음수 주파수

서명된 주파수(음수 및 양의 주파수)의 개념은 회전 속도와 감각을 모두 나타낼 수 있다. 인은 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 회전하는 휠처럼 단순할 수 있다. 속도는 초당 회전수(헤르츠) 또는 라디안/초(여기서 1주기는 2㎛ 라디안에 해당한다)와 같은 단위로 표현된다.

사인파

Ω은 라디안/초의 단위를 가진 음이 아닌 파라미터로 한다. 그러면 각도 함수(각도 대 시간) -Ωt + θ은 음수 주파수라고 하는 기울기 -Ω을 갖는다. 그러나 이 함수를 코사인 연산자의 인수로 사용할 경우 결과는 cos(Ωt - θ)와 구별할 수 없다. 마찬가지로 죄(-Ωt + θ)는 죄(Ωt - θ + π)와 구별할 수 없다. 따라서 어떤 사인파도 양의 주파수로 나타낼 수 있다. 기초 위상 기울기의 기호가 모호하다.

음의 주파수는 사인 함수(보랏빛)가 cos(빨간색)를 1/4 사이클만큼 이끌게 한다.

벡터(cos t, sin t)는 1 radian/second 단위로 시계 반대 방향으로 회전하며, 2초마다 원을 완성한다. 벡터(cos -t, sin -t)는 다른 방향으로 회전한다(표시되지 않음).

고 사인 코사인 사업자 동시에 관찰될 수 있을 때ω할 때ω<>왜냐하면 cos(ωt+θ)sin(ωt+θ)1/4사이클()π/2 라디안)에 의해;0, 뒤쳐지고 있다고 부처 담당 4분의 1주기로;0을 통한 모호함, 해결된다.마찬가지로, 벡터,(왜냐면, 죄악 t), 좌회전 1radian/second에서 시작하고, 모든 2π초 원을 완료합니다, 그리고 벡터(cos.를 회전한다. -t, sin -t)가 다른 방향으로 회전한다.

Ω의 부호는 다음과 같은 복합값 함수에 보존된다.

e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)}}

^[A]

(Eq.1)

R(t)과 I(t)는 별도로 추출하여 비교할 수 있기 때문이다. $e^{i\omega t}$ $e^{i\omega t}$ t ${\$ t $}}$ 이(가) 그 어느 성분보다 많은 정보를 명확하게 포함하고 있지만, 일반적인 $e^{i\omega t}$ 해석으로는 다음과 같은 이유로 보다 단순한 함수라는 것이다.

그것은 많은 중요한 삼각법 계산을 단순화하여 $\cos(\omega t)$ 그것은 $\cos(\omega t)$ ( $\cos(\omega t)$ t $){\displaystyle \cos(\omega$ t $)}$ 의 분석적 표현으로서 그것의 공식적인 설명을 이끌어낸다 $\cos(\omega t)$ ^[B]

Eq.1의 주황은 다음과 같다.

\cos(\omega t)={\frac {1}{1}{1}{2}}\end{flaim}}\왼쪽(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\오른쪽),}),

(Eq.2)

cos(Ωt)는 양 주파수와 음 주파수를 모두 구성한다는 해석을 낳는다. 그러나 그 총액은 실제로 더 적은 정보를 포함하는 취소다. Ω은 하나의 부호만 가질 수 있기 때문에 두 주파수 모두 거짓 양(또는 별칭)을 포함하는 모든 측정값.^[C] 예를 들어 푸리에 변환은 cos(Ωt)가 cos(Ωt) + i sin(Ωt)과 동등하게 교차 상관된다는 것을 우리에게 말해줄 뿐이다. cos(Ωt) - i sin(Ωt)^[D]과 동일하다.

적용들

아마도 음수 주파수의 가장 잘 알려진 적용은 다음과 같은 계산일 것이다.

