선거제도 비교

선거제도는 선거를 실시하기 위한 규칙이며, 그 주요 구성요소는 투표에서 승리자(또는 여러 명의 승리자)를 결정하는 알고리즘이다. 이 기사는 '단일 당선자' 선거로부터 독특한 후보를 선출하는 것과 복수 당선자 선거로부터 대표 그룹을 선출하는 것 둘 다, 서로 다른 알고리즘에 대해 제시되어 온 정당성에 대해 논하고 있다. 두 종류의 선거 중 선택은 여기서 논의되지 않은 정치적 질문이다.

2010년 투표 절차에 관한 전문가 22명으로 구성된 패널은 그들이 지지한 18개의 대표 1인 투표 방식 중 어떤 것을 지지했는지에 대해 질문 받았다. 한 멤버는 기권했다. 다양한 시스템의 순위(최대 21명부터 승인자 수 N명)는 다음과 같았다.^[1]

실용적 고려사항

투표 이론에 의해 제기되는 지적 문제는 넓은 의미에서 정확한 시스템을 고안하는 것이다. 그러나 주어진 정확성의 한 시스템이 다른 시스템보다 사회적으로 더 허용될 수 있는 많은 실질적인 이유가 있다. 책임 있는 심판은 어떤 형태의 정확성만큼 이러한 요인에 많은 주의를 기울인다. 라즐리어의 워크숍^[1] 기록과 리처드 달링턴의 두 논문에서 토론자들의 의견을 확인하십시오.^[2][3]

중요한 요인은 다음과 같은 3가지 표제로 분류할 수 있다.

• 티드먼이 '유권자의 신뢰를 얻을 수 있는 룰의 역량'으로 정의하고 있는 '지식성'은 '규칙 논리의 합리성과 이해가능성에 달려 있다'^[1]는 것이다.
• 투표 용이성. 투표 용지의 형태가 다르면 유권자들은 자신의 견해를 공정하게 반영하여 투표 용지를 작성하는 것이 다소 어려워진다.
• 셈하기 쉽다. 투표에서 도출된 작은 계수로 결정을 내릴 수 있는 투표 시스템은 전체 투표 세트에 대해 자문할 필요가 있는 투표 시스템보다 물류적으로 덜 부담스럽다. 일부 투표 시스템은 승자를 결정하기 위해 강력한 계산 자원을 필요로 한다. 비록 그 비용이 선거용으로 금지되지 않더라도, 그것은 효과적인 평가를 방해할 수 있다.

입후보효과

별도의 주제는 다른 후보자들이 다른 투표 시스템에 서도록 장려될 수 있다는 사실이다. FPTP에 따른 투표 낭비 우려는 후보를 뽑는 집단의 손에 큰 힘을 실어준다. 다른 투표 시스템은 어떤 추상적인 의미에서 더 공정하지 않아도 더 만족스러운 결정으로 이어질 수 있다. 이 주제는 분석적 연구를 거의 받지 못했다.

선거제도 비교방법

최고의 투표 방법을 결정하기 위해 사용된 3가지 주요 유형의 추리가 있다.

1. 예에 의한 논쟁: 이것은 가장 오래된 형태의 논쟁이다.
2. 논리적 기준으로부터의 주장: 이것은 예에 의한 논쟁의 체계화라고 볼 수 있다.
3. 모의 선거의 경험적 논쟁. 이 방법은 20세기에 디지털 컴퓨터가 개발되기 전까지는 실행 가능하지 않았다.

컴퓨터 시뮬레이션의 사용은 연대기적으로 이것들 중 마지막이지만, 다른 것들과 관련된 개념을 도입하기 때문에 우리는 먼저 그것에 대해 토론할 것이다.

시뮬레이션을 통한 경험적 평가

선거 절차의 모델

투표 방법은 실제 생활에서 선거의 속성에 충실함을 목표로 하는 무작위 모의선거에서 정확도를 측정함으로써 평가할 수 있다. 첫 번째 그러한 평가는 1978년에 챔버린과 코헨에 의해 실시되었는데, 그는 특정 비콘도르셋 시스템이 콘도르셋 수상자를 선출하는 빈도를 측정했다.^[4] 선거과정을 대변하는 것으로 제안된 모델은 크게 세 가지 유형이 있으며, 그 중 두 가지가 하이브리드 형태로 결합될 수 있다. 네 번째 유형의 모델인 공리주의 모델은 공간적 모델이 공리주의적으로 나타나기도 하지만 실제로는 사용되지 않음에도 불구하고 개념적으로 의미가 있다.

콘도르케트의 배심원 모델

콘도르셋 후작은 선거는 각 구성원이 후보자의 자질에 대해 독자적인 판단을 하는 배심원 투표와 유사하다고 보았다. 이 때문에 후보자는 객관적 메리트가 다르고, 선거인은 후보자의 상대적 메리트에 대해 독립적인 견해를 표명한다. 유권자들의 판단이 무작위보다 나은 한, 충분히 큰 유권자들은 항상 최고의 후보를 선택할 것이다. 배심원 모델은 때때로 용맹 모델로 알려져 있다.

배심원 모델은 투표 시스템에 대한 자연적인 정확성 개념을 내포하고 있다. 즉, 시스템이 가장 좋은 후보를 선출할 가능성이 높을수록, 시스템은 더 우수하다는 것이다. 이것은 선거 결정에 의미론을 제공하는 것으로 보여질 수 있다.

