잔류 정리

복잡한 분석에서, 때때로 Cauchy의 잔류물 정리라고 불리는 잔류물 정리는 닫힌 곡선에 대한 분석 기능의 라인 통합을 평가하는 강력한 도구로서, 종종 실제 통합과 무한 시리즈를 계산하는 데도 사용될 수 있다.카우치 적분 정리 및 카우치 적분식을 일반화한다.기하학적 관점에서 보면 일반화된 스톡스의 정리의 특수한 경우라고 볼 수 있다.

성명서

그 진술은 다음과 같다.

설정 그림.

$U$ 는 $점 1$ a, ..., a, $a n$ $0, u$ = U $\$ { $a 1, \dots,$ $a n$ }의 유한한 목록을 포함하는 복합 평면의 단순하게 연결된 개방형 서브셋이 $되고 0$ U에 정의된 $함수$ f가 되며, $γ$ 은 $U$ 에서₀ 폐쇄적인 정류 가능 곡선이 되고, $γ$ 은 $I k$ $(γ,$ $a k$ ) 주변의 구불구불구불구불한 $γ$ 수를 나타낸다 $.$ $γ$ 주변의 $f$ 에 통합된 선은 지점의 f $잔류물$ 합계의 $2πi배$ 와 같으며, 각 선은 지점 주위의 $γ$ 바람의 수만큼 계산된다.

\point _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I}(\gamma ,a_{k}\operatorname {Res})(f,a_{k}).

$γ$ 이 양방향의 단순 폐쇄 곡선인 경우 $I((, a)$ = $a$ 가_k_k $γ$ 의 내부에 있을 $경우$ 1이고, 그렇지 않을 경우 0이므로

\point _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res}(f,a_{k})

그 k

안에

있는

over을 합쳐서.^[1]

스톡스의 정리에 대한 잔여 정리의 관계는 요르단 곡선 정리에 의해 주어진다.일반 평면 곡선 $γ$ 은 먼저 통합 목적을 위해 총계가 $γ$ 에 해당하는 단순한 닫힌 곡선 ${}}$ 의_i 집합으로 축소되어야 한다. 이는 내부 $V$ 와 함께 요르단 곡선 $along$ 을_i 따라 $fz$ 의 적분을 찾는 문제를 줄인다. $U 0$ = $U$ \ ${a k}$ 에서 $f$ 가 홀로모픽이어야 한다는 요구사항은 외부 파생상품 $d (fdz)$ = $U 0$ \ $0$ 이라는 문구와 동등하다. 따라서 $U$ 의 두 평면 영역 $V$ 와 $W$ 가{ $a k$ $}$ 의 동일한 하위 집합 { $a j$ $}$ 을 둘러싸면 V \ $W$ \ $V$ 는 전적으로 $U$ 에₀ 있으므로

\int _{V\setminus W}d(f\,dz)-\int _{W\setminus V}d(f\,dz)

잘 정의되어 있고 0과 같다.따라서

γ j

=

\partial V

를 따라

fz

의 등고선 적분은 경로

λ

을_j 따라 통합 집합의 합과 같으며, 각각은 {

a j}

에서

f

의 잔류물(기존 인자

2πi

까지)을 하나의

a j

주위에 임의의 작은 영역으로 둘러싸는다.

{γ j}

을(를) 합하면 권선 번호

{I(γ,

a k)}

의 관점에서 등고선 적분의 최종 식을 회복한다.

실제 통합을 평가하기 위해 다음과 같은 방법으로 잔여 정리를 사용한다. 통합은 복잡한 평면으로 확장되고 그 잔여물은 계산된다(보통 쉽게 계산되며), 실제 축의 일부는 위쪽 또는 아래쪽 반면에 반원을 붙여 닫힌 곡선으로 확장된다.이 곡선 위의 적분은 잔여 정리를 사용하여 계산할 수 있다.흔히 적분자의 반원 부분은 반원 반경이 커짐에 따라 0으로 향하는 경향이 있어, 우리가 원래 관심을 가지고 있던 적분인 진짜 축 부분만 남게 된다.

예

실제 축을 따르는 적분

적분

\int _{-\inflt }^{\inflt }{e^{itx}}{x^{2}+1}\,dx

등고선

C.

Cauchy 분포의 특성 함수를 계산할 때 확률 이론에서 발생한다.기초 미적분학의 기법에 저항하지만 등고선 적분 한계로 표현해 평가할 수 있다.

$t$ > $0$ 을 가정하고 $-a$ 에서 $a$ 로 실제 선을 따라 이동한 다음 $a$ 에서 $-a$ 로 0을 중심으로 반시계 방향으로 가는 등고선 $C$ 를 정의한다. $a$ 를 1보다 크게 취하여 $상상$ 단위가 곡선 안에 들어가도록 한다.이제 등고선 적분을 고려하십시오.

\int_{C}{f(z)}\,dz=\int_{C}{\frac{e^{itz}}}{z^{2}+1}}\,dz.

$e$ 는^itz 전체 함수(복잡한 평면의 어느 지점에서도 특이점이 없으므로, 이 함수는 $분모 2$ z + $1$ 이 0인 경우에만 특이치를 가진다. $z 2$ + $1 =$ ( $z$ + $i)(z$ - $i)$ 이기 때문에, $이$ 는 z = $i$ $또는$ z = $-i$ 에서만 발생한다.이 등고선에 의해 경계된 영역에는 이러한 점 중 하나만 있다. $왜냐하면$ f $(z)$ 는

{\displaystyle{\frac{e^{itz}}{z^{2}+1}{\frac{e^{2}+1}={\frac{2i}}}}{z-i}-{z+i}\오른쪽)\\\&={\frac{e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}}{2i(z+i)},\end{aigned}}}}}

z

=

i

에서

f (z)

의 잔류물

\operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.

