순서형 효용

경제학에서 서수 효용 함수는 서수 척도의 에이전트 선호를 나타내는 함수다. 서수 효용 이론은 어떤 선택이 다른 선택보다 나은지 묻는 것은 의미가 있을 뿐, 얼마나 좋은지, 얼마나 좋은지 묻는 것은 무의미하다고 주장한다. 확실성 조건 하에서 소비자 의사 결정의 모든 이론은 일반적으로 서수 효용 측면에서 표현될 수 있다.

예를 들어, 조지가 우리에게 "나는 B보다 A를, C보다 B를 더 좋아한다"고 말했다고 가정해보자. 조지의 선호도는 다음과 같은 기능 u로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

그러나 추기경 효용의 비평가들은 이 기능의 유일한 의미 있는 메시지는 순서 )> ( {\디스플레이 스타일 $u ($A$) u$ ($B)$ > $u$ 실제 숫자는 무의미하다고 주장한다. 따라서 조지의 선호도는 다음과 같은 함수 v로 나타낼 수도 있다.

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

u와 v는 일반적으로 동등하다. u와 v는 조지의 선호를 똑같이 잘 나타낸다.

순서형 효용성은 기본 효용 이론과 대조된다: 후자는 선호도 간의 차이도 중요하다고 가정한다. u에서는 A와 B의 차이가 B와 C의 차이보다 훨씬 작은 반면 v에서는 그 반대다. 따라서 u와 v는 카디널리 동등하지 않다.

서수 효용 개념은 파레토에 의해 1906년에 처음 도입되었다.^[1]

표기법

$세계$의 모든 상태 집합이 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이고 $에이전트$가 X ${\displaystyle X}$에 선호 관계가 있다고 가정합시다$.$ $.$ ${\displaystyle \preceq }$으로 약한 선호 관계를 표시하는 것이 일반적이므로 A$\$ B {\$displaystyty$ A\$preceq B}$은 "적어도 ${\displaystyle B}$를 원한다"라고 읽는다.

기호${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은(는) 무관심 관계의 속기로 사용된다$$. ${\displaystyle A}$~ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ⟺}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⪯}$ B ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ⪯}$ A$){\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A$라고 쓰여 있는 "대리인은 B와 A 사이에 무관심하다".

기호 $\prec {\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$은(는) 강한 선호 관계의 속기로 사용된다$$. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle B⟺}$ (${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⪯}$ B ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ A$\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq$ A$)}$라고 쓰여 있는$$agent B ⟺ (A prefers B " B \ B \ \ \ \ \ \ { { { { { \ { { { { { {̸̸̸ { { agent agent̸̸̸ { { { { { pre \̸

함수 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(는) 다음과 같은 경우$$${\displaystyle }$⪯ ${\displaystyle \preceq }$ 관계를 나타낸다고 한다$$.

$(\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

관련개념

무관심 곡선 매핑

숫자 함수를 정의하는 대신 에이전트의 선호 관계를 무관심 곡선으로 그래픽으로 나타낼 수 있다. 이것은 특히 x와 y라는 두 종류의 상품이 있을 때 유용하다. Then, each indifference curve shows a set of points ${\displaystyle (x,y)}$ such that, if ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ and ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ are on the same curve, then ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2}$$,y_{2}}}$.

무관심 곡선의 예는 다음과 같다.

각각의 무관심 곡선은 포인트 집합으로, 각각 두 재화나 서비스의 수량의 조합을 나타내며, 이 모든 조합은 소비자가 동일하게 만족한다. 곡선이 원점으로부터 멀어질수록 효용 수준은 커진다.

어느 지점에서나 곡선의 기울기(Y에 대한 X의 한계대체율의 음수)는 동일한 효용 수준을 유지하는 선한 Y와 개인이 선한 X를 맞바꾸려는 비율을 보여준다. 이 곡선은 소비자가 감소하는 한계대체율을 갖는다고 가정할 때 보이는 바와 같이 원점에 볼록하다. 무관심 곡선(서수적 접근법)을 가진 소비자 분석은 기본적인 효용 이론에 근거한 것과 동일한 결과를 제공한다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, 소비자들은 두 상품 사이의 한계 대체 비율이 그 상품들의 가격 비율과 같은 지점에서 소비하게 될 것이다(동등 원칙).