콘도르셋과 그의 동시대의 라플레이스는 투표 이론이 따라서 확률 이론으로 축소될 수 있다는 것을 깨달았다 – 콘도르셋의 주요 작품은 Essai sur l'^[5]application de l'analyse ar l'a probabilité des des desisises ar la domonité des arvoises ab la. 그들의 생각은 20세기에 커메니-영 투표 방식이 유공자별 후보자 순서의 최대 가능성 추정자임을 배심원단 모델에 따라 보여주면서 되살아났다.^[6]

블랙의 공간 모델

콘도르셋 모델의 가장 큰 약점은 독립성을 가정한다는 것인데, 이는 B보다 A를 선호하는 유권자들이 D보다 C를 선호하는 경향이 있을 수 없다는 것을 암시한다. 이것은 증거에 비추어 볼 때, 특정 지롱딘보다 특정 몬타냐드를 선호하는 누군가는 아마도 제2의 지롱딘보다 제2의 몬타냐드를 더 선호할 것이다; 그것은 또한 회원들이 흔히 실수를 할 것이기 때문에, 임의로 큰 배심원들 조차도 틀릴 수 있는 이유를 설명해준다.

던컨 블랙은 1948년 선거를 이념적으로 추진한 것으로 보고 투표의 1차원 공간 모델을 제안했다.^[7] 그의 생각은 후에 앤서니 다운스에 의해 확장되었다.^[8] 유권자의 의견은 하나 이상의 공간에 위치하는 것으로 간주되며, 후보자는 같은 공간에 위치하는 것으로 간주되며, 유권자는 근접성(유클리드 거리 또는 일부 다른 지표에 따라 측정)의 순서로 후보를 선택한다.

공간적 모델은 투표 시스템에 대한 다른 장점 개념을 암시한다. 즉, 당선된 후보가 투표자 분포를 위한 위치 매개변수로 더 잘 수용될 수 있을수록, 시스템은 더 좋다. 정치적 스펙트럼은 1차원 공간 모델이다.

화살의 중성 모델

케네스 애로우는 투표용지가 '메시지'가 되기 보다는 궁극적인 현실인 틀 안에서 일했다(발린스키와 라라키가 표현했듯이^[9]). 그 뒤에 있는 어떤 현실에 대한 부분적(그리고 어쩌면 오해의 소지가 있는) 정보를 전달한다. 그는 이러한 불가지론을 투표의 현실적 그림으로 제시하지 않고 오히려 선거를 재산 조사가 가능한 수학적인 대상으로 규정하는 것으로 제시했다. 그의 유명한 불가능성의 정리는 (특정 가정 하에서) 어떤 순위 투표 시스템에도 (중립 모델 하에서 달성 가능한) 일련의 투표용지가 존재하며, 이는 종종 바람직하다고 여겨지는 세 가지 기준 중 적어도 하나를 위반한다는 것을 보여준다.^[10]

중립 모델은 투표 시스템에 대한 정확성이나 진실성의 어떤 개념도 가지고 오지 않는다.

공정한 문화 모델은 중립 투표 모델에 따라 투표용지의 분포를 정의하며, 유권자를 무작위 소음원으로 취급한다.

하이브리드 모델

배심원단 모델과 공간 모델을 결합하는 것은 가능하다: 유권자들은 후보자들의 자질에 대한 그들의 견해와 이념적 고려에 의해 부분적으로 영향을 받는다고 가정할 수 있다. 이것은 그들의 선호를 별도의 독립적 요소와 비독립적 요소로 세분화한다. 하이브리드 모델은 달링턴에^[2] 의해 간략하게 논의되지만 널리 채택되지는 않았다.

경험적 비교

Tideman과 Plassmann은 2차원 공간 모델이 많은 선거 순위 세트의 3가지 후보 축소에 합리적인 적합성을 보인다는 연구를 수행했다. 배심원 및 중립 모델과 1차원 공간 모델은 부적합한 것으로 나타났으나 하이브리드 모델은 고려되지 않았다.^[11]

이들은 유권자 선호도의 콘도르셋 사이클(A가 B보다 선호되고 있는 예, B에서 C로, C에서 A로)을 살펴본 결과, 그 수가 소표본 효과와 일치한다는 것을 밝혀내, "만약 유권자 수가 많은 선거에서는 매우 드물게 투표 주기가 발생할 것"이라고 결론지었다.

표본 크기의 관련성은 고든 툴록이 이전에 연구한 바 있는데, 그는 유한한 선거인단은 항상 순환하기 쉬우나, 유권자의 수가 증가함에 따라 후보들이 순환을 일으킬 수 있는 영역이 점진적으로 작아질 것이라고 그래픽으로 주장했다.^[12]

실용주의 모델

공리주의 모델은 유권자들을 효용 순으로 순위를 매기는 후보들로 본다. 이 모델 아래, 정당한 승자는 전반적인 사회적 효용을 극대화하는 후보자다. 공리주의 모델은 다음과 같은 몇 가지 중요한 방법으로 공간 모델과 다르다.

• 그것은 유권자들이 그들의 선호에 이념적 색채가 없는 오직 정보에 입각한 이기심에 의해서만 동기가 부여된다는 추가적인 가정을 요구한다.
• 그것은 공간 모델의 거리 측정 기준을 효용성의 충실한 측정으로 대체하도록 요구한다.
• 결과적으로 그 측정기준은 유권자마다 다를 필요가 있을 것이다. 종종 한 그룹의 유권자들이 두 후보 사이의 선택에 의해 강력한 영향을 받는 반면, 다른 그룹은 거의 위험에 처해 있지 않다; 그러면 그 측정 기준은 매우 비대칭적일 필요가 있을 것이다.

모든 유권자들에게 동등한 영향력을 주는 어떤 투표 시스템도 최대의 사회적 효용을 달성할 수 없다는 것은 마지막 재산에서 비롯된다. 공리주의의 주장과 민주주의의 주장이 대립하는 극단적인 경우를 '다수의 역모'라고 한다. 라즐리어의 기록에서 라즐리어의, 멀린, 누르미의 의견을 참조하십시오.^[1]

제임스 밀은 민주주의와 공리주의 사이의 선험적 연관성의 존재를 최초로 주장한 것 같다 – 스탠포드 백과사전 기사와 맥컬레이의 '유명한 공격'^[14]을^[13] 보라.