X(\omega )=\int _{a}^{b}x(t)\cdot e^{-i\omega t}dt,

즉, 간격(a, b)에 대한 함수 x(t)의 주파수 Ω의 측정값이다. 이론적 간격(- for, continuous)에 대해 Ω의 연속 함수로 평가하면 x(t)의 푸리에 변환으로 알려져 있다. 두 개의 복잡한 정현악의 산물도 원래 주파수의 합인 복잡한 정현악이라는 간단한 설명이 있다. 따라서 Ω이 양수일 때 e $e^{-i\omega t}$ - i $e^{-i\omega t}$ $e^{-i\omega t}$ ${\$ t $}}$ 는 x(t)의 모든 주파수를 Ω만큼 감소시킨다 $e^{-i\omega t}$ . 주파수 Ω이었던 x(t)의 어떤 부분이든 주파수 0으로 변경되는데, 이는 진폭 수준이 원래 Ω 함량의 강도를 측정하는 상수일 뿐이다. 그리고 주파수 0에 있었던 x(t)의 어떤 부분이든 주파수 -Ω에 있는 사인파(synuse)로 바뀐다. 마찬가지로 다른 모든 주파수도 0이 아닌 값으로 변경된다. 구간(a, b)이 증가할수록 상수 기간의 기여도는 비례적으로 증가한다. 그러나 정현상 용어의 기여는 0 주위에만 진동한다. 그래서 X(Ω)는 함수 x(t)에서 주파수 Ω의 양의 상대적인 측정으로서 향상된다.

$e^{i\omega t}$ $e^{i\omega t}$ $e^{i\omega t}$ ${\$ 의 푸리에 변환은 주파수 Ω에서만 0이 아닌 응답을 생성한다 $e^{i\omega t}$ . $\cos(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ ( $\cos(\omega t)$ t $\cos(\omega t)$ ) ${\displaystyle \cos(\omega$ t $)}$ 의 변환은 Eq.2에서 예상한 대로 Ω과 -Ω으로 모두 반응을 가진다 $\cos(\omega t)$ .

양의 및 음의 주파수 샘플링 및 앨리어싱

이 그림은 실제와 가상의 샘플 포인트의 동일한 세트에 맞는 색상의 금과 청록색의 두 개의 복잡한 사인파이를 묘사하고 있다. 따라서 격자선으로 표시된 속도(f_s)로 샘플링할 때 서로 별칭이 된다. 금색 함수는 그것의 실제 부분(코스 함수)이 그것의 상상의 부분을 한 사이클의 1/4만큼 이끌기 때문에 양의 주파수를 묘사한다. 청록함수는 음의 주파수를 묘사하는데, 그것의 실제 부분이 상상의 부분보다 뒤떨어지기 때문이다.

참고 항목

앵글#사인

메모들

^ 등가식을 오일러의 공식이라고 한다.
^ 복합 표현에 의해 단순화된 계산 예제는 오일러의 공식 § 삼각측량 및 파소르 § 추가를 참조한다.
^ 반대로, 하나의 빈도만을 나타내는 모든 측정은 아마도 부수적인 정보에 기초하여 가정을 했다.
^ cos(Ωt)와 sin(Ωt)은 직교함수여서 두 상관관계의 상상의 부분은 0이다.

추가 읽기

양수 및 음수 주파수
라이온스, 리처드 G. (2010년 11월 11일) 채프 8.4 디지털 신호 처리 이해(3차 개정) 프렌티스 홀, 944 피그스 ISBN 0137027419.

[1] 등가식을 오일러의 공식이라고 한다.

[2] 복합 표현에 의해 단순화된 계산 예제는 오일러의 공식 § 삼각측량 및 파소르 § 추가를 참조한다.

[3] 반대로, 하나의 빈도만을 나타내는 모든 측정은 아마도 부수적인 정보에 기초하여 가정을 했다.

[4] s(Ωt)와 sin(Ωt)은 직교함수여서 두 상관관계의 상상의 부분은 0이다.

[A]

[B]

[C]

[D]

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