공개선호

공개된 선호이론은 현실에서 서수 선호 관계를 어떻게 관찰하는가에 대한 문제를 다룬다. 공개된 선호 이론의 도전은 부분적으로 어떤 상품 묶음이 선호되지 않는 것에 기초하여, 개인이 특정한 상품 묶음을 선택하는 것이 관찰될 때, 어떤 상품 묶음이 예견되었는지 결정하는 데 있다.^{[2] [3]}

순서형 효용함수의 존재에 필요한 조건

$⪯{\displaystyle }$ ${\displaystyle \preceq }$에 대한 몇 가지 조건은 다음과 같은 대표 함수의 존재를 보증하기 위해 필요하다$$.

• 전이성: A : $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\preceq$ B$}$ 및 B and$$ $C{\displaystyle }$ $displaystyle B\preceq$ $C$$}$일 경우 ${\displaystyle \mathrm{A<img\; alt="B\; \backslash preceq\; C"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/62a27e6eb48121280d7fce6233e96ab1082d7cdc"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.629ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="148">}}$$q$ C ${\displaystyle A\preceq$ C$\}.$
• 완전성: 모든 번들 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle A,B\in$ X$}$: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⪯}$ B ${\displaystyle A\preceq B}$ 또는$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\preceq A}$ 또는$$ 둘 다.
  • 완전성은 또한 반사성을 내포한다: $모든{\displaystyle }$ A${\displaystyle x}$ X$${\$displaystyle A\in$ X$}$: $A{\displaystyle }${ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ A$\preceq A$

이러한 조건이 충족되고 $설정$된 X ${\displaystyle X}$이(가) 유한할$$ 경우, 첫 단락에서 예시된 대로${\displaystyle }$X${\displaystyle$ $\prec }$의 각 요소에 적절한 번호를 할당하기만$$ 하면 u ${\displaystyle$ u}을(를) 나타내는$$ 함수 $u{\displaystyle }$ {\displaystystyley u$}$을 쉽게 생성할 수 있다. X가 헤아릴 수 없이 무한할 때도 마찬가지다. 또한 값이 범위$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle(-1,1)}$에 있는 대표적인 효용 함수를 유도적으로 구성할 수 있다$.$^[4]

When ${\displaystyle X}$ is infinite, these conditions are insufficient. For example, lexicographic preferences are transitive and complete, but they cannot be represented by any utility function.^[4] The additional condition required is continuity.

Continuity

A preference relation is called continuous if, whenever B is preferred to A, small deviations from B or A will not reverse the ordering between them. Formally, a preference relation on a set X is called continuous if it satisfies one of the following equivalent conditions:

1. For every ${\displaystyle A\in X}$, the set ${\displaystyle \{(A,B) A\preceq B\}}$ is topologically closed in ${\displaystyle X\times X}$ with the product topology (this definition requires ${\displaystyle X}$ to be a topological space).
2. For every sequence ${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$, if for all i ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ and ${\displaystyle A_{i}\to A}$ and ${\displaystyle B_{i}\to B}$, then ${\displaystyle A\preceq B}$.
3. For every ${\displaystyle A,B\in X}$ such that ${\displaystyle A\prec B}$, there exists a ball around ${\displaystyle A}$ and a ball around ${\displaystyle B}$ such that, for every ${\displaystyle a}$ in the ball around ${\displaystyle A}$ and every ${\displaystyle b}$ in the ball $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ $주위$에$$${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\prec$ b$}($이 정의는 메트릭 공간이 되려면 X ${\displaystyle$ X} $필요).$

선호 관계가 연속 효용 함수로 표현된다면, 그것은 분명히 연속적이다. 데브레우(1954년)의 이론에 의하면 그 반대도 역시 사실이다.

모든 연속적인 완전 선호 관계는 연속적인 순서형 효용 함수로 나타낼 수 있다.

사전 편찬 선호도는 연속적이지 않다는 점에 유의하십시오. 예를 들어${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \prec }$( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$1)${$ ( 5, ${\displaystyle 1}$) {\$displaystyle (5,0)\prec (5,1$ 그러나 ( 5,1) 주변의 모든 공에는 x< ${\displaystyle x<5}$가 있는 점이 있고 이러한 점들은${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 0}$) ${\displaystystyle ($5,0$)$보다 낮다$.$ 이는 위에서 언급한 바와 같이 이러한 선호도를 효용 함수로 나타낼 수 없다는 사실에 따른 것이다.