배심원 모델에서의 비교

선거에서 i ^th 후보가 공적이 x_i(x_i ~ N(0,197²)^[15]라고 가정할 수 있고, 유권자 j의 후보 i에 대한 승인 수준은 x_i + ε_ij(우리는_ij ε이 iid라고 가정할 것이다)이라고 가정해 보자. N (0,197²). 우리는 유권자가 후보자 순위를 감소시키는 것으로 가정한다. 우리는 ε을_ij 유권자 j의 후보 i에 대한 평가의 오류로 해석할 수 있으며, 투표 방법은 가장 뛰어난 공로 후보를 찾는 과제를 갖는 것으로 간주할 수 있다.

각 투표자는 결정 확률 p를 사용하여 두 후보 중 덜 좋은 후보보다 높은 순위를 매긴다(여기 요약된 정상 모델 하에서는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle {\text{황갈색}}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle {}^1}$ ${\displaystyle \frac{\sigma }{}}$ τ${\tfrac {1}{1}{$2}}\!$+\!{\tfrac{1}{\pi$}{\$textrm{tan}^{-1}{\tfrac {\sigma }{\tau$ 사분면에^[16] 걸친 가우스 적분 표준 공식에서 확인할 수 있음). 콘도르케트의 배심원 정리는 그것을 p > 으로 보여준다. 1⁄2, 배심원 과반수 득표는 어떤 한 사람의 의견보다 두 후보의 상대적 장점을 더 잘 보여주는 길잡이가 될 것이다.

페이튼 영은 임의의 후보수 사이 투표에 3개의 재산이 추가로 적용된다는 것을 보여주면서 콘도르셋이 그 중 1위와 3위를 알고 있었음을 시사했다.^[17]

• p가 1⁄2에 가까우면, 보르다 승자는 최고의 후보의 최대우도 추정치가 된다.
• p가 1에 가까우면 Minimax 승자는 가장 적합한 후보의 최대우도 추정치가 된다.
• 어느 p에게나 케메니-영 순위는 진정한 공로 순위의 최대우도 추정자다.

로버트 F. 보들리는 콘도르셋의 배심원 모델을 약간 변형시킨 '유용한' 모델을 만들었다.^[18] 그는 투표 방법의 과제를 유권자의 총합이 가장 큰 후보, 즉 개별 유권자의 찬성 수준이 가장 높은 후보를 찾는 것으로 보았다. 이 모델은 σ² = 0으로도 타당하며, 이 경우 p는 $값{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{2}{}}$ + ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle {\text{tan}}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$- 1 ${\$$+\!{\tfrac{1}{\pi }{\textrm{tan}^{-1}{\tfrac{1}{n-1}$여기서 n은 유권자 수입니다. 그는 예상대로 보르다 카운트가 가장 정확하다는 것을 알아내면서 이 모델에 따라 평가를 수행했다.

공간 모델에서 시뮬레이션된 선택

모의 선거는 적절한 공간에 있는 유권자의 분포로부터 구성될 수 있다. 이 삽화는 O를 중심으로 한 이바리테 가우스 분포에 만족하는 유권자들을 보여준다. 무작위로 생성된 후보자는 A, B, C 3명이다. 공간은 6개 부문 3줄로 나뉘어 각 부문별 유권자의 후보 선호도가 같다. 어떤 방식으로든 후보를 주문하는 유권자의 비율은 관련 부문에 대한 유권자 분포의 필수 요소로 주어진다.

후보자의 6가지 가능한 순서에 해당하는 비율은 다른 투표 시스템에서 산출되는 결과를 결정한다. O와 가장 가까운 후보(이 경우 A)를 선출하는 사람은 정확한 결과를 준 것으로 간주되고, 다른 사람을 선출하는 사람은 오류를 나타냈다. 무작위로 생성된 많은 후보들에 대한 결과를 보면 투표 시스템의 경험적 특성을 측정할 수 있다.

여기에 설명된 평가 프로토콜은 Tideman과 Plassmann이 설명한 것으로 모델링된다.^[11] 이런 유형의 평가는 1인 선거제도에 가장 흔하다. 순위 투표 시스템은 가장 자연스럽게 프레임워크에 적합하지만, 다른 유형의 투표(예: FPTP 및 승인 투표)는 덜 또는 더 많은 노력으로 수용될 수 있다.

평가 프로토콜은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 변경될 수 있다.

• 유권자의 수는 한정되고 크기가 다양할 수 있다. 실제로 이것은 유권자들이 그들의 분포로부터 표본이 추출되고 큰 선거인의 결과가 제한적인 행동을 보여주기 위해 이용되는 다변량 모델에서 거의 항상 행해진다.
• 지원자의 수는 다양할 수 있다.
• 유권자 분포는 다양할 수 있다. 예를 들어, 비대칭 분포의 효과를 조사할 수 있다. 유권자의 수가 유한할 때 무작위 표본 추출 효과에 의해 정규성에서 약간의 이탈이 수반된다. 좀 더 체계적인 출발(이른바 가우스 혼합물 모델 형태)이 2017년 제임슨 퀸에 의해 조사되었다.^[19]

정확성 평가

유권자가 성실하게 투표할 때 투표제도의 정확성을 비교하는 것이 평가의 주요 용도 중 하나이다. 무한히 많은 유권자가 가우스 분포를 만족한다면, 선거의 정당한 승자는 평균/중간인과 가장 가까운 후보로 받아들여질 수 있고, 방법의 정확성은 정당한 승자가 선출되는 선거의 비율로 파악할 수 있다. 중위 유권자 정리는 모든 콘도르셋 시스템이 100% 정확성을 부여할 것을 보장한다(Coombs의 방법에도^[20] 동일하게 적용된다).