잔존 정리대로라면...

\int_{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res}\limits _{z=f(z)=2\pi i{e^{-t}{2i}}=\pi e^{-t}.

등고선 $C$ 는 직선 부분과 곡선 호로 나눌 수 있으므로,

\int _{\mathrm {f(z)\,dz+\int _{\mathrm {f(z)\,dz=\pi e^{-t}}

따라서

\int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {}f(z)\,dz.

몇 가지 추정치를 이용해서

\left \int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right \leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right \leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{ z^{2}+1 }}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},

그리고

\lim _{a\to \inflt }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}=0.

분자의 추정치는 $t$ > $0$ 이후부터 따르며, 호(상반면에 $위치$ 하는)를 따라 복잡한 숫자 z에 대해서는 $z$ 의 인수 $φ$ 이 0과 $π$ 사이에 있다.그렇게

\e^{itz}\오른쪽 =\왼쪽 e^{barphi +i\sin \varphi )}\오른쪽 =\cos \varphi +it z \cos \varphi }\오른쪽 = e^{-t z \sin \varphi }\leq 1.}}

그러므로

\int_{-\infit _{-}^{\inflt}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.

$만약$ t < $0$ 이라면, 내가 $아닌$ $-i$ $주위$ 에 감는 호 C $'$ 를 가진 유사한 논거가 있다.

등고선

C

'.

\int_{-\infit }^{\inflt}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t}}}}

그리고 마침내 우리는

\int _{-\infit }^{\inflit }{e^{e^}}{z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left t\right}}}}

( $t$ = $0$ 이면 적분은 기초 미적분법에 즉시 산출되며 그 값은 $value$ 이다.)

무한정

$π$ $cot(πz)$ 에 각 정수에 잔류물 1이 있는 단순한 폴이 있다는 사실은 합계를 계산하는 데 사용할 수 있다.

\sum _{n=-\nf(n)^{\\f(n)}f(n).

예를 들어, f(z))z−2을 고려해 보세요.−N−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser는 경우의 경계 ΓN이 사각형자.-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2, N긍정적인 오리엔테이션과 함께 정수 NBy잔여 formula,과 1/2-RSB- 2및.

{\frac {1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{N}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\\opername {Res}\limits _{z=-N \neq 0}^{N}n^{-2}}.

통합이 $O(n^{-2})$ ( $O(n^{-2})$ - 2 $O(n^{-2})$ ) ${\displaystyle O (n^{-2})$ 가 있기 때문에 $좌측$ 은 0 → $\infty$ 으로 간다 $O(n^{-2})$ 반면에,^[2]

{\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\오른쪽)=1-B_{\frac {z^{2}}{2}}!}}}+\cdots

여기서 베르누이 번호

B_{2}={\frac {1}{6}}.

B_{2}={\frac {1}{6}}.

=

B_{2}={\frac {1}{6}}.

6

B_{2}={\frac {1}{6}}.

.

{\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}.

}

(실제 $z / 2$ $cot(z / 2$ ) $=$ $iz / 1 - iz$ - e - $iz / 2$ .)따라서 잔류 $Res$ 는_z=0 $-1998 2 / 3$ 이다.결론은 다음과 같다.

\sum _{n=1}^{\inflt }{1}{n^{2}}={\frac {\pi ^{2}}:{6}}}}}

바젤 문제의 증거지

아이젠슈타인 시리즈의 합을 정립하는 데도 같은 수법을 사용할 수 있다.

\pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \ft }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.

$우리$ 는 non-integer와 $함께$ f( $z)$ = ( $w$ - z $) -1$ 를 취하며 $w$ 에 대해 위 내용을 보여줄 것이다.이 경우 난이도는 무한에서 등고선 적분의 소멸을 보여주는 것이다.다음이 있음:

\int _{\Gamma _{N}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z}\,dz=0

통합은 짝수 함수이기 때문에 왼쪽 반면의 등고선과 오른쪽 등고선의 기여는 서로를 취소한다.그러므로

\int_{\N}f(z)\pi \cot(\pi z)\\,dz=\int_{\Gamma _{N}\{N}\frac {1}+{\w-z}}\pi \dz

N

→

\infty

로 0으로 간다.

참고 항목

메모들

^ Whittaker & Watson 1920, 페이지 112, §6.1.
^ 휘태커 & 왓슨 1920, 페이지 125, §7.2. 버누이 $B_{2n}$ B $B_{2n}$ ${\$ 는 휘태커 & 왓슨의 $B_{n}$ 에서 $B_{{n}}$ $B_{n}$ ${\$ 로 표기되어 있다는 점에 $B_{2n}$ 유의한다.

참조

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (in French). Editions Jacques Gabay (published 1989). ISBN 2-87647-060-8.
Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). The Cauchy method of residues: Theory and applications. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). A Course of Modern Analysis (3rd ed.). Cambridge University Press.

외부 링크

"Cauchy integral theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
수학계의 잔재 정리

[1] Whittaker & Watson 1920, 페이지 112, §6.1.

[2] 휘태커 & 왓슨 1920, 페이지 125, §7.2. 버누이 $B_{2n}$ B $B_{2n}$ ${\$ 는 휘태커 & 왓슨의 $B_{n}$ 에서 $B_{{n}}$ $B_{n}$ ${\$ 로 표기되어 있다는 점에 $B_{2n}$ 유의한다.

[1]

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실제 축을 따르는 적분

무한정

참고 항목

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