유니크함

모든 유틸리티 함수 v에 대해 v로 대표되는 고유한 선호 관계가 있다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다. 선호 관계는 많은 다른 효용 함수로 표현될 수 있다. 동일한 선호도를 단조롭게 증가하는 v. 예를 들어, 다음과 같은 경우 효용 함수로 표현할 수 있다.

$(\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

여기서 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ R ${\$\mathb {R}$$\to \$mathb {R}$ \to \mathb {R}}은(는) 단조롭게 증가하는 함수로서, v와 v 함수는 동일한 무관심 곡선 매핑을 발생시킨다.

이러한 동등성은 다음과 같은 방법으로 간결하게 설명된다.

서수 효용 함수는 증가하는 모노톤 변환에 따라 고유하다.

이와는 대조적으로, 기본 효용 함수는 증가하는 아핀 변환까지 유일하다. 모든 아핀 변환은 단조롭다. 따라서, 두 기능이 카디널로 동등하다면, 그것들은 또한 일반적으로 동등하지만, 그 반대의 경우도 아니다.

단조도

지금부터 설정된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 음이 아닌 모든 실제 2차원 벡터의 집합이라고 가정해 보십시오. 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 요소는 한 쌍$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y)}$이며, 두$$ 가지 제품(예: 사과와 바나나)에서 소비되는 양을 나타낸다.

그런 다음 특정 상황에서 선호 관계 $▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \preceq }$은(는) 유틸리티 $함수{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle v(x,y)}$로 표시된다$.$

선호 관계가 단조롭게 증가하고 있다고 가정해 보십시오. 즉, "더 많은 것이 항상 더 좋다"는 뜻이다.

$[\displaystyle x<x>\cHB(x,y)\cHB(x',y)}$

$[\displaystyle y'y]\cHB(x,y')\cHB(x,y')}$

그 다음, v의 부분파생상품이 존재한다면 둘 다 양성이 된다. 요컨대:

효용 함수가 단조롭게 증가하는 선호 관계를 나타낸다면 효용 함수는 단조롭게 증가하는 것이다.

한계대체율

어떤 사람이 번들$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{0},y_{0}}}$을(를) 가지고 있으며$$ 이 번들과 번들$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle \Delta ,}$ y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta,y_{0}+\delta$ $)\}\}\}\}\}\}.\}.\}.\}.\}.\}.$ 이는 그가 $\Delta {\displaystyle \Delta }$ Δ ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$개의 x 단위를$$ 주어 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaysty \delta }$개의$$ y 단위를 얻을 용의가 있다는 것을 의미한다. 만약 이 $비율$이 Δ${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$으로 유지된다면, 우리는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta \to$ 0$\},$ ${\displaystyle {}_{}}$는 λ ${\$$displaystyle$ $\lambda}$이$($가$){\displaystyle {}_{}{x}_{}}$와 y 사이의 한계대체율($MISS$)이라고 말한다($x_{0}y_{$0$\}\}\}\}\}).$^{[5]: 82}

MISS의 이 정의는 순서형 선호 관계에만 기초한다. – 숫자 효용 함수에 의존하지 않는다. 선호 관계가 효용 함수로 표현되고 함수가 서로 다른 경우, MISS는 해당 함수의 파생 모델에서 계산할 수 있다.

${\displaystyle MISS={\frac {v'_{x}{v'_{y}}}.}$

For example, if the preference relation is represented by ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$ then ${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$. MISS는 함수 $v{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 로그}$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\$ {$y}$에 대해 동일하다$.$ 이 두 함수는 동일한 선호 관계를 나타내기 때문에 우연이 아니다. 각 함수는 다른 함수의 증가하는 단조로운 변환이다.

In general, the MRS may be different at different points ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. For example, it is possible that at ${\displaystyle (9,1)}$ the MRS is low because the person has a lot of x and only one y, but at ${\displaystyle (9,9)}$ or ${\displaystyle (1,1)}$ t그는 MISS가 더 높다. 아래에 몇 가지 특별한 경우를 설명한다.