연구논문에 게재된 평가는 다차원 가우스인을 활용하기 때문에 숫자적으로 계산이 어렵다.^{[4][21][2][3]} 유권자의 수는 한정되어 있고 후보자들의 수는 반드시 적다.

계산은 단일 차원으로 훨씬 더 간단해, 무한한 수의 유권자와 임의의 수의 m 후보가 가능하다. 이 간단한 사례에 대한 결과는 첫 번째 표에 나타나 있는데, 체임벌린과 코헨이 인용한 논문의 표 5(1000명의 유권자, 중간 분포)와 직접 비교된다. 후보자들은 유권자 분포에서 무작위로 표본 추출했고, 단일 콘도르셋 방식(미니맥스)이 확인 재판에 포함되었다.

대안투표(IRV)의 상대적으로 저조한 성과는 도표에서 잘 알려져 있고 공통적인 오류원인에 의해 설명되며, 선거는 일변도의 공간모델을 만족하고 정당한 승자 B는 1차 투표에서 탈락한다. 비슷한 문제가 모든 차원에 존재한다.

정확성을 측정하는 다른 척도는 당선자로부터의 유권자의 평균 거리(소규모는 더 나은 것을 의미한다)이다. 이는 투표 방식의 순위를 바꿀 가능성은 낮지만 거리를 불특정성으로 해석하는 사람들이 선호한다. 두 번째 표는 같은 모델에서 10명의 후보에 대한 평균 거리(표준 편차 단위)에서 2$㎛($표준 편차 단위)를 뺀 값(*\$displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}}}}}($표준 가우스 분포의 중심에서 변수의 평균 거리)을 나타낸다.

전술적 투표 저항성 평가

James Green-Armytage 등은 유권자들의 조작에 대한 여러 투표 시스템의 취약성을 평가한 연구를 발표했다.^[22] 그들은 단순히 '창의적인 프로그래밍이 필요하다'고 언급하면서, 이러한 목적을 위해 그들의 평가를 어떻게 적응시켰는지에 대해서는 거의 말하지 않는다. 첫 번째 작가의 앞선 논문은 조금 더 자세한 내용을 담고 있다.^[23]

모의 선거의 후보자 수는 3명으로 제한되었다. 이를 통해 특정 시스템 간의 구분이 제거된다. 예를 들어 블랙의 방법과 다스굽타-마신 방법은 3명의 후보자에게 동등하다.

이 연구의 결론은 요약하기 어렵지만, 보르다 카운트는 좋지 않은 성과를 냈고, 미니맥스는 다소 취약했으며, IRV는 높은 내성을 보였다. 저자들은 어떤 방법이라도 콘도르케 당선자가 없는 선거(콘도르케 당선자가 있을 때 당선자를 선택하는 것)로 제한하면 전술적 투표에 대한 민감도가 결코 높아지지 않는다는 것을 보여주었다. 이들은 콘도르케트 기준으로 해결되지 않은 선거를 위해 IRV를 동점 처리로 사용하는 '콘도르케트-헤어' 제도가 자체 IRV만큼 전술적 투표에 저항성이 있고 정확성이 높다고 보고했다. 콘도르셋-헤어는 3명의 후보가 참여한 선거에서 IRV 타이브레이크를 가진 코프랜드의 수법에 해당한다.

후보 분포 효과에 대한 평가

일부 제도, 특히 보르다 카운트는 유권자 분포에 비해 후보 분포가 이탈했을 때 취약하다. 첨부된 표는 유권자의 무한 인구가 일변도의 가우스 분포를 만족하고 m 후보가 x 표준 분포를 통해 유사한 분포 오프셋에서 도출되는 경우 보르다 카운트의 정확성(백분율)을 보여준다. 빨간 색상은 무작위보다 더 나쁜 수치를 나타낸다. 모든 콘도르셋 방법은 이 문제에 대해 100% 정확성을 제공한다는 점을 기억하십시오. (그리고 후보가 3명일 때는 x가 증가함에 따라 정확도가 저하되는 것을 볼 수 없다.)

후보 분포에 대한 민감성은 정확성이나 조작에 대한 저항성의 문제라고 생각할 수 있다. 만약 어떤 사람이 후보자들이 자연스럽게 유권자들과 같은 분배에서 나올 것이라고 예상한다면, 어떤 변위는 전복 시도로 보여질 것이다. 그러나 만약 어떤 사람이 후보자들의 생존 가능성을 결정하는 요소들이 이념적 입장과 상관관계가 있을 수 있다고 생각한다면, 사람들은 그것을 더 자세히 볼 것이다.정확성의 ms

발표된 평가는 후보 분포에 대해 다른 견해를 취한다. 일부에서는 단순히 후보자가 유권자와 같은 분포에서 도출된다고 추측한다.^[2][22] 몇 개의 오래된 논문은 동일한 수단을 사용하지만 후보 분포가 유권자 분포보다 다소 긴밀할 수 있도록 허용한다.^[24][4] Tideman과 Plassmann의 논문은 경험적 측정에 근거한 후보 분포와 유권자 분포의 관계를 근사하게 다루고 있다.^[21] 이는 후보 분포가 투표 시스템의 약점을 이용하기 위해 조정되는 것을 용납하지 않기 때문에 나타날 수 있는 것보다 현실성이 떨어진다. 제임스 그린-아미타주 논문은 후보 분포를 별도의 이슈로 보고 이를 조작의 한 형태로 보고 전략적 입출구의 효과를 측정한다. 당연히 그는 보르다 카운트가 특히 취약하다는 것을 알게 된다.^[23]

