삼각 다항식

수치해석 및 수학적 분석의 수학적 하위 영역에서 삼각 다항식은 함수 sin(nx)과 cos(nx)의 유한 선형 결합이며 n은 하나 이상의 자연수 값을 차지한다.계수는 실제 값 함수에 대해 실제 숫자로 간주할 수 있다.복잡한 계수의 경우 그러한 함수와 유한 푸리에 시리즈 사이에는 차이가 없다.

삼각 다항식(trigonometric polyomials)은 일반적으로 사용되는데, 예를 들어 주기 함수의 보간법에 적용되는 삼각 보간법(trigonometric interpolation)에서 사용된다.그것들은 이산 푸리에 변환에도 사용된다.

실제 가치 사례에 대한 삼각 다항식이라는 용어는 다음과 같은 유추를 사용한 것으로 볼 수 있다: sin(nx)과 cos(nx)는 다항식의 단항근거와 유사하다.복합적인 경우 삼각 다항식은 e의^ix 양력과 음력에 의해 확장된다.

형식 정의

폼의 임의 함수 T

${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}b_{n}\sin(nx)\qquad(x\in \mathb {R} )}$

$n{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에서 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq n\leq N$은(Rudin 1987, 페이지 88)의 복잡한 삼각 다항식 N 도라고 불린다.오일러의 공식을 사용하여 다항식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad(x\in \mathb {R}).}$

Analogously, letting ${\displaystyle a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N}$ and ${\displaystyle a_{N}\neq 0}$ or ${\displaystyle b_{N}\neq 0}$, then

${\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}a_{n}cos(nx)+\sum _{n=1}b_{n}sin(nx)\qquad(x\in \mathb {R}}}}}}}}}}$

도 N의 실제 삼각 다항식이라고 불린다(Powell 1981, 페이지 150).

특성.

삼각 다항식은 실제 선에서 주기적인 함수로 간주할 수 있으며, 주기는 2㎛의 배수로, 단위 원에서는 함수로 간주할 수 있다.

기본적인 결과는 삼각 다항식이 단위 원의 연속함수의 공간에 균일한 규범(Rudin 1987, Thm 4.25)으로 밀집되어 있다는 것이다. 이는 스톤-바이어스트라스 정리의 특수한 경우다.구체적으로는 모든 연속함수 f와 매 ε > 0에 대해 f(z) - T(z) < 모든 z에 대해 삼각 다항식 T가 존재한다.Fejér의 정리는 f에 균일하게 수렴되는 f의 푸리에 시리즈 부분 합계의 산술적 평균이 원 위에서 연속적이므로 근사치 삼각 다항식 T를 찾을 수 있는 명시적 방법을 제공한다고 명시하고 있다.

도 N의 삼각 다항식은 영 함수(Powell 1981, 페이지 150)가 아닌 한, A가 R인 임의의 간격[a, a + 2π)에서 최대 2N 루트를 가진다.

참조

• Powell, Michael J. D. (1981), Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29514-7
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157.