비례승인투표

비례승인투표(PAV)는 위원회를 선정하는 비례선거제도입니다.개인 투표(유권자가 정당명부가 아닌 후보자에게 투표)를 추가로 허용하는 배분^[1]^[2] 방식의 연장입니다.유권자들은 승인 투표를 통해 투표를 하고, 각 유권자들은 유권자들이 받아들일 수 있다고 생각하는 후보자들에게 표시를 합니다.

역사

이 시스템은 토르발드 N에 의해 처음 제안되었습니다. 티엘.^[3]^[4]^[5]스웨덴에서는 1909년에서 1921년 사이 정당 내 의석 배분, 지방선거 등과 같이 20세기 초 순위 투표와 함께 사용되었습니다.^[4]1921년 이후에는 프라그멘의 규칙으로 대체되었습니다.PAV는 2001년^[6] Forest Simmons에 의해 재발견되었으며, "비례 승인 투표"라는 이름을 부여했습니다.

정의.

PAV는 점수가 가장 높은 고정된 원하는 크기의 위원회를 선택하며, 점수는 다음 공식에 따라 계산됩니다.위원회 $W$ $W$ 가 주어졌을 때 $W$ 각 유권자에 대해 해당 위원회의 후보자 수를 확인합니다. $W$ $W$ 에서 유권자가 r $r$ 후보자에게 투표했다고 가정하면 $W$ 유권자는 $W$ {\ $displaystyle W}$ 의 $W$ $r$ 점수에 r {\ $displaystyle$ r $}$ - 고조파 숫자의 값, 즉 다음과 같이 기여합니다.^[6]^[7]

\mathrm {H}(r)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{r}}{\text {.}

$W$ $W$ 의 점수는 모든 투표자로부터 얻은 점수의 합으로 계산됩니다 $W$ .

공식적으로 후보 C $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ C = $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ { c $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ c $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ $C=\{c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}\}$ ${\displaystyle$ C =\{ $c_{1}, c_{2},\ldots, c_{m$ 투표자 N $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ = { $1$ $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ $}$ {\ $displaystyle$ N = $\{1,$ 2,\ $ldots,$ n $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ 위원회 $크기$ k {\ $displaystyle k}$ 가 있다고 가정합니다 $k$ $A_{i}$ $A_{i$ 가 투표자 $i\in N$ ∈ $N {\displaystyle$ i $\in N}$ 에 의해 승인된 후보 집합을 나타내도록 합시다 $i\in N$ 크기가 $|W|=k$ = $|W|=k$ ${\displaystyle$ W = k $}인$ 위원회 $W\subseteq C$ ⊆ $W\subseteq C$ $W\subseteq C$ 의 PAV 점수를 $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ ( $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ ) = ∑ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ = 1 $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ ( $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ ∩ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ ) $\textstyle \mathrm {sc$ _ ${\mathrm$ {PAV $}(W)$ =\ $sum _{i$ =1 $}^{n}\mathrm {H} (A_{i}\cap W$ )}로 정의합니다 $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {H} (|A_{i}\cap W|)$ PAV는 최대 점수를 가진 위원회 $W$ $W$ 를 선택합니다.

예제1

2개의 좌석이 채워질 것으로 가정하고, 4개의 후보가 있습니다.안드레아(A), 브래드(B), 카터(C), 딜라일라(D) 등 30명의 유권자.투표용지는 다음과 같습니다.

5명의 유권자가 A와 B에게 투표했습니다.
17명의 유권자가 A와 C에게 투표했습니다.
8명의 유권자가 D에게 투표했습니다.

AB, AC, AD, BC, BD, CD의 6가지 가능한 결과가 있습니다.

	AB	교류.	AD	비씨	BD	시디
AB에게 투표한 5명의 유권자로부터 점수를 얻다.	$5\cdot \left(1+{\tfrac {1}{2}}\right)=7.5$	$5\cdot 1=5$	$5\cdot 1=5$	$5\cdot 1=5$	$5\cdot 1=5$	$5\cdot 0=0$
AC에 투표한 17명의 유권자들의 점수	$17\cdot 1=17$	$17\cdot \left(1+{\tfrac {1}{2}}\right)=25.5$	$17\cdot 1=17$	$17\cdot 1=17$	$17\cdot 0=0$	$17\cdot 1=17$
D에게 투표한 8명의 유권자로부터 점수를 얻다.	$8\cdot 0=0$	$8\cdot 0=0$	$8\cdot 1=8$	$8\cdot 0=0$	$8\cdot 1=8$	$8\cdot 1=8$
총점	24.5	30.5	30	22	13	25

Andrea와 Carter가 당선되었습니다.

Simple Approval에 따르면 Andrea가 22표, Carter가 17표, Delilah가 8표, Brad가 5표입니다.이 경우 Andrea와 Carter의 PAV 선택은 Simple Approval 시퀀스와 일치합니다.다만, 위 표가 A와 C가 16표, D가 9표가 되도록 약간 바뀌면 A와 C 점수는 현재 29점이고 A와 D 점수는 30점에 머물고 있기 때문에 안드레아와 델릴라는 A와 C 점수는 현재 29점이고 A와 D 점수는 30점입니다.또한 Simple Approval을 사용하여 생성된 시퀀스는 변경되지 않습니다.이는 PAV가 단순 승인에 의해 내포된 순서를 단순히 따르는 방법과 호환되지 않는 결과를 제공할 수 있음을 보여줍니다.