기타 속성 평가

• 앞서 언급한 바와 같이 챔버린과 코헨은 특정 비콘도르셋 시스템이 콘도르셋 당첨자를 선택하는 빈도를 측정했다. 유권자 및 후보 분포가 동일한 공간 모델에서 주파수는 99%(Coombs), 86%(Borda), 60%(IRV), 33%(FPTP)이다.^[4] 이것은 때때로 콘도르셋 효율이라고 알려져 있다.
• 달링턴은 코프랜드의 방식이 콘도르셋 당선자가 없는 선거에서 독특한 당선자를 내는 빈도를 측정했다. 그는 최대 10명의 지원자가 있는 분야의 경우 50% 미만이라는 것을 발견했다.^[3]

실험 메트릭스

공간모델에 의한 투표제도의 과제는 유권자의 의견 분포를 가장 정확하게 나타내는 지위를 가진 후보를 파악하는 것이다. 이는 후보자들이 제시한 대안 집합에서 분포에 대한 위치 모수를 선택하는 것과 같다. 위치 매개변수는 평균, 중위수 또는 모드에 기초할 수 있지만, 순위 선호도 표는 순서형 정보만 제공하므로 중위수만이 허용 가능한 통계량이다.

이는 동일한 후보가 있지만 유권자 분포가 다른 두 개의 모의 선거를 보여주는 도표에서 확인할 수 있다. 두 경우 모두 후보 사이의 중간 지점이 유권자 분포의 51번째 백분위수여서 유권자의 51%는 A를 선호하고 49%는 B를 선호한다. 만약 투표인구의 중위수에 가장 가까운 후보를 선출하는 경우 투표방법이 정확하다고 생각한다면, 중위수는 반드시 51% 선에서 약간 왼쪽으로 치우쳐 있기 때문에, 각각의 경우에 A를 선출하는 경우 투표방법이 정확하다고 간주될 것이다.

차알 분포의 평균도 51% 선의 왼쪽에 약간 있지만, 오렌지 분포의 평균은 약간 오른쪽에 있다. 따라서 만약 우리가 투표방법이 유권자의 평균에 가장 가까운 후보를 선출한다면, 어떤 방법은 두 선거에서 같은 투표와 다른 승자를 내지 않는 한 만점을 얻을 수 없을 것이다. 분명히 이것은 투표 방법에 거짓 오류를 범하게 할 것이다. 위치의 어떤 기본적인 측정에 대해서도 동일한 문제가 발생할 것이다. 오직 중앙값만이 일관된 결과를 제공한다.

중위수는 다변량 분포에 대해 정의되지 않지만 일변량 중위수는 쉽게 일반화하는 특성을 가지고 있다. 분포의 중위수는 분포 내의 모든 점으로부터의 평균 거리가 가장 작은 위치를 가리킨다. 이 정의는 기하학적 중위수를 다차원으로 일반화한다. 그 거리는 때로는 후보의 선거로부터 유권자의 '불합치'로 묘사되기도 하지만, 이 식별은 순전히 자의적이다.

만약 우리에게 후보 집합과 유권자 집단이 있다면, 유권자의 기하학적 중위수를 찾는 계산적으로 어려운 문제를 해결할 필요가 없다. 그리고 그것에 가장 가까운 후보를 확인할 필요가 없다. 대신에 우리는 유권자와의 평균 거리가 최소화된 후보를 확인할 수 있다. 이것은 Merrill 이후부터 일반적으로 배치되어온 미터법이다.^[24] Green-Armytage와 Darlington도 참조한다.^[23][2]

유권자 분포의 기하학적 중위수에 가장 가까운 후보를 '공간적 승리자'라고 부를 수 있다.

지식의 현재 상태

경험적 시험에 투표 시스템을 제출하고자 하는 욕구는 유권자 행동을 합리적인 정확도로 반영하고자 하는 모델에 의존해 왔으며, 그 중에서도 공간적 모델이 앞선다. 선택한 모델은 논리적인 특성을 가지며, 많은 경우 가장 정확한 투표 방법을 선험적으로 식별할 수 있다. 공간 모델에서 대칭 모집단의 경우 정확한 투표 시스템이 콘도르셋 방법(및 Coombs's)으로 판명된다. 논리적인 예측은 실증적으로 확인되었다.

게다가 일부 콘도르셋 방법, 특히 미니맥스 자체와 적절한 타이브레이크를 가진 코프랜드의 방법은 실용적으로 만족스럽다. 이는 전술적 투표에 대한 취약성을 두드러진 쟁점으로 남긴다. 추가 평가에서 조사된 주제로서 (비콘도르셋) IRV의 우수성이 주장되어 왔다. 그러나 이 분야의 평가는 수행하기가 어렵고 방법론적 타협이 필요했다(예: 후보 3명으로 제한). IRV를 어떤 식으로든 투표 시스템에 도입함으로써 어떤 양적 효과가 발생하는지는 명확하지 않다.

예제별 인수

두 방법이 서로 다른 답을 주는 사례를 구성해 한 표방법의 우월성을 입증하려는 오랜 역사가 있는데, 첫 번째 방법은 옳고 두 번째 방법은 틀렸다고 의기양양하게 주장했다. 모든 방법에 불리한 예를 구성할 수 있기 때문에, 이러한 형태의 추론은 결론에 도달할 수 없다. 우리가 1차 투표에서 정당한 승자가 탈락하는 가공의 선거를 통해 IRV의 약점을 보여주는 예가 위에서 발생한다.

