얻기 위해 비파괴적인 방법을 적용해야 한다는 것이다. 우리는 색의 변화를 보거나 표면의 균일성 변화를 측정함으로써 예술을 이해할 수 있다. 전체 이미지가 매우 클 것이기 때문에, 우리는 이미지를 자르기 위해 두 번 상승된 코사인 창을 사용한다.[12]
w ( x , y ) = 1 4 ( 1 + cas x π N ) ( 1 + cas y π N ) {\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{1}{4}\좌(1+\cos) {\frac {x\pi }{N}\우)\좌(1+\cos {\frac {y\pi }{N}\우)} 여기서 N 은 영상 치수, x 는 영상 범위 중앙에서 0 부터 N/2까지의 좌표다. 저자는 다음과 같은 공간 주파수에 대해 동일한 값을 계산하고자 했다.[12]
A m ( f ) 2 = [ ∑ i = − f f FFT ( − f , i ) 2 + ∑ i = − f f FFT ( f , i ) 2 + ∑ i = − f + 1 f − 1 FFT ( i , − f ) 2 + ∑ i = − f + 1 f − 1 FFT ( i , f ) 2 ] {\displaystyle {\reasoned} A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right. &\operatorname {FFT}(-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT}(f,i)^{2}\[5pt]&\왼쪽. {}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT}(i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FT}(i,f)^{2}\right]\end{igned}}}}}}}}}}}}} 여기서 "FFT"는 빠른 푸리에 변환을 나타내며, f 는 0에서 N /2 1 까지의 공간 주파수 범위다. 제안된 FFT 기반 영상화 접근법은 문화예술에 대한 장수와 안정성을 보장하는 진단 기술이다. 이것은 간단하고 저렴하며 박물관에서 일상 용도에 영향을 주지 않고 사용할 수 있다. 그러나 이 방법은 부식률을 정량적으로 측정할 수 없다.
약한 비선형 회로 시뮬레이션[13] 역 다차원 래플라스 변환을 적용하여 비선형 회로를 시뮬레이션할 수 있다. 이것은 회로를 상태 공간으로 형성하고 라구에르 함수 확장 을 기반으로 한 역 라플라스 변환을 확장함으로써 이루어진다.
라구에르 방법은 약하게 비선형 회로를 시뮬레이션하는 데 사용할 수 있으며 라구에르 방법은 높은 정확도로 다차원 라플라스 변환을 효율적으로 반전시킬 수 있다.
다차원 라플라스 변환을 사용하여 대형 비선형 회로를 시뮬레이션하는 경우 높은 정확도와 상당한 속도 상승을 달성할 수 있을 것으로 관측된다.
참고 항목 참조 ^ a b Smith, W. Handbook of Real-Time Fast Fourier Transforms: 제품 테스트에 대한 알고리즘, Wiley_ IEEE Press, 에디션 1, 73-80페이지, 1995 ^ Dudgeon 및 Merserau, 다차원 디지털 신호 처리, 2차판,1995 ^ a b c Debnath, Joyati; Dahiya, R. S. (1989-01-01). "Theorems on multidimensional laplace transform for solution of boundary value problems" . Computers & Mathematics with Applications . 18 (12): 1033–1056. doi :10.1016/0898-1221(89)90031-X ^ Operational Calculus in two Variables and its Application (1st English edition) - translated by D.M.G. Wishart (Calcul opérationnel) .^ "Narod Book" (PDF) .^ Tan Xiao, Shao-hai Hu, Yang Xiao. 다차원 신호 처리를 위한 2-D DFT-DWT 응용. ICSP2006 절차, 2006 IEEE ^ 피터 쿨라이, 파볼 사바카이, 조제프 HUSKAI. 디지털 모노크롬 이미지 암호화에 있어서의 2D DCT 어플리케이션의 간단한 가능성. 라디오엘렉트로니카, 17차 국제회의, IEEE, 2007, 페이지 1-6 ^ 신링 원, 양샤오. 2-D 방향 DCT-DWT 하이브리드 변환 및 디노이즈 초음파 이미지에서의 적용 신호 처리. ICSP 2008. 제9차 국제 회의, 페이지: 946–949 ^ 진웨이왕, 시구오 롄, 중수안 류, 젠렌, 유웨이 다이, 할라 왕. 3-D DCT 기반 이미지 워터마킹 계획 산업 전자 및 응용 분야, 2006년 1차 IEEE 컨퍼런스, 페이지 1-6 ^ 진리, 몬체프 가부지, 자르모 타칼라, 헥신 첸. 비디오 코딩을 위한 직접 3-D DCT-DCT 크기 조정 알고리즘. 이미지 및 신호 처리 및 분석, 2009. ISPA 2009. 제6회 국제심포지엄의 진행 105-110 페이지 ^ Gregor, Jiří (1998). "Kybernetika" (PDF) . Kybernetika . 24 . ^ a b 안젤리니, E, 그래신, S.; 피안타니다, M.; 코벨리니, F.; 네리, A.; 파비스, M. FFT 기반의 문화재 모니터링 계측 및 측정 기술 컨퍼런스(I2MTC), 2010 IEEEE를 위한 영상 처리 ^ Wang, Tingting (2012). "Weakly Nonlinear Circuit Analysis Based on Fast Multidimensional Inverse Laplace Transform" . 17th Asia and South Pacific Design Automation Conference . pp. 547–552. doi :10.1109/ASPDAC.2012.6165013 . ISBN 978-1-4673-0772-7 
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}(f)^{2}=\left[\sum _{i=-f}^{f}\right.&\operatorname {FFT} (-f,i)^{2}+\sum _{i=-f}^{f}\operatorname {FFT} (f,i)^{2}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,-f)^{2}+\sum _{i=-f+1}^{f-1}\operatorname {FFT} (i,f)^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e2b7dace8996c89cce35132a4f1e451800a219)