선형성

특정 선호 관계의 MISA가 번들에 의존하지 않는 경우, 즉, MISA가 모든${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$0 ) ${\displaystyle (x_{0},y_{0$에 대해 동일하면 무관심 곡선은 선형이고 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle x+\data y={\text{const},}$

선호 관계는 선형 함수로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle v(x,y)=x+\basda y.}$

($물론{\displaystyle \sqrt{}}$ x${\displaystyle \sqrt{}}$+ ${\displaystyle \sqrt{\lambda }}$ y ${\$ y$}}$ 또는$$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle y{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ y$)^{2$}}$$등 다른 비선형 함수로도 같은 관계를 나타낼 수 있지만, 선형 함수는 가장 간단하다.)^{[5]: 85}

콰실린성

MISS가 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의존하지만 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의존하지 않는 경우, 선호 관계는 형식의 quasilinar 효용 함수로 나타낼 수 있다$.$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

여기서 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$는 단조롭게 증가하는 기능이다$$. MISS는 함수 $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \lambda (y)}$이므로$,$ 가능한 $함수{\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$는$$^{[6][5]: 87} $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$ )${\displaysty \lambda (y)}$의 적분으로 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y'')dy'}}}}}}$

이 경우, 모든 무관심 곡선은 평행하다. 즉, 서로 수평적으로 전달되는 것이다.

두 물건으로 긍정을 더하다.

보다 일반적인 유형의 효용 함수는 다음과 같은 부가함수:

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

주어진 선호도가 적층 효용 함수로 표현 가능한지 여부를 확인하는 몇 가지 방법이 있다.

이중취소특성

선호도가 가법적일 경우 간단한 산술 계산은 다음을 나타낸다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle ⪰}$( x ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},y_{1}}\cessq (x_{2},y_$${2})$ 및

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$3 )${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ 1$$) {\$displaystyle (x_{2},y_${3$}}\properceq (x_{$3},$y_{1}}})$는 암시한다$$.

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

so this "double-cancellation" property is a necessary condition for additivity.

Debreu (1960) showed that this property is also sufficient: i.e., if a preference relation satisfies the double-cancellation property then it can be represented by an additive utility function.^[7]

Corresponding tradeoffs property

If the preferences are represented by an additive function, then a simple arithmetic calculation shows that

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

so this "corresponding tradeoffs" property is a necessary condition for additivity. This condition is also sufficient.^{[8][5]: 91}

Additivity with three or more goods

When there are three or more commodities, the condition for the additivity of the utility function is surprisingly simpler than for two commodities. This is an outcome of Theorem 3 of Debreu (1960). The condition required for additivity is preferential independence.^{[5]: 104}

A subset A of commodities is said to be preferentially independent of a subset B of commodities, if the preference relation in subset A, given constant values for subset B, is independent of these constant values. For example, suppose there are three commodities: x y and z. The subset {x,y} is preferentially-independent of the subset {z}, if for all ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$:

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

이 경우에 우리는 간단히 다음과 같이 말할 수 있다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle ⪯}$( x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle (x_{1},y_{1}}\preceq (x_{2},y_{2})$ 상수 z에 대해$$.

독립상품의 경우 우선 독립성이 일리가 있다. 예를 들어, 사과와 바나나의 묶음 사이의 선호도는 아마도 대리인이 가지고 있는 신발과 양말의 수와 무관하며, 그 반대의 경우도 마찬가지일 것이다.

데브루의 정리로는, 모든 상품 하위 집합이 그 보완물로부터 우선적으로 독립되어 있다면, 선호 관계는 부가 가치 함수로 나타낼 수 있다. 여기서는 그러한 부가 가치 함수가 어떻게 구성될 수 있는지를 보여줌으로써 이 결과에 대한 직관적인 설명을 제공한다.^[5] 그 증명서는 x, y, z의 세 가지 상품을 가정한다. $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$: 0점, 1점, 2점 각각에 대해 세 점을 정의하는 방법을 보여준다. 다른 점들도 유사한 방법으로 계산할 수 있으며, 그 다음 연속성을 사용하여 함수가 전체 범위에서 잘 정의되어 있다는 결론을 내릴 수 있다.