최근 도날드 사리에 의해 언급된 사례가 있다.^[25] 그는 콘도르셋이 1차 표와 같이 선호도가 높은 81명의 유권자를 가진 3명의 후보 사이의 가상 선거 사례를 재분석했다. 콘도르케트 우승자는 A로, 41:40으로 B보다, 60:21로 C보다 선호되지만, 보르다 우승자는 B이다. 콘도르케트는 보르다 카운트의 잘못이 있다고 결론지었다.^{[26]: 90} 사아리는 2차 표에서 보이는 것처럼 유권자를 3개 그룹으로 나눌 수 있다는 점에 주목하며 이 경우 보르다 카운트가 옳다고 주장한다.

분홍색과 파란색 그룹은 시계방향과 시계반대방향 및 시계반대방향 사이클로 구성되며, 이 사이클은 –Saari에 따라 – 그 결과를 백색 그룹에 의해 결정되도록 남겨둔다; 그리고 (Saari에 따라) 이 그룹에 대한 명확한 선호도는 B에 대한 것이다.

도표는 모든 사람이 단위 원의 둘레에 위치하여 투표와 일치하는 유권자 및 후보자의 가능한 구성을 보여준다. 평균 유권자로부터 A의 거리가 1.15인 반면 B의 거리는 1.09(그리고 C의 거리는 1.70)로 B를 공간적 승자로 만든다는 점에서 Saari의 판단을 확인시켜준다. 그러나 그것은 하나의 예에 불과하다. 우리는 A를 제외한 모든 위치를 고정시킨 채 A를 원의 중심을 향해 방사상으로 움직이는 것을 상상할 수 있다. 비록 백인이 B를 계속 선호하고 있지만, 극히 미미한 단계는 A를 순환집단의 선호로 만들기에 충분하다. 일단 A의 중심으로부터의 거리가 약 0.89 미만이면, 투표용지는 변하지 않지만, 전체적인 선호도는 B에서 A로 넘어간다.

따라서 동등하게 합리적인 공간적 표현은 서로 다른 승자를 암시한다는 점에서 선거는 모호하다. 이것은 우리가 공간 모델에 대한 중앙값 메트릭을 채택함으로써 앞서 피하고자 했던 모호성이다. 그러나 중앙값 메트릭이 단일 차원으로 목표를 달성하고 더 높은 차원으로 유인적으로 일반화하기는 하지만, 모호성을 피하기 위해 필요한 속성은 일반화되지 않는다. 일반적으로, 주기는 외부 사실에 근거하지 않고 공간적 승자를 불확실하게 만들 수 있다. 전방위적 유권자 중위수의 존재는 투표에서 결정되는 결과를 보장하기에 충분한 조건이며, 이 경우 공간적 승자는 콘도르케트 승자가 되며, 유권자 분포의 단일성은 전방위적 중위수를 갖기에 충분하다.^[27]

사리의 예는 영향력이 있었다. 달링턴은 "매우 권위 있는 학술지 검토자"가 비슷한 사례를 통해 콘도르셋의 기준이 "연관표를 보여줘도 선거 결과가 달라져서는 안 되기 때문에 우스꽝스럽다"^[2]고 말한 것을 상기한다.

1인 선거의 기준

전통적으로 다른 선거제도의 장점은 논리적 기준을 참고하여 주장되어 왔다. 이것들은 선거판단에 대한 추론, 예를 들어, "E와 E가 R (E,E')과 같은 선거라면, 그리고 A가 E의 정당한 승자라면, A가 E의 정당한 승자라면, A가 E의 정당한 승자"라는 추론을 허가하는 일종의 규칙을 가지고 있다.

그 기준은 투표 시스템 자체만큼이나 논란의 여지가 있다. 여기서 우리는 그 타당성에 관하여 진전된 고려사항에 대해 간략히 논의한 후, 어떤 주요 투표 시스템이 그것들을 충족시키는지 표에 보여주면서 가장 중요한 기준을 요약한다.

투표기준의 인식론

예제에서의 인수

투표 시스템의 잘못된 행동의 예를 일반화하여 더 복잡한 경우에도 기준을 충족하는 시스템에서 그러한 결함이 발생할 수 없음을 보장하는 기준을 제공할 수 있다. Saari의 예는 취소 기준(Borda count에서 만족하지만 모든 Condorcet 시스템에 의해 위반됨)을 제시하고, IRV가 정당한 승자를 제거하는 예를 Condorcet 기준(Borda count에서 위반됨)으로 일반화할 수 있다.

보다 흥미로운 일반화는 동일한 도표에서 설명될 수 있는 '노쇼 패러독스'로 알려진 예에서 나온다. B가 정당한 승리자라는 것에 동의하면서, 우리는 모든 유권자가 성실하게 투표하면 B가 정말로 선출될 것이라는 가설을 세울 수 있지만, 이 제도 하에서는 A의 단일 지지자가 기권만 하면 자신이 선호하는 후보에게 결과를 기울일 수 있다. 대부분의 사람들은 이것이 터무니없는 결과가 될 것이라는 데 동의할 것이다. 만약 우리가 그것에 중요성을 부여한다면, 투표자는 투표보다는 기권으로 후보를 도울 수 없다는 참여 기준에 그것을 일반화할 수 있을 것이다.

본보기에서 기준으로의 큰 진전이다. 그 예에서 역설적인 결과는 단순히 잘못된 것이다: A의 지지자가 기권할 때 B는 정당한 승자로 남아 있다. 그러나 우리가 참여 기준을 채택할 때, 우리는 선거 결과를 예측하기 어려운, 정당한 승자를 식별하는 것이 불가능한 복잡한 예들로 제한한다. 이것은 우리가 예상했던 것보다 더 많을 수도 있다.

참여 기준은 놀라울 정도로 강력하다. 보르다 카운트를 수용하면서 모든 콘도르셋 시스템을 거부한다. 그러나 콘도르셋 시스템에서 발생하는 노쇼 역설은 결과가 단순히 틀린 예들이 아니라 결과 쌍이 결정적인 옳고 그름 없이 바람직하지 않은 방식으로 연관되어 있는 경우들이다.