예제2

10석이 선정된다고 가정하고, 후보군은 적색, 청색, 녹색으로 세 그룹이 있다고 가정합니다.유권자는 100명입니다.

60명의 유권자들이 모든 파란 후보들에게 투표를 했습니다.
30명의 유권자들이 모든 붉은 후보들에게 투표를 했고,
10명의 유권자가 녹색 후보자 전원에게 투표했습니다.

이 경우 PAV는 파란색 6개, 빨간색 3개, 녹색 1개 후보를 선택합니다.그러한 위원회의 점수는

60\cdot \mathrm {H}(6)+30\cdot \mathrm {H}(3)+10\cdot \mathrm {H}(1)(1)=60\cdot \left(1+{\tfrac {1}{2}}+\ldot +{\tfrac {1}{6}\right)+30\cdot \left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {3}\right)+10\cdot 1=147+55+10=212{\text{.}

다른 위원회들은 모두 낮은 점수를 받습니다.예를 들어, 파란색 후보들로만 구성된 위원회의 점수는

60\cdot \mathrm {H}(10)+30\cdot \mathrm {H}(0)+10\cdot \mathrm {H}(0)=60\cdot \left(1+{\tfrac {1}{2}}+\ldots +{\tfrac {1}{10}\right)\approx 175.73{\text{.}

이 예제에서 PAV의 결과는 비례합니다. 각 그룹에서 선택된 후보의 수는 그룹에 투표하는 유권자의 수에 비례합니다.이것은 우연이 아닙니다.만약 후보들이 위의 예와 같이 서로 다른 그룹들을 형성하고 (그룹들은 정당으로 볼 수 있다), 각 유권자들이 단일 그룹 내의 모든 후보들을 위해 독점적으로 투표한다면, PAV는 정당-목록 비례대표의 D'Hondt 방식과 같은 방식으로 행동할 것입니다.^[1]

특성.

이 절에서는 비례 승인 투표의 공리적 속성에 대해 설명합니다.

규모 1의 위원회

승자가 한 명뿐인 선거에서 PAV는 승인 투표와 정확히 동일한 방식으로 운영됩니다.즉, 가장 많은 유권자의 지지를 받는 후보자로 구성된 위원회를 선정하는 것입니다.

비례성

대부분의 비례대표제는 정당명부제를 사용합니다.PAV는 비례대표와 개인 투표(유권자는 정당명부가 아닌 후보에게 투표)를 모두 하도록 설계되었습니다.투표가 당파적인 계획(각 유권자가 다른 정당의 후보자를 제외한 모든 후보자에게 투표함)^[1]을 따르는 것으로 밝혀지면, 이 제도는 각 정당에서 이 정당을 선택한 유권자의 수에 비례하는 다수의 후보자를 선출하기 때문에 "비례" 제도라고 불릴 만하다(예 2 참조).또한 가벼운 가정(대칭성, 연속성 및 파레토 효율성) 하에서 PAV는 개인 투표를 허용하고 일관성 기준을 충족하는 D'Hondt 방법의 유일한 확장입니다.^[2]

유권자들이 당파적인 계획을 따르지 않더라도 규칙은 비례성을 보장합니다.예를 들어 PAV는 확장 정당화 표현이라는 강력한 공정성 속성과 관련 ^[7]속성 비례 정당화 표현을 만족시킵니다.^[8]또한 최적의 비례도를 갖습니다.^[9]^[10]이 모든 속성은 응집력 있는(유사한) 선호를 가진 유권자 그룹이 적어도 그룹의 규모에 비례하는 다수의 후보자로 대표될 것을 보장합니다.PAV는 모든 PAV 유사 최적화 방법 중에서 그러한 특성을 만족시키는 유일한 방법입니다(그 정의에서 고조파 숫자 이외의 숫자를 사용할 수 있음).^[7]

PAV에 의해 반환된 위원회가 핵심이 아닐 수도 있습니다.^[7]^[11]그러나 Pigou-Dalton 전송 원리를 만족시키는 규칙에 의해 달성될 수 있는 최적의 근사비인 코어의 2-근사를 보장합니다.^[11]또한 PAV는 선거에 출마하는 비슷한 후보자가 충분히 많은 경우 코어의 속성을 만족시킵니다.^[12]

PAV는 가격 경쟁력에 실패하고(즉, 유권자들이 고정된 양의 가상화폐를 받는 과정을 통해 PAV의 선택을 항상 설명할 수는 없으며, 이 비용을 자신이 좋아하는 후보를 구입하는 데 사용합니다) 계층적 비례성에 실패합니다.^[11]가격성과 층적 비례성을 만족하고 PAV와 비교하여 비례성 관련 특성이 우수한 두 가지 대체 규칙은 동등 지분의 방법과 Phragmén의 순차 규칙입니다.^[13]이 두 가지 대안적 방법은 다항식 시간에도 계산이 가능하지만 파레토 효율성에 실패합니다.