0점: ${\displaystyle {임의\mathrm{}}_{}}$ x $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 선택하고$$ 값 함수의 0으로 할당(예::

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 point: choose arbitrary ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$ such that ${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$. Set it as the unit of value, i.e.:

${\displaystyle v_{x}(x_{1}=1}$

다음과 같은 무관심 관계가 유지되도록$$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}를 선택하십시오.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ z ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle }$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ y 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ) {\displaystyle ($x_{1},y_{0},z_{0}}\심(x_{0},y_{0},z_{$1})\심($x_{0},y_{0},z_{1$

이러한 무관심은 x의 단위에 맞춰 y와 z의 단위를 조절하는 역할을 한다. 이 세 점의 값은 1이어야 하므로 우리는 할당한다.

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2점: 이제 우리는 우선 독립 가정을 사용한다. The relation between ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ and ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ is independent of z, and similarly the relation between ${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$ and ${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$ is independent of x and $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (z_{1},x_{0})$과$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (z_{0},x_{1})$ 사이의 관계는 y와 독립적이다$$. 그러므로

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1}}\심(x_{0},y_{1},z_{1})\심(x_{1},y_{1},z_{0})}$

이는 함수 v가 이 세 점에서 같은 값(2 –)을 가질 수 있다는 것을 의미하기 때문에 유용하다. $x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$z ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}:

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

and assign

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{x}(y_{2})=v_{x}(z_{2})=2.}$

3 point: To show that our assignments so far are consistent, we must show that all points that receive a total value of 3 are indifference points. Here, again, the preferential independence assumption is used, since the relation between ${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$ and ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ is independent of z (and similarly for the other pairs); hence

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

and similarly for the other pairs. Hence, the 3 point is defined consistently.

We can continue like this by induction and define the per-commodity functions in all integer points, then use continuity to define it in all real points.

An implicit assumption in point 1 of the above proof is that all three commodities are essential or preference relevant.^{[7]: 7} This means that there exists a bundle such that, if the amount of a certain commodity is increased, the new bundle is strictly better.

The proof for more than 3 commodities is similar. In fact, we do not have to check that all subsets of points are preferentially independent; it is sufficient to check a linear number of pairs of commodities. E.g., if there are ${\displaystyle m}$ different commodities, ${\displaystyle j=1,...,m}$, then it is sufficient to check that for all ${\displaystyle j=1,...,m-1}$, the two commodities ${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$ are preferentially independent of the other ${\displaystyle m-2}$ commodities.^{[5]: 115}

Uniqueness of additive representation

An additive preference relation can be represented by many different additive utility functions. However, all these functions are similar: they are not only increasing monotone transformations of each other (as are all utility functions representing the same relation); they are increasing linear transformations of each other.^{[7]: 9} In short,

An additive ordinal utility function is unique up to increasing linear transformation.

Constructing additive and quadratic utility functions from ordinal data

The mathematical foundations of most common types of utility functions — quadratic and additive — laid down by Gérard Debreu^[9][10] enabled Andranik Tangian to develop methods for their construction from purely ordinal data. In particular, additive and quadratic utility functions in ${\displaystyle n}$ variables can be constructed from interviews of decision makers, where questions are aimed at tracing totally ${\displaystyle n}$ 2D-indifference curves in ${\displaystyle n-1}$ coordinate planes without referring to cardinal utility estimates.^[11][12]

Comparison between ordinal and cardinal utility functions

The following table compares the two types of utility functions common in economics:

	Level of measurement	Represents preferences on	Unique up to	Existence proved by	Mostly used in
Ordinal utility	Ordinal scale	Sure outcomes	Increasing monotone transformation	Debreu (1954)	Consumer theory under certainty
Cardinal utility	Interval scale	Random outcomes (lotteries)	Increasing monotone linear transformation	Von Neumann-Morgenstern (1947)	Game theory, choice under uncertainty

See also

References

외부 링크

• 사전 편찬 선호 관계는 효용 함수로 나타낼 수 없다. 경제학에서.SE
• R2에 내장할 수 있는 선형 주문을 사전 사전순으로 인식. 수학에서.SE.
• 머레이 N. 로스바드, "효용과 복지 경제 재건을 경고한다"