논리적 일관성

널리 수용되는 기준은 여러 그룹에서 상호 모순된다(그 중 첫째는 애로우스의 불가능성 정리로 식별되는 3가지 양립불가능한 기준의 그룹이다). 그들은 또한 모든 투표 시스템에 반대한다. 댄 펠센탈은 16개의 기준과 18개의 투표 시스템을 설명했고 "그의 18개의 모든 시스템이 최소한 6개의 기준을 위반한다"고 보여주었다.^[2]

결과기준(절대)

우리는 이제 투표용지 집합이 일정한 방식이라면 특정 후보가 반드시 당선되거나 당선되지 않아야 한다는 절대적 기준에서 출발하여 논리적인 기준 자체에 의존한다.

다수결 기준(MC)

다수 유권자의 독보적인 지지로 분류되는 후보가 항상 승리할 것인가? 이 기준은 두 가지 버전으로 나온다.

1. 순위에 따른 다수결 기준(다수가 다른 사람보다 선호할 뿐인 옵션이 반드시 승리해야 함). (순위에 오른 MC를 합격시키는 것은 아래 표에서 "예"로 표시되는데, 이는 다음 사항도 합격시키는 것을 의미하기 때문이다.)
2. 정격다수 기준. 다수가 고유하게 완벽한 등급을 부여한 옵션만 승리해야 한다. 순위와 등급의 MC는 순위의 투표 방식과 동의어지만, 등급이나 등급의 투표 방식은 아니다. 등급 MC는 아니지만 순위에 오른 MC는 아래에 설명된 IIA 기준과 호환되지 않는다.

상호 다수결 기준(MMC)

유권자의 과반수가 다른 후보들보다 순위가 높은 후보군 중 누가 항상 이길까? 이것은 또한 다수의 유권자들이 특정 후보보다 다른 모든 후보를 선호한다면, 그 후보가 승리하지 못할까? 따라서 열거된 방법 중 상호 다수결에 실패하면서 다수결 패자를 통과시키는 보르다를 제외한 모든 방법이 어느 기준도 통과하지 못하거나 모두 통과하지 못한다.

콘도르케트 기준

쌍방향 비교에서 다른 모든 후보를 이기는 후보가 항상 이길 것인가? (이것은 위의 다수 기준을 내포하고 있다.)

콘도르케트 루저 기준(초) 패배자)

쌍방향 비교에서 다른 모든 후보에게 지는 후보는 결코 이길 수 없을까?

결과 기준(상대적)

이는 특정 후보가 한 가지 상황에서 승리할 경우 관련 상황에서 같은 후보가 승리해야 한다(또는 승리해서는 안 된다)고 명시하는 기준이다.

Independence of Smith-dominated alternatives (ISDA)

스미스가 지배하는 후보가 추가되거나 제거될 경우(다른 후보들에 대한 표는 변동이 없다고 가정할 때) 결과가 결코 변하지 않는가? C 후보는 A에게 패하고 B 후보는 A에게 패하지 않는 등 다른 A 후보가 있다면 스미스 후보가 우세하다. 이 기준은 여기서 후보 상대적 요소로 분류되지만, 스미스가 지배하는 후보가 승리하는 것을 배제하는 데 있어 강력한 절대적 요소가 있다는 점에 유의한다. 사실, 그것은 위의 모든 절대적 기준을 내포하고 있다.^[specify]

Independence of irrelevant alternatives (IIA)

당선되지 않은 후보가 추가되거나 제거될 경우(다른 후보에 대한 유권자 선호도는 변하지 않는다고 가정할 때) 결과가 결코 변하지 않는가?^[28] 예를 들어, 다원성 규칙은 IIA에 실패한다. 후보 X를 추가하면 Y가 이전보다 더 많은 표를 얻지 못하더라도 승자가 W에서 Y로 바뀔 수 있다.

Local independence of irrelevant alternatives (LIIA)

꼴찌를 할 대안이 없어지면 결과가 달라지지 않는가?(그리고 2위로 끝나는 대안이 탈락하면 승자가 되지 못할 수도 있을까?)

Independence of clone alternatives (cloneproof)

기존 후보와 유사한 당선되지 않은 후보가 추가되면 결과가 절대 바뀌지 않는가? 이 기준을 충족하지 못할 수 있는 세 가지 다른 현상이 있다.

스포일러

유사하거나 복제된 후보가 승리할 가능성을 줄이는 후보, 스포일러 효과라고도 한다.

팀

단지 존재만으로도 그들 중 누구라도 승리할 수 있는 기회를 제공하는 비슷한 후보군.

군중

자신의 계파집단의 기회를 돕거나 해치지 않고 오히려 다른 집단에게 영향을 미치는 선거 결과에 영향을 미치는 추가 후보자.

Monotonicity criterion (monotone)

만약 W 후보가 한 세트의 투표에서 승리하더라도, 그 투표수가 W 순위를 더 높게 매기도록 바뀌어도 W 후보가 항상 승리할 것인가? (이것은 또한 당신이 패배한 후보를 더 낮게 매겨서 승리하게 할 수 없다는 것을 의미하기도 한다.)

Consistency criterion (CC)

만약 W 후보가 한 세트의 투표에 승리한다면, W 후보가 또한 승리하는 곳에 다른 한 세트의 투표지를 추가함으로써 그 투표지가 바뀌어도 W 후보가 항상 승리할 것인가?

Participation criterion (PC)

정직하게 투표하는 것이 전혀 투표하지 않는 것보다 항상 더 나은가? (이것은 아래 표의 구별되지만 유사한 일관성 기준과 함께 그룹화된다.)^[29]

Reversal symmetry (reversal)

유권자 개개인의 선호도가 뒤집힌다면, 원래 우승자는 결코 승리하지 못하는가?