기타속성

PAV는 비례성과 관련된 특성 외에도 다음 공리를 만족합니다.

파레토 효율,
일관성,
단조성을 지지합니다(승리한 후보의 지지가 증가하는 경우, 즉 유권자가 이 후보에게 더 많이 투표하는 경우, 이 후보는 여전히 승리합니다).^[14]
피구-달튼 원칙.^[11]

PAV는 다음 속성에 실패합니다.

집의 단조로움.^[13]집의 단조성을 만족하고 PAV와 비교하여 비례성 관련 특성이 우수한 두 가지 대안적 방법은 순차적 비례 승인 투표와 Phragmén의 순차적 규칙입니다.^[13]이 두 가지 대안적 방법은 다항식 시간에도 계산할 수 있지만 파레토 효율성, 일관성 및 피구-달튼 원리에 실패합니다.^[13]

계산

PAV에 따라 당선된 위원회를 계산하는 것은 NP-hard ^[16]^[17]방식이므로 후보자 수와 의석 수가 증가함에 따라 계산적으로 까다로운 투표 방식이 됩니다.잔인한 접근법 아래서, 만약 m명의 후보자들과 k석이 있다면,

{\binom {m}{k}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}

각 선거와 비교할 후보 ^[18]조합예를 들어, 만약 4석에 24명의 후보자가 있다면, PAV 점수를 계산해야 하는 조합은 10,626개가 될 것입니다.이렇게 많은 계산이 필요한 선거는 컴퓨터에 의한 개표를 필요로 할 것입니다.중간 규모 선거의 경우 PAV의 결과는 정수 프로그래밍 솔버를 사용하여 계산할 수 있습니다.PAV의 ILP 구현은 파이썬 패키지 abc투표의 일부입니다.^[19]k가 고정되면(상수) PAV의 브루트 포스 계산은 다항식 시간, 즉 $O(nm^{k})$ $O(nm^{k})$ $O(nm^{k})$ 가 소요되며 $O(nm^{k})$ 여기서 n은 투표자의 수입니다.

순차적 비례 승인 투표는 근사 비율이 $1-1/e\approx 0.63$ - $1-1/e\approx 0.63$ 1 $1-1/e\approx 0.63$ / $1-1/e\approx 0.63$ ≈ $1-1/e\approx 0.63$ ${\displaystyle$ 1 - $1$ / $e\approx 0.63}$ 인 PAV 근사치로 간주할 수 있는 방법이므로 $1-1/e\approx 0.63$ 결과적인 위원회의 PAV 점수는 최적보다 최대 37% 낮습니다.이 방법은 다항식 시간에 계산될 수 있으며, 선거 결과는 잠재적으로 손으로 결정될 수 있습니다.비록 형식적으로는 PAV를 구별하는 모든 비례성을 상실하지만, 그 자체로 순차적인 비례성 투표는 좋은 특성을 보여주고 본격적인 선거제도로 활용될 수 있습니다.무작위 반올림을 기반으로 한 더 복잡한 접근 방식은 0.7965의 근사 비율을 제공합니다.^[20]복잡도 이론의 표준 가정 하에서, 이것은 다항 시간 내에 PAV에 대해 달성할 수 있는 최고의 근사 비율입니다.^[20] $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ 문제는 $\textstyle \mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ 문제(sc PA V ( W) $\textstyle {sc$ _ ${\mathrm$ {PAV $}}(W)$ ∑ $\textstyle \sum _{i\in N}\mathrm {H} (k)-\mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ ∈ $\textstyle \sum _{i\in N}\mathrm {H} (k)-\mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ $\textstyle \sum _{i\in N}\mathrm {H} (k)-\mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ $\textstyle \sum _{i\in N}\mathrm {H} (k)-\mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ $\textstyle \sum _{i\in N}\mathrm {H} (k)-\mathrm {sc} _{\mathrm {PAV} }(W)$ ${\displaystyle \textstyle \sum$ _ ${i\in N}\mathrm {H}$ { $sc} _{\mathrm$ {PAV $}(W)})$ 로 공식화할 수도 있습니다.가장 잘 알려진 근사비는 2.36입니다.^[21]

매개 변수화된 복잡성의 관점에서 PAV를 계산하는 문제는 일반적으로 어려운 것이며, 몇 가지 예외적인 쉬운 경우도 있습니다.^[16]^[22]문제는 투표의 2차원 공간 모델에서도 NP-hard입니다.^[23]단일 차원의 경우 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다.^[15]

승인위원회 선거를 넘어

PAV는 여러 독립적인 문제로 구성된 안건에 대한 투표에 사용할 수 있으며, 이 안건에 대해서는 찬성/반대 결정을 내릴 필요가 없습니다.^[24]^[25]

추가열람

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참고 항목

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외부 링크

PAV 계산을 위한 온라인 도구 및 기타 승인 기반 다승자 방법
PAV(pypi)의 구현을 포함하는 Python 패키지 abcvoting

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