개표기준

이것들은 표를 세고 승자를 결정하는 과정과 관련된 기준이다.

Polynomial time (polytime)

당선자를 후보수에서는 다항식이고 유권자수에서는 선형인 런타임으로 계산할 수 있는가?

Resolvable

동전 던지기 같은 임의의 과정을 사용하지 않고 거의 모든 경우에 승자를 계산할 수 있는가? 즉, 당선자가 두 명 이상의 후보자 중 한 명이 될 수 있는 정확한 유대가 대규모 선거에서 사라지게 되는가?

Summability (summable)

각 투표소에서 투표용지를 따로 집계하고 개별 집계만 하면 당선자를 계산할 수 있을까. 그러한 집계에 필요한 정보의 양은 N 후보 수의 순서 함수로 표현된다. O(N)나 O(N²)와 같은 느리게 성장하는 기능은 셈을 쉽게 하는 반면, O(N!)와 같은 빠르게 성장하는 기능은 선거 관리자들의 사기를 잡는 것을 더 어렵게 할 수 있다.^{[citation needed]}

전략기준

이것들은 특정 형태의 전략을 사용하려는 유권자의 동기와 관련된 기준이다. 그들은 또한 상대적인 결과 기준으로 간주될 수 있다. 그러나, 그 섹션의 기준과 달리, 이 기준은 유권자들과 직접적으로 관련이 있다; 이 기준을 통과한다는 사실은 한 방법이 자신의 최적의 전략 투표를 알아내는 과정을 단순화할 수 있다.

사후-위해성 기준 및 후기-도움말 기준

유권자들은 투표에 나중의 선호도를 추가하는 것이 이미 등록된 어떤 후보에게도 해를 끼치거나 도움이 되지 않는다고 확신할 수 있는가?^[30]

즐겨찾는 배신 없음(NFB)

유권자들은 그들이 선호하는 결과를 얻기 위해 그들이 좋아하는 어떤 다른 후보보다 순위를 매길 필요가 없다는 것을 확신할 수 있는가?^[31]

투표 형식

이것들은 유효투표의 표현성이나 정보내용과 관련된 이슈들이다.

투표종류

투표자는 어떤 정보를 가지고 있는가?

등수

유효한 투표용지가 한 명 이상의 후보자에게 동등한 지지를 표현할 수 있는가(둘 이상의 후보에 대한 동등한 반대뿐만 아니라)?

2계급 이상

투표는 다른 후보들에 대한 두 가지 이상의 지지/반대 수준을 표현할 수 있는가?

약점

용어 참고 사항: 한 기준은 더 많은 투표 방식으로 통과될 때 다른 기준보다 '취약하다'고 한다. 이는 적용 기준이 더 강하다는 것을 의미한다. 예를 들어 다수결 기준(MC)이 다수결 기준(MMC)보다 약한 것은 어떤 규모의 집단이 아니라 단일 후보가 승리해야 하기 때문이다. 즉, MMC를 통과하는 모든 방법은 MC를 통과하지만 그 반대는 아니다. 반면에 MC를 받는 필수 우승자는 MMC에서 승리해야 하지만 그 반대는 아니다.

선택한 단일 승자 방법의 준수

다음 표는 위의 기준 중 몇 가지 단일 승자 방식으로 충족되는 것을 보여준다.

이 표는 포괄적이지 않다. 예를 들어 많은 기준을 만족하는 쿰스의 방법은 포함되지 않는다.

투표 기준의 추가 비교는 슐체 방식(일명 비트 경로)에 관한 기사에서 확인할 수 있다. 일부 데이터는 이 테이블이 진행 중이므로 중복될 수 있다.

다중우승제 비교

다승자 선거제도는 1승자 투표에서와 같은 결정을 내리는 것보다 더 넓은 의미에서 대표되는 의회를 만들려고 한다. 뉴질랜드 왕실 선거제도위원회는 뉴질랜드의 가능한 새로운 선거 방법에 대한 평가 기준을 10가지로 열거했다. 여기에는 정당 간의 공정성, 소수^[33] 또는 특수 이익 집단의 효과적인 대표성, 정치적 통합, 효과적인 유권자 참여 및 정당성이 포함되었다.

다중 승자 평가를 위한 메트릭스

다승자 투표 방식의 성과를 평가하기 위해서는 1승자 시스템과는 다른 지표가 필요하다. 다음과 같은 제안이 있었다.

• 콘도르셋 위원회 효율성(CCE)은 한 무리의 선출된 우승자들이 쌍방향 경주에서 모든 패자를 이길 가능성을 측정한다.^[34]
• 사회-유틸리티 비율(SUP)은 각 투표자가 당첨자 중 적어도 한 명의 높은 효용성을 가진 후보가 있을 가능성을 측정한다.^[35]
• 평등-유틸리티비례(UP)는 가장 근접한 당선자를 위한 효용성이 가장 낮은 유권자의 관점에서 비례성을 측정한다.^[35]
• 중도 성향(CT)은 정치적 스펙트럼의 중심이나 극한에 가까운 후보를 선출하는 방법의 가능성을 측정한다.^[35]

기준표

파티 기반 다중 승자 방법 준수

비주요 정당 불가지론 다승적 방법 준수

다음 표는 위의 기준 중 어떤 것이 여러 가지 복수 당첨자 방식으로 충족되는지를 보여준다.

주요 정당 불가지론 다승적 방법 준수

다음 표는 위의 기준 중 어떤 것이 여러 가지 복수 당첨자 방식으로 충족되는지를 보여준다.

참고 항목

• 순위투표
• 화살의 불가능 정리
• 기본 효용 및 순서형 효용
• 콘도르케트 역설

메모들

참조